依托課堂評價(jià)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

[摘要]課堂評價(jià)是課堂教學(xué)中的重要組成部分，是促進(jìn)高質(zhì)量教學(xué)的手段，對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)具有診斷和促進(jìn)作用.文章以教學(xué)評價(jià)為依據(jù)，結(jié)合多個(gè)例題，談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中怎樣利用課堂評價(jià)來促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展

[關(guān)鍵詞]課堂評價(jià);直覺推理;抽象推理;聯(lián)想推理

作者簡介：何建霞（1976-），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深人，帶來了諸多教學(xué)變革，其中較為顯著的就是變“講授式”教學(xué)為“對話式”教學(xué)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)再也不是教師一廂情愿的“表演”，而是以教師、學(xué)生和文本對話為載體的教學(xué)過程.長久以來這樣的對話中課堂評價(jià)不僅可見可聞，而且易于操作，同時(shí)對學(xué)生思維能力和推理能力有著巨大的推動(dòng)作用.現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為，有效的課堂教學(xué)離不開或明或暗的教學(xué)評價(jià)，它是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，提升學(xué)生推理能力的有效措施.這就啟發(fā)我們可以依靠課堂評價(jià)的內(nèi)在力量，借助各種教學(xué)策略來促進(jìn)學(xué)生的幾何推理能力.

通過對思維過程的評價(jià)，助カ直覺推理能力的形成

學(xué)生的思維過程是通過表征的方式進(jìn)行外顯的，當(dāng)學(xué)生完成某個(gè)數(shù)學(xué)思維后，則會(huì)形成語言成分和非語言成分的表征，二者對于思維過程同樣重要通過對學(xué)生思維過程的評價(jià)，即評價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力，則可對其思維過程有一個(gè)準(zhǔn)確的認(rèn)識.在幾何教學(xué)中，教師可以適當(dāng)?shù)念}目為載體，讓學(xué)生去積極領(lǐng)悟和直接洞察，直觀揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).而此時(shí)需要教師的細(xì)致而個(gè)性的適時(shí)評價(jià)，來激起學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性，使其獲得數(shù)學(xué)的體驗(yàn)和對話，并逐步升華為直覺推理能力的提升.例1如圖1，已知數(shù)軸上有a和め兩點(diǎn)，試判斷一，-b，a，b，a-b，a+b的大小關(guān)系.

此題主要用來測試學(xué)生的直觀推理能力，需要直觀思維的支撐.在完成本道題的過程中，不少學(xué)生由于對概念的理解不夠充分，無法將與之對應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上一表示，從而導(dǎo)致了解題錯(cuò)誤.在解題教學(xué)中，面對學(xué)生的錯(cuò)誤解答，自然需要教師通過數(shù)軸將“描點(diǎn)”的技術(shù)傳授給學(xué)生，并將“如何會(huì)想到描點(diǎn)”滲透給學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生真正意義上的理解和領(lǐng)悟.進(jìn)一步地，教師可以拋出問題“誰能一找尋到以上所有的坐標(biāo)點(diǎn)”，從而為學(xué)生提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、思考、判斷和猜想，具體形象地表示出所有的數(shù)，并表達(dá)自身認(rèn)識的過程，同時(shí)使其直觀感受到“相反數(shù)在數(shù)軸上的具體位置關(guān)系”而此時(shí)教師需要對于學(xué)生的表征進(jìn)行評價(jià)，正確的予以充分肯定，錯(cuò)誤的予以及時(shí)糾正，進(jìn)而使得其中蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律便會(huì)在這一個(gè)個(gè)的課堂評價(jià)中慢慢顯露出來，解決本題就不困難了，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維及直覺推理能力的發(fā)展

通過對問題解決的評價(jià)，助カ抽象推理能力的形成

對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推理分析是尋求到解決問題的策略的重要環(huán)節(jié)，在幾何教學(xué)中教師需要努力培養(yǎng)和提升學(xué)生的抽象推理能力.教師需要對學(xué)生的問題解決有準(zhǔn)確的預(yù)估，并對學(xué)生的問題解決過程進(jìn)行評價(jià)，通過課堂評價(jià)為學(xué)生搭建適宜的“思維腳手架”，幫助學(xué)生及時(shí)洞察問題的內(nèi)涵，助力學(xué)生逐步形成“抽象推理”的能力

例2如圖2，已知AB=CD，BC=DA，且AC上有E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問：當(dāng)BF，DE滿足什么條件時(shí)，AE=CF

這是從課本習(xí)題中改編而來的，這樣開放性的問題，可以引發(fā)學(xué)生的深度思考和自主探究.學(xué)生經(jīng)過一番思考后得出以下結(jié)論

生1：當(dāng)DE=BF時(shí)，AE=CF.具體證明過程如下：因?yàn)锳B=CD，BC=DA，所以四邊形ABCD為平行四邊形，所以∠1=∠2，因?yàn)椤鱀AE≌△BCF，所以AE=CF.（事實(shí)上，這樣的錯(cuò)誤是學(xué)生易犯的錯(cuò)誤，已在教師的預(yù)設(shè)范圍之內(nèi)）師：生1的解題過程是否正確？下面以小組合作討論的形式進(jìn)行分析.（學(xué)生討論熱情很高，課堂氣氛火熱）

生2：剛才生1是通過“SSA"”的方式進(jìn)行證明的，證明理由不夠充分.（其余學(xué)生頓時(shí)領(lǐng)悟）

生3：我認(rèn)為當(dāng)DE⊥AC，BF⊥AC時(shí)，AE=CF.具體證明過程如下：因?yàn)镈E⊥AC，BF⊥AC、所以∠DEA=∠BFC=90°，∠1=∠2.又因?yàn)锽C=DA4，所以△DAE≌△BCF，所以AE=CF（AAS

生4：生3所說的垂直這一情況是特例，事實(shí)上只需要當(dāng)DE∥BF時(shí)，則有∠DEC=∠BFA，∠DEA=∠BFC，則△DAE≌△BCF，所以AE=CF得證.

師：大家的解法都非常棒，不僅思路清晰，而且結(jié)論也很正確.

生5：那么當(dāng)BF，DE共線時(shí)，AE=CF是否成立？（生5的提問顯然已經(jīng)在教師的預(yù)設(shè)范圍之外）

生6：當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AC兩個(gè)端點(diǎn)的延長線上，結(jié)論又會(huì)如何呢？

師：非常好，生5和生6的思維顯然已經(jīng)延展開去了，提出的問題也十分具有探究性，讓我們一起來研究

以上教學(xué)過程中，教師試圖從問題解決過程中讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力，以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).本質(zhì)上，本題旨在為學(xué)生提供開放的空間，創(chuàng)造出抽象推理的過程，學(xué)生的回答讓教師甚是欣慰.這里，學(xué)生一次又一次的思維延伸，有助于學(xué)生養(yǎng)成創(chuàng)新思維的習(xí)慣，并提升系統(tǒng)思維的水平.特別地，教師以別致的課堂評價(jià)方式，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和獨(dú)立思考提供了契機(jī)，讓學(xué)生真正進(jìn)人思考狀態(tài)，使其有了展示成果的迫切欲望，增強(qiáng)了教學(xué)的有效性，培養(yǎng)了學(xué)生抽象推理能力

通過對知識技能的評價(jià)，助カ聯(lián)想推理能力的形成

聯(lián)想推理能力是創(chuàng)新思維的一種，培養(yǎng)聯(lián)想推理是教師培養(yǎng)幾何推理能力的著力點(diǎn)，是培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的有效載體，是張揚(yáng)學(xué)生個(gè)性的重要途徑.知識技能是對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知，具有般性.因此，教師在幾何教學(xué)中不僅需關(guān)注到問題解決和思維過程的評價(jià)，還需關(guān)注到知識和技能的評價(jià)，讓學(xué)生及時(shí)聯(lián)想推理，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想推理能力

例3如圖3，已知△ABC中，有AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)D平分邊BC，且點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上，BE=AF，證明△DEF為等腰直角三角形

師：本題若證明DE=DF，則如何關(guān)聯(lián)已知條件和已學(xué)知識呢？

生1：我覺得可以聯(lián)想證明三角形全等的方法進(jìn)行證明.連接AD，易證△AED≌△CFD或△BED≌△AFD，再借助∠BDE=∠ADF，即可得出∠EDF-90

師：這里“連接AD”的作用是什呢？

生1：圖3中并未展現(xiàn)兩個(gè)三角形全等，需要通過聯(lián)想去構(gòu)造.通過AB=AC點(diǎn)D平分邊BC，聯(lián)想等腰三角形的“三線合一”，即可實(shí)現(xiàn)構(gòu)造全等.

師：以聯(lián)系的觀點(diǎn)來解決問題，并快速找尋到線段之間的關(guān)系，非常棒的想法，想象力也十分豐富，希望其他同學(xué)也能得到啟示.（學(xué)生通過以上思路，進(jìn)一步得出∠BAD=∠CAD=45°，又因?yàn)椤螧=∠C=45°，可得∠B=∠DAC，再

由AD=BD即可得證.）

生2：我還有其他方法

師：來和大家具體說一說呢.

生2：可以作DH⊥AB，DG⊥AC，可得DH=DG.由于BH=AG=AB，BE=AF，得出EH=CF，所以△HED≌△CDF再由∠EDH=∠FDG，∠HDC=90°，可得∠EDF=90°，從而得證.（具體作圖和證明過程略）

師：非常棒的證法！那么，以上證法有什么共同之處？

生3：都作了輔助線AD

師：很好，那是否必須作輔助線AD

生4：也可以不作.可以在AC上取CH=BE，并作DG⊥AC，得出△BED≌△CHD，△DGF≌△DCGH，可得ED=DH=DF，∠DFG=∠DHG=∠DEA，可得∠AED+∠AFD=180°，進(jìn)一步得出∠EDF=∠A=90°.（作圖和具體證明過程略）

師：很不錯(cuò).那這里，倘若點(diǎn)E在AB的延長線上，點(diǎn)F在CA的延長線上，且BE=AF，其余條件均不改變，那么以上結(jié)論是否還成立呢？若成立，請予以證明.若不成立，請說明理由

數(shù)學(xué)解題，尤其是中考試題對學(xué)生推理能力的要求高，而幾何推理能力不可能經(jīng)過一節(jié)課或幾節(jié)課形成.教師心中轉(zhuǎn)載著推理和抽象的辯證關(guān)系，通過引申和推廣的方式，借助適當(dāng)?shù)恼n堂評價(jià)，為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生畫圖探究解題過程，切實(shí)體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的形象性和推理的必要性，從而得出多種多樣的解題策略，讓幾何推理過程越發(fā)鮮活起來，并使學(xué)生形成聯(lián)想推理的刁慣，學(xué)生推理能力的培養(yǎng)便落地生根了.

總之，不管課程改革如何深化，也都是萬變不離其宗的.數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)，不僅需要教學(xué)方法對頭，還需要從推理能力的幾個(gè)層面入手，一以貫之地加以培養(yǎng)，自然可以瓜熟蒂落.教師應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生的推理能力當(dāng)作數(shù)學(xué)教學(xué)的“行動(dòng)指南”之一，并與課堂評價(jià)有機(jī)結(jié)合，在師生對話和生生對話中愉快地解題，使其慢慢養(yǎng)成幾何推理的習(xí)慣，慢慢形成數(shù)學(xué)推理的本領(lǐng)，水到渠成地培養(yǎng)幾何推理能力