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    四元數(shù)與歐拉角剛體動力學(xué)數(shù)值積分算法及其比較

    2014-03-13 08:43徐小明鐘萬勰
    計算機(jī)輔助工程 2014年1期

    徐小明 鐘萬勰

    摘要:為推廣四元數(shù)保辛積分在工程中的應(yīng)用,對歐拉角表示的狀態(tài)方程數(shù)值積分與四元數(shù)的保辛積分進(jìn)行比較.重陀螺的數(shù)值仿真結(jié)果表明四元數(shù)保辛積分的數(shù)值結(jié)果明顯優(yōu)于歐拉角狀態(tài)方程積分.與歐拉角狀態(tài)方程積分相比,四元數(shù)保辛積分在剛體動力學(xué)的數(shù)值仿真中更具優(yōu)勢.

    關(guān)鍵詞:四元數(shù); 歐拉角; 剛體動力學(xué); 保辛; 重陀螺

    中圖分類號: TP391.9; O313.3

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼: A

    0引言

    四元數(shù)、歐拉角和方向余弦[1]是描述剛體旋轉(zhuǎn)最主要的3種坐標(biāo)形式.方向余弦法需要9個參量,應(yīng)用較少;而另外2種則應(yīng)用廣泛,如航天器姿態(tài)控制和捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)[1]等,對于兩者的研究也卷帙浩繁,但對兩者優(yōu)劣的評價卻褒貶不一.

    描述剛體在三維空間中的運動姿態(tài)可采用2類12種歐拉角系統(tǒng),分別對應(yīng)于不同的旋轉(zhuǎn)軸先后次序.目前公認(rèn)的用歐拉角描述旋轉(zhuǎn)的固有缺陷是奇異性問題[2],即:無論采用哪種歐拉角系統(tǒng),都不可避免地會含有奇異點,使得在該點附近區(qū)域進(jìn)行的數(shù)值積分精度不高.對于小角度旋轉(zhuǎn),只要采用適當(dāng)?shù)臍W拉角系統(tǒng)便可避開奇異點;而在大角度旋轉(zhuǎn)時,若想避開奇異點,必須提供2套歐拉角系統(tǒng)交替進(jìn)行計算.據(jù)此,黃雪樵[3]提出一種“雙歐法”的計算方法;近幾年仍有學(xué)者[4]在繼續(xù)研究該方法.雙歐法雖然解決奇異性問題,但是計算過程較復(fù)雜.

    四元數(shù)用于描述剛體旋轉(zhuǎn),沒有奇異性問題,可很好地描述剛體的全角度旋轉(zhuǎn).然而,四元數(shù)需要滿足長度等于1的單位約束,這成為制約其應(yīng)用的限制.在實際應(yīng)用中,經(jīng)常采用的正交化修正等方法只能緩解長度的偏移,無法從根本上解決問題;黃雪樵[3]在其雙歐法中也有所討論.目前,對于單位約束最佳的解決方案是將四元數(shù)表示的剛體動力學(xué)方程導(dǎo)入微分代數(shù)方程范疇,近年來逐漸有學(xué)者[57]展開相關(guān)問題的研究.徐小明等[8]提出一種基于四元數(shù)理論描述剛體旋轉(zhuǎn)的保辛數(shù)值積分方法.該方法先將問題導(dǎo)入微分代數(shù)方程系統(tǒng),然后利用分析結(jié)構(gòu)力學(xué)理論[9]進(jìn)行逐步積分,該積分保辛.該方法在積分點上嚴(yán)格滿足四元數(shù)長度等于1的約束條件,而在區(qū)段內(nèi)部則由插值近似,屬于祖沖之類方法[10].數(shù)值算例表明仿真效果優(yōu)異.

    本文簡要介紹四元數(shù)和歐拉角的基本理論,以重陀螺為例對2種表示形式的數(shù)值積分進(jìn)行比較.對于歐拉角表述,應(yīng)用比較普遍的狀態(tài)方程表述.研究表明,以歐拉角和角速度為狀態(tài)變量形成的1階微分方程在使用差分近似積分時,精度損失很大,能量不守恒;該現(xiàn)象被周江華等[11]稱為“睡陀螺”.這是一個值得注意的問題,卻未得到廣泛關(guān)注;而采用文獻(xiàn)[8]給出的保辛格式,四元數(shù)單位長度約束條件得到滿足,仿真結(jié)果優(yōu)異,能量也達(dá)到守恒.

    1剛體旋轉(zhuǎn)及其運動學(xué)表示

    剛體運動由質(zhì)心平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動組成.如果剛體上有一固定點,則稱為剛體定點轉(zhuǎn)動問題.假設(shè)Oxyz為系統(tǒng)的慣性坐標(biāo)系,O為原點,亦為固定點.Ox′y′z′為隨體坐標(biāo)系,固定于剛體上.若將剛體的隨體坐標(biāo)軸取為與固定點有關(guān)的主軸,則剛體定點轉(zhuǎn)動可由式(1)描述.

    2種數(shù)值積分的系統(tǒng)能量隨時間變化情況見圖4.在歐拉角表示中,雖然采用辛歐拉格式進(jìn)行數(shù)值積分,但是能量卻保持得不好,這驗證對狀態(tài)方程應(yīng)用辛歐拉格式并不能保辛.與之相反,四元數(shù)的數(shù)值積分保辛,其能量保持得很好,這也是保辛積分的優(yōu)勢所在.四元數(shù)保辛積分的約束誤差見圖5,表明在時間積分過程中單位長度約束條件滿足得很好.

    4結(jié)束語

    介紹2種剛體旋轉(zhuǎn)的數(shù)值積分,一種基于歐拉角表示,另一種基于四元數(shù)表示.以重陀螺的高速旋轉(zhuǎn)為例,對2種數(shù)值積分進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn):以歐拉角、角速度組成狀態(tài)變量,然后直接使用辛歐拉格式不

    能保辛,能量衰減很快,數(shù)值積分存在缺陷;與之相

    反,采用四元數(shù)表示,根據(jù)分析結(jié)構(gòu)力學(xué)的保辛積分方法,并結(jié)合祖沖之類方法的思想,可以很好地避免約束違約,仿真效果令人滿意,可作為陀螺等仿真分析的有力工具.

    本文僅對以歐拉角、角速度組成狀態(tài)變量的數(shù)值積分進(jìn)行研究,對其他形式并未涉及,對其積分效果不佳的成因亦未研究,還有很多工作有待展開.

    參考文獻(xiàn):

    [1]張樹俠, 孫靜. 捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1992: 4880.

    [2]趙曉穎, 溫立書, 么彩蓮. 歐拉角參數(shù)表示下姿態(tài)的2階運動奇異性[J]. 科學(xué)技術(shù)與工程, 2012, 12(3): 634637.

    [3]黃雪樵. 克服歐拉方程奇異性的雙歐法[J]. 飛行力學(xué), 1994, 12(4): 2837.

    [4]李躍軍, 閻超. 飛行器姿態(tài)角解算的全角度雙歐法[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報, 2007, 33(5): 505508.

    [5]NIKRAVESH P E, WEHAGE R A, KWON K. Euler parameters in computational kinematics and dynamics: Part 1[J]. J Mechanisms, Transmissions & Automation Des, 1985, 107(3): 358365.

    [6]BETSCH P, SIEBERT R. Rigid body dynamics in terms of quaternions: Hamiltonian formulation and conserving numerical integration[J]. Int J Numer Methods Eng, 2009, 79(4): 444473.

    [7]UDWADIA F E, SCHUTTE A D. An alternative derivation of the quaternion equations of motion for rigidbody rotational dynamics[J]. J Appl Mech, 2010, 77(4): 44505.

    [8]徐小明, 鐘萬勰. 剛體動力學(xué)的四元數(shù)表示及保辛積分[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2014, 35(1): 111.

    [9]鐘萬勰, 高強(qiáng). 約束動力系統(tǒng)的分析結(jié)構(gòu)力學(xué)積分[J]. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2006, 4(3): 193200.

    [10]鐘萬勰, 高強(qiáng), 彭海軍. 經(jīng)典力學(xué)辛講[M]. 大連: 大連理工大學(xué)出版社, 2013: 202241.

    [11]周江華, 苗育紅, 李宏, 等. 四元數(shù)在剛體姿態(tài)仿真中的應(yīng)用研究[J].飛行力學(xué), 2000, 18(4): 2832.

    [12]HAIRER E, LUBICH C, WANNER G. Geometric numerical integration: structurepreserving algorithms for ordinary differential equations[M]. Berlin: Springer, 2006: 189.

    (編輯于杰)

    摘要:為推廣四元數(shù)保辛積分在工程中的應(yīng)用,對歐拉角表示的狀態(tài)方程數(shù)值積分與四元數(shù)的保辛積分進(jìn)行比較.重陀螺的數(shù)值仿真結(jié)果表明四元數(shù)保辛積分的數(shù)值結(jié)果明顯優(yōu)于歐拉角狀態(tài)方程積分.與歐拉角狀態(tài)方程積分相比,四元數(shù)保辛積分在剛體動力學(xué)的數(shù)值仿真中更具優(yōu)勢.

    關(guān)鍵詞:四元數(shù); 歐拉角; 剛體動力學(xué); 保辛; 重陀螺

    中圖分類號: TP391.9; O313.3

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼: A

    0引言

    四元數(shù)、歐拉角和方向余弦[1]是描述剛體旋轉(zhuǎn)最主要的3種坐標(biāo)形式.方向余弦法需要9個參量,應(yīng)用較少;而另外2種則應(yīng)用廣泛,如航天器姿態(tài)控制和捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)[1]等,對于兩者的研究也卷帙浩繁,但對兩者優(yōu)劣的評價卻褒貶不一.

    描述剛體在三維空間中的運動姿態(tài)可采用2類12種歐拉角系統(tǒng),分別對應(yīng)于不同的旋轉(zhuǎn)軸先后次序.目前公認(rèn)的用歐拉角描述旋轉(zhuǎn)的固有缺陷是奇異性問題[2],即:無論采用哪種歐拉角系統(tǒng),都不可避免地會含有奇異點,使得在該點附近區(qū)域進(jìn)行的數(shù)值積分精度不高.對于小角度旋轉(zhuǎn),只要采用適當(dāng)?shù)臍W拉角系統(tǒng)便可避開奇異點;而在大角度旋轉(zhuǎn)時,若想避開奇異點,必須提供2套歐拉角系統(tǒng)交替進(jìn)行計算.據(jù)此,黃雪樵[3]提出一種“雙歐法”的計算方法;近幾年仍有學(xué)者[4]在繼續(xù)研究該方法.雙歐法雖然解決奇異性問題,但是計算過程較復(fù)雜.

    四元數(shù)用于描述剛體旋轉(zhuǎn),沒有奇異性問題,可很好地描述剛體的全角度旋轉(zhuǎn).然而,四元數(shù)需要滿足長度等于1的單位約束,這成為制約其應(yīng)用的限制.在實際應(yīng)用中,經(jīng)常采用的正交化修正等方法只能緩解長度的偏移,無法從根本上解決問題;黃雪樵[3]在其雙歐法中也有所討論.目前,對于單位約束最佳的解決方案是將四元數(shù)表示的剛體動力學(xué)方程導(dǎo)入微分代數(shù)方程范疇,近年來逐漸有學(xué)者[57]展開相關(guān)問題的研究.徐小明等[8]提出一種基于四元數(shù)理論描述剛體旋轉(zhuǎn)的保辛數(shù)值積分方法.該方法先將問題導(dǎo)入微分代數(shù)方程系統(tǒng),然后利用分析結(jié)構(gòu)力學(xué)理論[9]進(jìn)行逐步積分,該積分保辛.該方法在積分點上嚴(yán)格滿足四元數(shù)長度等于1的約束條件,而在區(qū)段內(nèi)部則由插值近似,屬于祖沖之類方法[10].數(shù)值算例表明仿真效果優(yōu)異.

    本文簡要介紹四元數(shù)和歐拉角的基本理論,以重陀螺為例對2種表示形式的數(shù)值積分進(jìn)行比較.對于歐拉角表述,應(yīng)用比較普遍的狀態(tài)方程表述.研究表明,以歐拉角和角速度為狀態(tài)變量形成的1階微分方程在使用差分近似積分時,精度損失很大,能量不守恒;該現(xiàn)象被周江華等[11]稱為“睡陀螺”.這是一個值得注意的問題,卻未得到廣泛關(guān)注;而采用文獻(xiàn)[8]給出的保辛格式,四元數(shù)單位長度約束條件得到滿足,仿真結(jié)果優(yōu)異,能量也達(dá)到守恒.

    1剛體旋轉(zhuǎn)及其運動學(xué)表示

    剛體運動由質(zhì)心平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動組成.如果剛體上有一固定點,則稱為剛體定點轉(zhuǎn)動問題.假設(shè)Oxyz為系統(tǒng)的慣性坐標(biāo)系,O為原點,亦為固定點.Ox′y′z′為隨體坐標(biāo)系,固定于剛體上.若將剛體的隨體坐標(biāo)軸取為與固定點有關(guān)的主軸,則剛體定點轉(zhuǎn)動可由式(1)描述.

    2種數(shù)值積分的系統(tǒng)能量隨時間變化情況見圖4.在歐拉角表示中,雖然采用辛歐拉格式進(jìn)行數(shù)值積分,但是能量卻保持得不好,這驗證對狀態(tài)方程應(yīng)用辛歐拉格式并不能保辛.與之相反,四元數(shù)的數(shù)值積分保辛,其能量保持得很好,這也是保辛積分的優(yōu)勢所在.四元數(shù)保辛積分的約束誤差見圖5,表明在時間積分過程中單位長度約束條件滿足得很好.

    4結(jié)束語

    介紹2種剛體旋轉(zhuǎn)的數(shù)值積分,一種基于歐拉角表示,另一種基于四元數(shù)表示.以重陀螺的高速旋轉(zhuǎn)為例,對2種數(shù)值積分進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn):以歐拉角、角速度組成狀態(tài)變量,然后直接使用辛歐拉格式不

    能保辛,能量衰減很快,數(shù)值積分存在缺陷;與之相

    反,采用四元數(shù)表示,根據(jù)分析結(jié)構(gòu)力學(xué)的保辛積分方法,并結(jié)合祖沖之類方法的思想,可以很好地避免約束違約,仿真效果令人滿意,可作為陀螺等仿真分析的有力工具.

    本文僅對以歐拉角、角速度組成狀態(tài)變量的數(shù)值積分進(jìn)行研究,對其他形式并未涉及,對其積分效果不佳的成因亦未研究,還有很多工作有待展開.

    參考文獻(xiàn):

    [1]張樹俠, 孫靜. 捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1992: 4880.

    [2]趙曉穎, 溫立書, 么彩蓮. 歐拉角參數(shù)表示下姿態(tài)的2階運動奇異性[J]. 科學(xué)技術(shù)與工程, 2012, 12(3): 634637.

    [3]黃雪樵. 克服歐拉方程奇異性的雙歐法[J]. 飛行力學(xué), 1994, 12(4): 2837.

    [4]李躍軍, 閻超. 飛行器姿態(tài)角解算的全角度雙歐法[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報, 2007, 33(5): 505508.

    [5]NIKRAVESH P E, WEHAGE R A, KWON K. Euler parameters in computational kinematics and dynamics: Part 1[J]. J Mechanisms, Transmissions & Automation Des, 1985, 107(3): 358365.

    [6]BETSCH P, SIEBERT R. Rigid body dynamics in terms of quaternions: Hamiltonian formulation and conserving numerical integration[J]. Int J Numer Methods Eng, 2009, 79(4): 444473.

    [7]UDWADIA F E, SCHUTTE A D. An alternative derivation of the quaternion equations of motion for rigidbody rotational dynamics[J]. J Appl Mech, 2010, 77(4): 44505.

    [8]徐小明, 鐘萬勰. 剛體動力學(xué)的四元數(shù)表示及保辛積分[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2014, 35(1): 111.

    [9]鐘萬勰, 高強(qiáng). 約束動力系統(tǒng)的分析結(jié)構(gòu)力學(xué)積分[J]. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2006, 4(3): 193200.

    [10]鐘萬勰, 高強(qiáng), 彭海軍. 經(jīng)典力學(xué)辛講[M]. 大連: 大連理工大學(xué)出版社, 2013: 202241.

    [11]周江華, 苗育紅, 李宏, 等. 四元數(shù)在剛體姿態(tài)仿真中的應(yīng)用研究[J].飛行力學(xué), 2000, 18(4): 2832.

    [12]HAIRER E, LUBICH C, WANNER G. Geometric numerical integration: structurepreserving algorithms for ordinary differential equations[M]. Berlin: Springer, 2006: 189.

    (編輯于杰)

    摘要:為推廣四元數(shù)保辛積分在工程中的應(yīng)用,對歐拉角表示的狀態(tài)方程數(shù)值積分與四元數(shù)的保辛積分進(jìn)行比較.重陀螺的數(shù)值仿真結(jié)果表明四元數(shù)保辛積分的數(shù)值結(jié)果明顯優(yōu)于歐拉角狀態(tài)方程積分.與歐拉角狀態(tài)方程積分相比,四元數(shù)保辛積分在剛體動力學(xué)的數(shù)值仿真中更具優(yōu)勢.

    關(guān)鍵詞:四元數(shù); 歐拉角; 剛體動力學(xué); 保辛; 重陀螺

    中圖分類號: TP391.9; O313.3

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼: A

    0引言

    四元數(shù)、歐拉角和方向余弦[1]是描述剛體旋轉(zhuǎn)最主要的3種坐標(biāo)形式.方向余弦法需要9個參量,應(yīng)用較少;而另外2種則應(yīng)用廣泛,如航天器姿態(tài)控制和捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)[1]等,對于兩者的研究也卷帙浩繁,但對兩者優(yōu)劣的評價卻褒貶不一.

    描述剛體在三維空間中的運動姿態(tài)可采用2類12種歐拉角系統(tǒng),分別對應(yīng)于不同的旋轉(zhuǎn)軸先后次序.目前公認(rèn)的用歐拉角描述旋轉(zhuǎn)的固有缺陷是奇異性問題[2],即:無論采用哪種歐拉角系統(tǒng),都不可避免地會含有奇異點,使得在該點附近區(qū)域進(jìn)行的數(shù)值積分精度不高.對于小角度旋轉(zhuǎn),只要采用適當(dāng)?shù)臍W拉角系統(tǒng)便可避開奇異點;而在大角度旋轉(zhuǎn)時,若想避開奇異點,必須提供2套歐拉角系統(tǒng)交替進(jìn)行計算.據(jù)此,黃雪樵[3]提出一種“雙歐法”的計算方法;近幾年仍有學(xué)者[4]在繼續(xù)研究該方法.雙歐法雖然解決奇異性問題,但是計算過程較復(fù)雜.

    四元數(shù)用于描述剛體旋轉(zhuǎn),沒有奇異性問題,可很好地描述剛體的全角度旋轉(zhuǎn).然而,四元數(shù)需要滿足長度等于1的單位約束,這成為制約其應(yīng)用的限制.在實際應(yīng)用中,經(jīng)常采用的正交化修正等方法只能緩解長度的偏移,無法從根本上解決問題;黃雪樵[3]在其雙歐法中也有所討論.目前,對于單位約束最佳的解決方案是將四元數(shù)表示的剛體動力學(xué)方程導(dǎo)入微分代數(shù)方程范疇,近年來逐漸有學(xué)者[57]展開相關(guān)問題的研究.徐小明等[8]提出一種基于四元數(shù)理論描述剛體旋轉(zhuǎn)的保辛數(shù)值積分方法.該方法先將問題導(dǎo)入微分代數(shù)方程系統(tǒng),然后利用分析結(jié)構(gòu)力學(xué)理論[9]進(jìn)行逐步積分,該積分保辛.該方法在積分點上嚴(yán)格滿足四元數(shù)長度等于1的約束條件,而在區(qū)段內(nèi)部則由插值近似,屬于祖沖之類方法[10].數(shù)值算例表明仿真效果優(yōu)異.

    本文簡要介紹四元數(shù)和歐拉角的基本理論,以重陀螺為例對2種表示形式的數(shù)值積分進(jìn)行比較.對于歐拉角表述,應(yīng)用比較普遍的狀態(tài)方程表述.研究表明,以歐拉角和角速度為狀態(tài)變量形成的1階微分方程在使用差分近似積分時,精度損失很大,能量不守恒;該現(xiàn)象被周江華等[11]稱為“睡陀螺”.這是一個值得注意的問題,卻未得到廣泛關(guān)注;而采用文獻(xiàn)[8]給出的保辛格式,四元數(shù)單位長度約束條件得到滿足,仿真結(jié)果優(yōu)異,能量也達(dá)到守恒.

    1剛體旋轉(zhuǎn)及其運動學(xué)表示

    剛體運動由質(zhì)心平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動組成.如果剛體上有一固定點,則稱為剛體定點轉(zhuǎn)動問題.假設(shè)Oxyz為系統(tǒng)的慣性坐標(biāo)系,O為原點,亦為固定點.Ox′y′z′為隨體坐標(biāo)系,固定于剛體上.若將剛體的隨體坐標(biāo)軸取為與固定點有關(guān)的主軸,則剛體定點轉(zhuǎn)動可由式(1)描述.

    2種數(shù)值積分的系統(tǒng)能量隨時間變化情況見圖4.在歐拉角表示中,雖然采用辛歐拉格式進(jìn)行數(shù)值積分,但是能量卻保持得不好,這驗證對狀態(tài)方程應(yīng)用辛歐拉格式并不能保辛.與之相反,四元數(shù)的數(shù)值積分保辛,其能量保持得很好,這也是保辛積分的優(yōu)勢所在.四元數(shù)保辛積分的約束誤差見圖5,表明在時間積分過程中單位長度約束條件滿足得很好.

    4結(jié)束語

    介紹2種剛體旋轉(zhuǎn)的數(shù)值積分,一種基于歐拉角表示,另一種基于四元數(shù)表示.以重陀螺的高速旋轉(zhuǎn)為例,對2種數(shù)值積分進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn):以歐拉角、角速度組成狀態(tài)變量,然后直接使用辛歐拉格式不

    能保辛,能量衰減很快,數(shù)值積分存在缺陷;與之相

    反,采用四元數(shù)表示,根據(jù)分析結(jié)構(gòu)力學(xué)的保辛積分方法,并結(jié)合祖沖之類方法的思想,可以很好地避免約束違約,仿真效果令人滿意,可作為陀螺等仿真分析的有力工具.

    本文僅對以歐拉角、角速度組成狀態(tài)變量的數(shù)值積分進(jìn)行研究,對其他形式并未涉及,對其積分效果不佳的成因亦未研究,還有很多工作有待展開.

    參考文獻(xiàn):

    [1]張樹俠, 孫靜. 捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1992: 4880.

    [2]趙曉穎, 溫立書, 么彩蓮. 歐拉角參數(shù)表示下姿態(tài)的2階運動奇異性[J]. 科學(xué)技術(shù)與工程, 2012, 12(3): 634637.

    [3]黃雪樵. 克服歐拉方程奇異性的雙歐法[J]. 飛行力學(xué), 1994, 12(4): 2837.

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