空間解析幾何中對柱面方程的多角度分析

曹麗梅 葉豐

【摘要】解析幾何是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，是學(xué)習(xí)其他后續(xù)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ).學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對于某個問題，容易局限于某個章節(jié)或某個知識點(diǎn)去思考，很難做到將相關(guān)的知識點(diǎn)按照內(nèi)在的聯(lián)系放在一起，使它們系統(tǒng)化、整體化.本文通過從多種角度對一道解析幾何例題進(jìn)行闡述、發(fā)掘和擴(kuò)展，建立了知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，把知識點(diǎn)融會貫通，融為一體，這樣做在培養(yǎng)了學(xué)生解題思維能力的同時構(gòu)建了整體的知識結(jié)構(gòu).

【關(guān)鍵詞】知識結(jié)構(gòu);柱面方程;解析幾何

【基金項(xiàng)目】北京科技大學(xué)研究型示范課程建設(shè)項(xiàng)目（KC2017YJX20）

1 引? 言

解析幾何是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)本科生開設(shè)的核心基礎(chǔ)課程之一，是學(xué)習(xí)其他后續(xù)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ).由于解析幾何是為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生開設(shè)的課程，因此我們局限于具體、系統(tǒng)地講述解析幾何中經(jīng)典的直線、曲線和曲面理論.通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能受到幾何直觀及邏輯推理等方面的訓(xùn)練，擴(kuò)大知識領(lǐng)域，提高空間想象能力，以及運(yùn)用向量法與坐標(biāo)法求解幾何問題的能力，并且能用解析方法研究幾何問題，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他課程打下基礎(chǔ).此外，學(xué)生通過學(xué)習(xí)本課程能夠培養(yǎng)其直觀能力，運(yùn)用分析、代數(shù)等工具來研究、解決幾何問題的能力，抽象思維能力，邏輯推理能力，空間想象能力和自學(xué)能力，以及熟練運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識去分析和解決實(shí)際問題的能力.

高校大班制的教學(xué)活動使得數(shù)學(xué)老師始終處于主導(dǎo)的地位，這種教學(xué)活動容易導(dǎo)致一些弊端，比如學(xué)生一味地遵循老師上課的思路而缺乏自己的獨(dú)立思考過程，這樣會使得學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的主動性與創(chuàng)造性.為了提高教學(xué)效果，教師要特別注意教學(xué)的啟發(fā)性，并且需要對如何引導(dǎo)學(xué)生積極地參與到教學(xué)活動中給予高度的重視.教師采用啟發(fā)式的教學(xué)方法時，上課要調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和主動性，以此啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，進(jìn)而鍛煉學(xué)生邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力等.也就是在有限的時間內(nèi)，凡是學(xué)生看得懂的要讓學(xué)生動眼去看，凡是學(xué)生講得出來的要讓學(xué)生動口去講，凡是學(xué)生想得出來的要讓學(xué)生動腦去想，凡是學(xué)生做得出來的要讓學(xué)生動手去做.這種啟發(fā)式的教學(xué)方法能夠使得學(xué)生的課堂地位主體化，讓學(xué)生真正更好地融入課堂，使學(xué)生的獨(dú)立思考能力、獨(dú)立解題能力得到提高等.

2 解析幾何重要知識點(diǎn)回顧

空間解析幾何是一門研究點(diǎn)、線、面及其內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)科，研究解析幾何的基本方法包括兩個方面，一方面是從圖形到方程，通過選擇合適的坐標(biāo)系，建立圖形的方程;另一方面是從方程到圖形，通過對方程的研究得到圖形的性質(zhì)，了解圖形的形狀.解析幾何的重要性在于通過建立坐標(biāo)系，用方程表示曲線或曲面，從而通過研究代數(shù)方程來研究曲線或曲面.

在空間解析幾何中，我們主要研究的圖形為直線、平面、特殊曲面以及二次曲面.平面方程為三元一次方程，可由空間中一點(diǎn)與一個法向量唯一確定，也可由三個不共線的點(diǎn)唯一確定，這也就意味著平面方程有一般式方程、點(diǎn)法式方程、截距式方程、三點(diǎn)式方程等多種形式.空間直線可由空間中一點(diǎn)和一個方向向量唯一確定，也可由兩個相交平面相交所得，所以直線方程有標(biāo)準(zhǔn)方程和一般式方程等形式.以點(diǎn)、線、面為基礎(chǔ)，通過研究點(diǎn)、線、面的相關(guān)運(yùn)動軌跡引出了特殊曲面與二次曲面方程.特殊曲面方程包括球面方程、直圓柱面方程和直圓錐面方程，其均由點(diǎn)集生成，球面由到空間中一定點(diǎn)距離為定長的點(diǎn)的軌跡所確定，是一個極其對稱的圖形，球面方程中不含交叉項(xiàng)，直圓柱面由空間中到一條定直線的距離為定長的點(diǎn)的軌跡所確定，直圓錐面由空間中到一條定直線上的一個定點(diǎn)的連線與該定直線的夾角為定角的點(diǎn)的軌跡所確定.柱面與錐面也可由曲線族生成.在二次曲面方程中主要研究橢球面方程、單葉雙曲面方程、雙葉雙曲面方程、橢圓拋物面方程和雙曲拋物面方程，該類方程主要通過二次曲面方程的二次項(xiàng)系數(shù)所確定，其中橢球面標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2+z2c2=1，單葉雙曲面標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2-z2c2=1，雙葉雙曲面標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2-z2c2=-1，橢圓拋物面標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=2z，雙曲拋物面標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=2z.

我們除了從圖形的生成角度來研究圖形方程以外，還可以從直角坐標(biāo)變換以及二次曲線和二次曲面的一般理論這兩個角度來研究.通過對直角坐標(biāo)的變換，可以將復(fù)雜方程化歸為簡單的曲面標(biāo)準(zhǔn)方程，從而對所研究方程的形狀進(jìn)行判斷.也可以通過運(yùn)用二次曲線和二次曲面的一般理論，計(jì)算方程的不變量與半不變量，根據(jù)不變量與半不變量對所研究方程的形狀做出判斷.

3 應(yīng)用實(shí)例

接下來，我們將從一道例題出發(fā)，充分發(fā)掘和擴(kuò)展該例題，用啟發(fā)式教學(xué)方法從不同知識點(diǎn)出發(fā)對例題進(jìn)行分析闡述.

例 證明方程：5x2+5y2+2z2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0表示的曲面S是一個柱面.

分析1 柱面是方向向量為v=（l，m，n）的直母線沿著空間曲線C（即柱面的準(zhǔn)線）平行移動所形成的曲面.顯然，柱面上的準(zhǔn)線不是唯一的.若上述方程表示一個柱面，我們首先從方程入手找到此柱面的一條準(zhǔn)線C0，再以方向向量v=（l，m，n）的方向?yàn)橹蹦妇€的方向，以C0為準(zhǔn)線，建立柱面方程.假設(shè)已知方程為柱面方程，用待定系數(shù)法求解方向向量v=（l，m，n），若解存在，則證明了此方程為柱面方程.

證明1 用xOy面去截曲面S，此時的截痕C0為平面曲線，其方程為

C0：5x2+5y2+2z2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0，z=0，

可化簡為

C0：5x2+5y2-8xy+20x+20y-16=0，z=0.

下面建立以C0為準(zhǔn)線，以v=（l，m，n）的方向?yàn)橹蹦妇€方向的柱面S0的方程.設(shè)（x，y，z）為柱面S0上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，則過（x，y，z）的直母線與準(zhǔn)線C0的交點(diǎn)設(shè)為（x0，y0，z0），且直母線方程為

x-x0l=y-y0m=z-z0n， （1）

由于（x0，y0，z0）在準(zhǔn)線C0上，因此有

5x20+5y20-8x0y0+20x0+20y0-16=0，z0=0，（2）

由式（1）得x0=x-lnz，y0=y-mnz，代入（2）消掉（x0，y0，z0）得

5x-lnz2+5y-mnz2-8x-lnzy-mnz+20x-lnz+20y-mnz-16=0，

進(jìn)一步整理可得

5x2+5y2+5l2n2+5m2n2-8lmn2z2-8xy-25ln-4mnxz

-25mn-4lnyz+20x+20y-20ln+mnz-16=0，（3）

式（3）為以C0為準(zhǔn)線，以v=（l，m，n）的方向?yàn)橹蹦妇€方向的柱面S0的方程.

柱面S0的方程與已給曲面S的方程進(jìn)行比較，兩個都為三元二次方程，且x2，y2的系數(shù)相等.設(shè)兩方程表示同一曲面，用待定系數(shù)法可得5mn-4ln=1，ln+mn=2，因此有l(wèi)∶m∶n=1∶1∶1，即直母線方向是唯一的，則S0與S表示同一個柱面.

分析2 空間一柱面，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移后一定能使其直母線與坐標(biāo)軸z軸平行.若此柱面方程為F（x，y，z）=0，則可通過空間直角坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換為不含交叉項(xiàng)xy和變量z的柱面方程G（x，y）=0，受此啟發(fā)，本題的解題關(guān)鍵為如何尋找合適的空間直角坐標(biāo)變換.

證明2 所給方程為三元二次方程，其二次項(xiàng)系數(shù)矩陣為

A0=5-4-1-45-1-1-12，

矩陣A0的特征值滿足|λI-A0|=0，解得λ1=0，λ2=3，λ3=9.進(jìn)而可計(jì)算得λ1=0，λ2=3，λ3=9對應(yīng)的單位特征向量分別為η1=131313，η2=1616-26，η3=12-120.

作空間直角坐標(biāo)變換

xyz=1316121316-1213-260x′y′z′，

代入曲面方程S可得，

9z′2+3y′2+206y′-16=0，

進(jìn)一步通過配方有

y′+10632+3z′2=72，

再進(jìn)行平移變換

x″=x′，y″=y′+1063，z″=z′，

即可得y″2+3z″2=72，即表示一個柱面.

分析3 柱面由直母線平移形成，因此是直紋面.本題將從曲面方程本身出發(fā)，引入?yún)?shù)后構(gòu)造出直線族方程，并證明該直線族平行于同一定方向的直線.

證明3 將方程5x2+5y2+2z2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0變形得

16x+16y-26z+10632=324-12x-12y2，

引入?yún)?shù)λ，可得曲面上的直線族

Lλ：16x+16y-26z+1063=3λ26-12x-12y.16x+16y-26z+1063=26+12x-12yλ，

可化簡為

Lλ：16+3λ2x+16-3λ2y-26z+1063-66λ=0，λ6-12x+λ6+12y-2λ6z+106λ3-26=0，

可得直線的方向向量為

v=（1，1，1），

所以Lλ是平行直線族，這說明曲面是由平行直線族Lλ生成的，所以曲面是柱面，且直母線的方向向量v=（l，m，n）=（1，1，1）.

分析4 曲面方程S為三元二次方程，因此可從二次曲面的一般理論出發(fā)，通過二次曲面的不變量與半不變量，分析判斷曲面類型.根據(jù)二次曲面的一般理論，若一個曲面方程滿足I3=I4=0，I2≠0，則該曲面為柱面.故本題的解題關(guān)鍵為論證題目中的曲面方程滿足I3=I4=0，I2≠0.

證明4 根據(jù)二次曲面的一般理論有，對于二次曲面的一般方程

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0，

有不變量，

I2=a11a12a12a22+a11a13a13a33+a22a23a23a33，

I3=a11a12a13a12a22a23a13a23a33，

I4=a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44，

若滿足I3=I4=0，I2≠0，則該曲面為柱面.

而本題中

I2=5-4-45+5-1-12+5-1-12=27≠0，

I3=5-4-1-45-1-1-12=0，

I4=5-4-110-45-110-1-12-201010-20-16=0，

故可判斷該曲面為柱面.

3 小 結(jié)

文中對例題從四種不同知識點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)行了分析.這四種解法看似差之千里，風(fēng)馬牛不相及，實(shí)則萬變不離其宗——本質(zhì)都是利用柱面方程的定義及其性質(zhì)解題.證明1和證明3都是通過柱面由一條定準(zhǔn)線與一個定方向確定這個定義入手進(jìn)行解題的，證明2是通過任意一個柱面方程均可通過空間直角坐標(biāo)變換化為不含交叉項(xiàng)的少一變量的三元二次方程為切入點(diǎn)進(jìn)行解題的，證明4則需要了解二次曲面的一般理論，運(yùn)用二次曲面的一般理論進(jìn)行論證說明.本文啟發(fā)式的解題思路，可以加深學(xué)生對柱面方程的定義及二次曲面一般理論的理解，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、獨(dú)立學(xué)習(xí)解題能力等.啟發(fā)式的教學(xué)方法不僅有助于發(fā)揮數(shù)學(xué)教師在教學(xué)工作中的主導(dǎo)地位，還有利于學(xué)生解答幾何問題時發(fā)揮主體地位，并有助于對學(xué)生各種思維能力的培養(yǎng).因此，教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過程中注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，通過啟發(fā)式的教學(xué)模式促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂質(zhì)量以及學(xué)生解題能力的有效提高.

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