二叉樹與布萊克-斯科爾斯模型對歐式期權(quán)定價的比較分析

何一若

（美國霍夫斯特拉大學(xué)弗蘭克扎伯商學(xué)院，美國 紐約 NY11549）

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，大數(shù)據(jù)已經(jīng)成為當今各行各業(yè)的一個顯著特征，金融大數(shù)據(jù)時代將促使金融風(fēng)險管理的理念及其工具發(fā)生深刻的變革。期權(quán)作為風(fēng)險管理和投機的工具，近年來發(fā)展迅猛。我們可以按照買賣權(quán)利的不同，將期權(quán)分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)；按照行權(quán)時間的不同，將期權(quán)分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)。另外還有大量非標準化期權(quán)衍生品，例如亞式期權(quán)［1］。期權(quán)定價是期權(quán)交易的前提，大數(shù)據(jù)時代如何為期權(quán)定價一直是經(jīng)濟學(xué)家、期權(quán)提供者、消費者共同關(guān)心的重要問題。

1973年，英國學(xué)者布萊克（Black Fischer）和斯科爾斯邁（Scholes Myron）提出了經(jīng)典的布萊克-斯科爾斯（Black-Scholes，BS）期權(quán)定價模型［2］。該模型簡單靈活，能夠給出確定的歐式期權(quán)定價公式，在為期權(quán)定價上優(yōu)勢突出。該模型并非對所有的期權(quán)都能夠得到解析解，例如該模型對算術(shù)平均亞式期權(quán)無法得到解析形式的定價公式。

1979年，美國學(xué)者考科斯（Cox）等人提出為期權(quán)定價的二叉樹數(shù)值方法，該方法直觀易操作［3］，對問題維數(shù)（變量個數(shù)）敏感，對一些高維問題無能為力?；镜腂S模型能夠?qū)W式期權(quán)進行定價，對在期權(quán)有效期內(nèi)可以隨時行權(quán)的美式看漲和看跌期權(quán)無能為力。在金融大數(shù)據(jù)時代，選擇合適的模型為不同類型的期權(quán)定價，是期權(quán)客制化的需求。因此，本文以股票為實證數(shù)據(jù)，首先比較分析布萊克-斯科爾斯模型與二叉樹模型對歐式期權(quán)定價的有效性，然后探究二叉樹定價模型對美式期權(quán)的估值效果，為期權(quán)定價奠定理論基礎(chǔ)。

一、數(shù)據(jù)來源與定價方法

本文以股票作為標的資產(chǎn)，分析不同模型對歐式期權(quán)和美式期權(quán)的定價性能。標的資產(chǎn)數(shù)據(jù)是從美國BloombergL.P.公司隨機下載的美國蘋果公司期權(quán)數(shù)據(jù)，含2017年11月17日美國蘋果公司（AAPL）各類期權(quán)期貨成交數(shù)據(jù)。分別用布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型和二叉樹期權(quán)定價模型對期權(quán)進行估值。

（一）布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型

我們參照美國學(xué)者桑達仁和達斯（Sundaram and Das）介紹的布萊克-斯科爾斯和二叉樹期權(quán)定價模型的假設(shè)前提和公式［4，5］稍作改進，在滿足布萊克-斯科爾斯模型合理預(yù)測的假設(shè)前提下，合理估算期權(quán)價格，即：

其中：

在公式中，C代表期權(quán)初始合理價格，L代表期權(quán)交割價格，S代表交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價，T代表期權(quán)有效期，R代表連續(xù)復(fù)利計無風(fēng)險利率，σ2代表年度化方差，N（）代表正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)。

（二）二叉樹期權(quán)定價模型

二叉樹期權(quán)定價模型的第一步是創(chuàng)建價格二項樹。價格二項樹的創(chuàng)建由估值日向期權(quán)到期日一步一步向前推。

第一步，假設(shè)標的資產(chǎn)價格都會移動u或者d（u＞=1，0＜d＜=1）。如果S0是當前價格，那么在下一步，價格會變成Su=S×u或者Sd=S×d。價格移動的幅度取決于標的資產(chǎn)價格的波動率σ以及每一步以年表示的時間長度t。其中：

第二步，找出每個最終節(jié)點上的期權(quán)價值。在二項樹的每一個最終節(jié)點即期權(quán)的到期日，期權(quán)的價格是它的內(nèi)在價值，也就是執(zhí)行價值：

對于看漲期權(quán)：Max[(Sn-K)，0]

對于看跌期權(quán)：Max[(K-Sn)，0]

其中，K代表期權(quán)的行權(quán)價格，Sn代表標的資產(chǎn)在第n個節(jié)點的期權(quán)價值，Nu代表價格向上運行的次數(shù)，Nd代表價格向下運動的次數(shù)。

第三步，找出更早節(jié)點上期權(quán)的價值。在風(fēng)險中性假設(shè)下，當日衍生品的真實價格等于它以無風(fēng)險利率折現(xiàn)的未來收益的期望價值。因此，期望價值可以由之后的兩個節(jié)點計算得出，分別給價格向上運動賦予概率p，價格向下運動的賦予概率（1-p），即：

其中，Ct，i代表第ith個節(jié)點在時間t的價值，p代表標的資產(chǎn)價格向上運動的概率，q代表標的資產(chǎn)在期權(quán)到期前的股息收益率。

我們根據(jù)以上公式計算獲得的即為二項樹價值，代表給定價格變化的情況下在特定點時期權(quán)的公允價值。我們根據(jù)期權(quán)類型的不同，判斷每一個節(jié)點上期權(quán)提前執(zhí)行的概率，如果期權(quán)能夠執(zhí)行且行權(quán)價值高于二項樹價值，那么節(jié)點價值為行權(quán)價值。歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，二項樹模型可以應(yīng)用于所有節(jié)點上歐式期權(quán)的定價。美式期權(quán)既可以持有，也可在到期日前行權(quán)，所以在每個節(jié)點上，期權(quán)價值為Max（二項樹價值，行權(quán)價值）。

（三）兩種模型的執(zhí)行

我們使用MATLAB（版本號R2021a）軟件編寫程序，分別執(zhí)行布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型和二叉樹期權(quán)定價模型的計算過程，對不同執(zhí)行價格的期權(quán)進行估值，對兩種模型的估值進行比較分析。

二、結(jié)果與分析

（一）二叉樹期權(quán)模型對歐式期權(quán)估值的效果分析

首先，本文以2017年11月17日美國蘋果公司（AAPL）期權(quán)的收盤價（157.005美元）為數(shù)據(jù)源，構(gòu)建一組模擬執(zhí)行價格。由21個步價格組成，每步價格分別為收盤價的50%至150%（每步價格遞增5%），由此得到三種類型估值，即In the money（實值）、At the money（平值）、Out the money（虛值）。

然后，我們應(yīng)用MATLAB軟件分別構(gòu)建上述日期美國AAPL期權(quán)的布萊克-斯科爾斯定價模型和二叉樹定價模型，獲得不同執(zhí)行價格下兩種模型對歐式看漲期權(quán)、看跌期權(quán)估價的模擬結(jié)果，見圖1。

圖1 不同執(zhí)行價格下兩種模型對歐式看漲期權(quán)、看跌期權(quán)估價的模擬結(jié)果

由圖1可見，布萊克-斯科爾斯和二叉樹定價模型對看漲期權(quán)的估值趨勢一致。隨著執(zhí)行價格的增加，布萊克-斯科爾斯和二叉樹定價模型對看漲期權(quán)的估值下降；隨著執(zhí)行價格的增加，布萊克-斯科爾斯和二叉樹定價模型對看跌期權(quán)的估值上升。兩種定價模型對看漲期權(quán)的估值曲線和看跌期權(quán)的估值曲線均在當日美國蘋果公司（AAPL）的收盤價處相交，說明本文構(gòu)建的二叉樹和布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型能夠正確反映不同執(zhí)行價格下期權(quán)價值的變動趨勢。

我們以布萊克-斯科爾斯定價模型的估值為參照，計算不同模擬步數(shù)和不同執(zhí)行價格下二叉樹定價模型的估值誤差，結(jié)果見圖2。

圖2 不同循環(huán)步驟（A）和不同執(zhí)行價格（B）下二叉樹定價模型的估值誤差

由圖2A可見，隨著模擬步數(shù)的提高，兩種模型對歐式期權(quán)的估算價格趨于相同。模擬步數(shù)在0至200時，兩者估值的差值快速下降；模擬步數(shù)在200至700時波動性大；模擬步數(shù)達到1425時，兩組模型對期權(quán)估算價格的差值小于0.001；在2000步之后保持相對穩(wěn)定的狀態(tài)。

由圖2B可見，在不同執(zhí)行價格下，兩種模型對美國蘋果公司（AAPL）期權(quán)估值表現(xiàn)也有所不同。當執(zhí)行價格處于平值附近時，兩者的估值誤差達到最大值。執(zhí)行價格從平值趨向?qū)嵵祷蛘咛撝底儎拥倪^程中，兩者的估值差均逐漸趨向0。

由圖2B又可見，二叉樹定價模型對歐式看漲和看跌期權(quán)的估值表現(xiàn)完全相同（兩條線重合）。

（二）二叉樹定價模型的波動性分析

1.不同執(zhí)行價格下二叉樹模型的波動性分析

我們在Sigma變量分別是原始Sigma值的1.5和0.5倍時，計算不同執(zhí)行價格下二叉樹和布萊克斯科爾斯定價模型的估值誤差，見圖3。

圖3 在1.5倍波動性（A）和0.5倍波動性（B）時不同執(zhí)行價格下二叉樹模型對歐式期權(quán)的估值誤差

由圖3可見，Sigma分別為1.5和0.5倍的波動性時，不同執(zhí)行價格下二叉樹模型的估值誤差變化趨勢基本相同，均在當日蘋果公司（AAPL）的收盤價處出現(xiàn)最大的估值誤差，在執(zhí)行價格趨向?qū)嵵祷蛱撝禃r估值誤差逐漸趨于平坦。相比大波動性組（1.5sigma），小波動性（0.5sigma）下二叉樹模型的估值性能更穩(wěn)定。

2.不同模擬步數(shù)下二叉樹模型的波動性分析

計算不同波動性、不同模擬步數(shù)下二叉樹定價模型對看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的估值誤差，見圖4。

圖4 在1.5倍波動性（A）和0.5倍波動性（B）時不同模擬步數(shù)下二叉樹模型對歐式期權(quán)的估值誤差

由圖4A可見，隨著模擬步數(shù)的增加，三組不同波動性二叉樹模型對看漲期權(quán)的估值誤差皆呈現(xiàn)下降的趨勢；1.5倍Sigma 的二叉樹模型估值誤差大于原始Sigma 的二叉樹模型，原始Sigma 組估值誤差大于0.5倍Sigma組。三組不同波動性二叉樹模型分別在模擬步數(shù)為3000、1500、950時估值誤差小于0.001。三組不同波動性二叉樹模型對看跌期權(quán)估值誤差的變化趨勢與上述相同（圖4B），表明二叉樹模型對歐式期權(quán)估值誤差與波動性成正相關(guān)，波動性越大，估值誤差越大，得到精確估值的模擬步數(shù)也越高，這一結(jié)論適用于看漲期權(quán)和看跌期權(quán)兩種情況。

3.不同貨幣性下二叉樹模型的波動性分析

分析不同Sigma 值、不同模擬步數(shù)，二叉樹對In the money（實值，ITM）、At the money（平值，ATM）、Out the money（虛值，OTM）三種類型期權(quán)的估值誤差，結(jié)果見圖5。

圖5 不同波動性不同模擬步數(shù)下二叉樹模型對歐式期權(quán)的估值誤差

圖5A、圖5B、圖5C是Sigma分別為0.5、1、1.5時二叉樹對看漲期權(quán)的估值。隨著模擬步數(shù)的增加，二叉樹模型對三種類型看漲期權(quán)估值誤差均迅速下降，其中對虛值期權(quán)估值誤差的收斂性最強，其次是實值，平值的收斂性最差。波動性由0.5倍Sigma上升至原始Sigma時，二叉樹模型對平值期權(quán)估值誤差的收斂性基本不受影響，實值的收斂性有波動，虛值則產(chǎn)生劇烈的波動；波動性進一步從原始Sigma上升至1.5倍Sigma時，平值的收斂性仍然不受影響，實值和虛值在收斂過程中波動性進一步加大。

圖5D、圖5E、圖5F是Sigma分別為0.5，1、1.5時二叉樹對看跌期權(quán)的估值。隨著模擬步數(shù)的增加，二叉樹模型對三種類型看跌期權(quán)估值誤差均迅速下降。與看漲期權(quán)不同的是，二叉樹模型對實值期權(quán)估值誤差的收斂性最強，其次是虛值，平值的收斂性最差；波動性由0.5倍Sigma上升至原始Sigma時，二叉樹模型對平值期權(quán)估值誤差的收斂性基本不受影響，虛值的收斂性略有波動，實值的收斂性則產(chǎn)生劇烈波動；波動性進一步上升至1.5倍Sigma時，平值的收斂性仍然不受影響，實值和虛值的波動進一步加大。

由此可見，二叉樹模型對實值、平值、虛值三種不同類型期權(quán)估值誤差的收斂性對于波動性的敏感程度不同。對看漲期權(quán)，二叉樹模型對虛值期權(quán)的估值誤差呈現(xiàn)最強的收斂性，但受波動性的影響也最大，其次是實值期權(quán)。對看跌期權(quán)，二叉樹模型對實值期權(quán)估值誤差的收斂性最強，受波動性的影響最大，其次是虛值?？礉q期權(quán)和看跌期權(quán)的平值的收斂性雖然最差，但是基本不受到波動性的影響。

3.二叉樹模式對美式期權(quán)的估值效果分析

由上可見，本文構(gòu)建的二叉樹模型對歐式看漲和看跌期權(quán)的估值性能較好。為此，本文進一步用該模型預(yù)測美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格。美式看漲期權(quán)、看跌期權(quán)價格均采用2017年11月17日當天美國蘋果公司（AAPL）股票的真實值（來自Bloomberg），二叉樹定價模型的模擬步數(shù)為1000步，結(jié)果見圖6。

圖6 不同執(zhí)行價格下二叉樹模型對美式期權(quán)估值的誤差

由圖6可見，二叉樹模型對看跌期權(quán)的模擬價格接近真實價格，且在執(zhí)行價格處于80至170時，誤差的波動性小，接近直線；對看漲期權(quán)的估值在虛值時偏離真實值較多，且波動較大；當期權(quán)執(zhí)行價格逐漸靠近平值和實值時，誤差變小并趨于穩(wěn)定。表明二叉樹定價模型對美式看漲期權(quán)、看跌期權(quán)估值的誤差表現(xiàn)不同。

三、討論和小結(jié)

本文以美股AAPL為標的資產(chǎn)，首先應(yīng)用兩種不同模型，即布萊克-斯科爾斯和二叉樹，對標的歐式期權(quán)進行定價；然后以布萊克-斯科爾斯模型的估值為參照，分析二叉樹模型估值的有效性。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在不同執(zhí)行價格下，二叉樹模型對歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的估值表現(xiàn)與布萊克-斯科爾斯模型的相一致，模擬步數(shù)達到2000時，二叉樹模型能夠?qū)W式期權(quán)進行正確估值。

前人的研究發(fā)現(xiàn)，相對于蒙特卡羅模擬方法，布萊克-斯科爾斯和二叉樹模型對三種不同類型的貨幣性估價都太高［6］。這可能是由股票價格隨機跳躍、不連續(xù)的特點導(dǎo)致的，而二叉樹模型是在離散時間上對期權(quán)進行定價。與布萊克-斯科爾斯模型相比，二叉樹模型更適合用于股票期權(quán)的定價。本文研究發(fā)現(xiàn)，當執(zhí)行價格處于平值附近時，二叉樹模型對期權(quán)估值誤差達到最大值。執(zhí)行價格趨向?qū)嵵祷蛘咛撝禃r，估值誤差均逐漸趨向于0，說明二叉樹模型能有效對實值或虛值期權(quán)做出估值。阿爾及利亞學(xué)者本大伯（Bendob）和本圖爾（Bentouir）的研究也得到相同結(jié)論，證明二叉樹模型對虛值期權(quán)定價的有效性［6］。

我們對本文構(gòu)建二叉樹模型的波動性分析發(fā)現(xiàn)，波動性越大，對歐式期權(quán)估值誤差越大，說明在小波動性（0.5sigma）下，二叉樹模型的估值性更穩(wěn)定，前人的研究也得到類似結(jié)論。不穩(wěn)定性低時，二叉樹和布萊克-斯科爾斯模型的估值有效性較高［7］?？礉q期權(quán)和看跌期權(quán)的二叉樹模型對平值期權(quán)的收斂性雖然最差，但是基本不受到波動性的影響。

美式期權(quán)與普通歐式期權(quán)不同，在期權(quán)有效期內(nèi)可以隨時行權(quán)，不宜用普通的布萊克-斯科爾斯模型對美式期權(quán)進行定價。本文構(gòu)建的二叉樹模型對美式看跌期權(quán)的估值表現(xiàn)出較好的有效性，在不同執(zhí)行價格下，二叉樹模型對美式看跌期權(quán)的估值均接近真實值。

總之，本文研究發(fā)現(xiàn)，二叉樹模型對歐式期權(quán)的估值效果較好，對美式看跌期權(quán)的估值接近真實值，對美式看漲期權(quán)的估值誤差波動性較大。