由邊界曲面方程計算空間立體體積一般方法的探討

李亞玲 張新巍

【摘要】簡單的空間幾何體可以通過繪制圖形計算立體體積.但是，對空間想象能力一般或者沒有繪圖基礎(chǔ)的學(xué)生來說，借助繪圖計算邊界曲面較為復(fù)雜的空間立體體積就不容易了.本文探討了不借助繪制三維立體圖，而是從立體邊界曲面的方程出發(fā)利用二重積分計算一般空間立體的體積的一般方法.文中給出了通過方程運(yùn)用二重積分計算立體體積的三個步驟，并采用方法與例題相結(jié)合的形式，針對由方程確定投影區(qū)域的四個不同情形，較為全面地討論了計算空間立體體積的一般方法，同時也解決了三重積分計算中積分區(qū)域的表示問題.

【關(guān)鍵詞】投影區(qū)域;邊界曲面方程;空間立體體積;二重積分

一、引言

無論在基礎(chǔ)科學(xué)的研究，還是工程技術(shù)的應(yīng)用以及生產(chǎn)生活的方方面面中，我們都需要計算各種空間立體的體積.計算空間立體的體積是一種常見問題.中學(xué)數(shù)學(xué)已經(jīng)給出了很多規(guī)則幾何體的體積計算公式，如長方體、球體、圓錐、圓臺、圓柱等.通過定積分可以計算繞直線旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積以及截面面積已知的立體體積.很多文獻(xiàn)對相關(guān)問題也進(jìn)行了深入的探討.如參考文獻(xiàn)[4]針對同一個立體圖形在繪制出其空間圖形的基礎(chǔ)上討論了多種計算空間立體體積的方法.繪制出空間幾何體，我們就很容易利用二重積分或者三重積分計算出體積了.但是更多的空間立體無法繪制出其幾何形體，尤其是多張曲面所包圍的立體，這給我們求空間立體體積帶來了很大困擾.參考文獻(xiàn)[5]就曲面方程中只含一個z以及含兩個z（不含z=0）的情形給出了不繪制圖形的情況下利用二重積分求空間立體體積的方法，但沒有給出求立體體積的一般方法.

本文從空間立體的邊界曲面方程出發(fā)，通過對曲面方程進(jìn)行分類確定立體的頂?shù)酌嬉约傲Ⅲw的側(cè)面，著重分析了根據(jù)方程確定立體在坐標(biāo)面上投影區(qū)域（以xOy面為例）的一般方法，然后在投影區(qū)域上確定頂面和底面，進(jìn)而不借助空間圖形就可以利用二重積分計算一般空間立體的體積了.這不僅僅提供了計算空間立體體積的一般方法，為計算空間立體體積帶來了極大便利，同時可以用相同的方法表示出空間區(qū)域，解決了復(fù)雜積分域下利用坐標(biāo)面投影法計算三重積分積分限的確定問題，三重積分積分限的確定也是困擾很多人尤其是初學(xué)者的一個難題.

二、問題分析

由二重積分的幾何意義可知，如果z=f（x，y），（x，y）∈D是定義在xOy面上區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且z=f（x，y）≥0，則Df（x，y）dxdy表示以區(qū)域D為底，以z=f（x，y）為頂，以區(qū)域D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面為側(cè)面的曲頂柱體的體積.其中，積分區(qū)域D就是空間立體在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.若要計算一個頂為z2（x，y），底為z1（x，y），側(cè)面是以區(qū)域D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面的空間立體體積，可以將該立體看作是兩個以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積之差，積分區(qū)域D就是空間立體在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.那么，通過以 D為積分區(qū)域的二重積分

V=Dz2（x，y）dxdy-Dz1（x，y）dxdy

=D（z2（x，y）-z1（x，y））dxdy（1）

就可以計算該空間立體的體積.

顯然，對于一般的空間立體，只要將其看作是多個曲頂柱體的并或者差，就可以利用二重積分的和或者差得出該立體的體積.

利用二重積分計算空間立體體積的關(guān)鍵是確定積分區(qū)域和被積函數(shù).積分區(qū)域就是立體向坐標(biāo)面的投影區(qū)域，被積函數(shù)就由立體的頂面和底面方程確定.如果能畫出該空間立體的圖形，直觀上就可以確定該空間立體的投影區(qū)域以及底面和頂面，但是多數(shù)情況下空間立體的圖形很難畫出來，甚至也無法想象出，更無法確定其投影區(qū)域以及頂?shù)?，這給我們計算空間立體體積帶來很大難度.

已知圍成該立體的邊界曲面方程，如何不借助空間立體圖形求出立體體積呢？首先找到空間立體的底面、頂面和側(cè)面，然后確定立體在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域（也就是積分區(qū)域）以及被積函數(shù)，進(jìn)而利用二重積分求出空間立體的體積.其中，投影區(qū)域的確定是難點.投影區(qū)域一定為頂?shù)浊嫱队皡^(qū)域的公共部分，在該公共區(qū)域中考慮立體側(cè)面對投影區(qū)域的限制，也就是曲面相交的交線以及立體的側(cè)面（柱面）在坐標(biāo)面上的投影，就可以找到立體的投影區(qū)域.確定被積函數(shù)時，只需在投影區(qū)域上確定分布在該區(qū)域上的曲面哪個是頂面，哪個是底面即可.

下面以投影區(qū)域在xOy面上的空間立體為例，給出不借助空間立體圖形而是通過立體的邊界曲面方程計算空間立體體積的一般方法.

三、計算空間立體體積的一般方法

第一步，對曲面方程分類并初步確定空間立體的頂?shù)酌婧蛡?cè)面.

把含z的方程寫成顯函數(shù)z=z（x，y）的形式，其中含z的方程分為一類，不含z的方程分為一類.

根據(jù)曲面方程的特征，不含z的方程表示母線平行于z軸的柱面，所以這類曲面為空間立體的側(cè)面.含z的方程表示定義域為xOy面上的區(qū)域的曲面，因此這類曲面為空間立體的底面或者頂面，含z的方程的個數(shù)大于2時該立體為多頂或者多底的空間立體.

第二步，確定投影區(qū)域D.

立體的投影區(qū)域一定包含在頂?shù)酌嫱队皡^(qū)域的交集中.因此，首先確定頂面和底面本身的投影區(qū)域，也就是頂面和底面的曲面方程定義域（x，y的取值范圍）.然后在頂?shù)酌娴耐队皡^(qū)域范圍內(nèi)確定立體的投影區(qū)域.

立體的側(cè)面限制了x，y的取值范圍，由此也就確定了立體的投影區(qū)域.因此，通過母線平行于z軸的柱面以及底面和頂面的交線在xOy面的投影曲線就可以確定立體的投影區(qū)域.若柱面包圍的區(qū)域落在頂?shù)椎慕痪€之內(nèi)，則投影區(qū)域為柱面的投影曲線所包圍的區(qū)域;若柱面包圍的區(qū)域落在頂?shù)椎慕痪€之外，投影區(qū)域仍為柱面的投影曲線所包圍的區(qū)域，但需以頂?shù)捉痪€的投影曲線為界將投影區(qū)域分成兩部分，對應(yīng)將立體分為兩個立體，重新確定頂、底，再來計算;若頂?shù)捉痪€的投影曲線與柱面的投影曲線相交，則投影區(qū)域為兩類曲線所圍成的公共的區(qū)域.

我們在復(fù)雜情況下，常常結(jié)合投影區(qū)域的平面圖確定投影區(qū)域.首先畫出底和頂曲面的投影區(qū)域，然后在這個區(qū)域內(nèi)畫出底和頂交線的投影曲線以及母線平行于z軸的柱面的投影曲線，根據(jù)以上原則以及具體題目的要求很容易就可以得到投影區(qū)域了.

第三步，在投影區(qū)域D上確定立體的頂面和底面，并利用二重積分計算立體體積.

若只有兩個含z的曲面方程，則在投影區(qū)域D上比較含z方程的z值大小，z值大的曲面為頂，z值小的曲面為底，根據(jù)式（1）在投影區(qū)域上進(jìn)行二重積分就可求得立體體積.如果在投影區(qū)域的范圍內(nèi)既有z2≥z1的部分，也有z1≥z2的部分，則利用兩個曲面的交線的投影曲線z2=z1將投影區(qū)域D分成兩部分，分別確定投影區(qū)域這兩部分上的底面和頂面，并根據(jù)式（1）求出對應(yīng)兩個立體的體積再相加即可.

若有兩個以上含z的曲面方程，則該立體是多頂或者多底的情形，立體投影區(qū)域依然按照第二步中的方法確定，但頂?shù)變蓛上嘟?，一定會有交線的投影曲線將立體的投影區(qū)域分割，因此只需在每塊投影區(qū)域上確定頂?shù)撞⒎e分得到對應(yīng)立體的體積再相加即可.

通過這三個步驟可以確定空間立體的基本形態(tài)，同時可以確定以該空間立體區(qū)域為積分區(qū)域的三重積分的積分限.

利用二重積分求立體體積的難點在于確定投影區(qū)域.下面按照以上步驟來討論不同情形下確定投影區(qū)域的空間立體體積的求法.

四、舉例說明

4.1 由方程中含z曲面交線的投影確定投影區(qū)域的情形

曲面方程中沒有不含z的方程，則立體的側(cè)面為頂?shù)酌娴慕痪€.因此，在頂?shù)酌娑x域的交集中，立體向xOy坐標(biāo)面的投影區(qū)域就是交線的投影曲線包圍的區(qū)域.

例1 求由曲面z=x2+y2和z=2-x2-y2所圍成的立體體積.

解 （1）曲面z=x2+y2，z=2-x2-y2，（x，y）∈R2為立體的底頂，側(cè)面為頂?shù)椎慕痪€.

（2）在區(qū)域R2內(nèi)，由交線的投影曲線確定投影區(qū)域.由z=x2+y2，z=2-x2-y2消掉z可得x2+y2=1，因此立體在xOy面上的投影區(qū)域D為x2+y2≤1.

（3）在區(qū)域D上，始終有2-x2-y2≥x2+y2，所以立體的底面為z1=x2+y2，頂面為z2=2-x2-y2.

因此，該立體的體積為V=D（z2（x，y）-z1（x，y））dxdy=D[（2-x2-y2）-（x2+y2）]dxdy=π.

4.2 由不含z的柱面方程確定投影區(qū)域的情形

曲面方程中有不含z的方程時，立體的側(cè)面由方程不含z的曲面以及頂?shù)酌娴慕痪€確定.因此，在頂?shù)酌娑x域的交集中，若柱面的投影曲線落在頂?shù)捉痪€的投影曲線包圍的區(qū)域內(nèi)時，立體向xOy坐標(biāo)面的投影區(qū)域就是柱面的投影曲線包圍的區(qū)域.

例2 求由曲面x2+y2=1 與x2+z2=1所包圍立體的體積.

解 （1）由x2+z2=1可得z1=-1-x2，z2=1-x2（x2≤1，y∈R）表示立體的頂?shù)?，x2+y2=1立體的側(cè)面.

（2）兩個曲面的定義域為{（x，y）|x2≤1，y∈R}，同時也是兩個曲面交線的投影曲線所包圍的區(qū)域.柱面x2+y2=1的投影曲線包含在{（x，y）|x2≤1，y∈R}內(nèi)，可得所求立體的投影區(qū)域D為x2+y2≤1.

（3）在投影區(qū)域D上z1<0，z2>0，

因此z1=-1-x2為立體的底，z2=1-x2為立體的頂.

所以該立體的體積為V=D（z2（x，y）-z1（x，y））dxdy=D[1-x2-（-1-x2）]dxdy=163.

4.3 多頂面或多底面確定投影區(qū)域的情形

例3 求曲面z=xy，與平面x+y+z=1，z=0所圍成區(qū)域的立體Ω的體積V.

分析 該題屬于一底多頂?shù)目臻g立體，投影區(qū)域被兩個頂面交線的投影曲線劃分成兩部分，需要分別計算每個區(qū)域?qū)?yīng)的立體體積再求和.

解 （1）曲面z=xy，平面z=1-x-y，（x，y）∈R2為頂，平面y=0為底，曲面的側(cè)面為頂?shù)椎慕痪€.

（2）由曲面兩兩相交交線的投影曲線確定立體在xOy面上的投影區(qū)域.由z=xy，z=0得到投影曲線為x=0，y=0，由x+y+z=1，z=0，得到投影曲線為x+y=1，由x+y+z=1，z=xy，得到投影曲線為x+y+xy=1.投影曲線圍成的區(qū)域就是立體Ω在xOy面上的投影區(qū)域D，即D={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}.同時，交線x+y+xy=1將區(qū)域D分成D1，D2兩部分（如圖1）.

圖1 空間立體向坐標(biāo)面的投影區(qū)域

顯然，平面z=0為底，而曲面z=xy，平面x+y+z=1為頂.

D1對應(yīng)的頂是曲面z=xy，D2對應(yīng)的頂為平面x+y+z=1.所以，該立體的體積為：

V=D1xydxdy+D2（1-x-y）dxdy=∫10dx∫1-x1+x0xydy+∫10dx∫1-x1-x1+x（1-x-y）dy（計算略）.

4.4 多邊界曲面的情形

例4 求空間曲面z=y16-x2，x2+y2-4x=0，y2-4x=0與空間平面z=0，x=4在坐標(biāo)系O-xyz第一卦限所圍立體體積.

解 （1）對方程進(jìn)行分類，z=0，（x，y）∈R2以及z=y16-x2（-4≤x≤4，y∈R）分別表示立體的底頂;x2+y2-4x=0，y2-4x=0，x=4為立體的側(cè)面，同時頂?shù)椎慕痪€也有可能是立體的側(cè)面.

（2）在區(qū)域-4≤x≤4，y∈R內(nèi)，由z=y16-x2，z=0，得頂?shù)捉痪€的投影曲線為y=0，

x=±4，同時考慮柱面在xOy面的投影曲線方程為x2+y2-4x=0，

y2-4x=0，

x=4.在頂?shù)追匠痰亩x域中，柱面投影曲線包圍的區(qū)域落在頂?shù)捉痪€的投影曲線之內(nèi)，因此該立體的投影區(qū)域為柱面的投影曲線所包圍的區(qū)域D={（x，y）0≤x≤4，4x-x2≤y≤4x}，如圖2所示.

圖2

底和頂?shù)拇_定：本題中含有z的曲面方程有兩個：z=y16-x2，z=0.在確定的投影區(qū)域上，顯然有z=y16-x2>0，故曲面z=y16-x2為頂，平面z=0為底.

所以，該立體的體積為：Dy16-x2dxdy=∫40dx∫4x4x-x2y16-x2dy（計算略）.

五、結(jié)束語

本文針對空間立體圖形難畫并且不容易想象導(dǎo)致計算體積困難的普遍問題，討論了不繪制空間立體圖形，只通過立體的邊界曲面方程就可以利用二重積分計算空間立體體積的一般方法.其中，對方程分類確定立體的頂?shù)缀蛡?cè)以及在投影區(qū)域確定頂?shù)追匠讨械酌婧晚斆嫦鄬唵危罾щy的是如何確定立體向坐標(biāo)面的投影區(qū)域.文中以投影區(qū)域在xOy面為例，給出了計算立體體積的三個步驟，并分別針對確定投影區(qū)域的不同情形進(jìn)行舉例說明.如果投影區(qū)域在其他坐標(biāo)面時，方法一樣適用.實際運(yùn)用它的過程中，結(jié)合方程與投影區(qū)域的平面圖形計算空間立體體積會更加簡單.另外，計算空間區(qū)域上的三重積分的關(guān)鍵也是要把該區(qū)域表示出來，通過本文確定立體投影區(qū)域以及立體頂?shù)椎姆椒?，我們就可以將該立體區(qū)域表示出來.

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