分類幾何多情形，討論問題解析法

[摘要]幾何多情形間題在初中數(shù)學(xué)中十分常見.幾何多情形的成因是多樣的，文章列舉幾何特征不具體、對應(yīng)關(guān)系不明、元素結(jié)構(gòu)多樣、落點(diǎn)位置不定四大類型，總結(jié)類型問題的常涉內(nèi)容及解題思路，并開展教學(xué)反思，提出相應(yīng)建議

[關(guān)鍵詞]幾何;多情形;特征;對應(yīng);結(jié)構(gòu);落點(diǎn)

作者簡介：王芳（1968-），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作

幾何多情況分析是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)之一，問題解析需要把握造成多情形的因素，并對其加以分類討論.往往造成幾何多情形的因素是多樣的，如幾何特征不具體、對應(yīng)關(guān)系不明、線段關(guān)系多樣、落點(diǎn)位置不定等，下面對其深人探究，并開展教學(xué)反思

幾何多情形舉例探討

類型一：幾何特征不具體造成的多情形

幾何特征不具體可以造成多情形，出現(xiàn)多解，如直角三角形的直角、等腰三角形的腰、特殊角度等.問題解析時需要結(jié)合題干信息討論標(biāo)準(zhǔn)，利用幾何特征來分析解答，但需要根據(jù)題意確定需要討論的具體情形，確保分析合理.

例1如圖1所示，已知在△ABC中AB=AC=6，BC=8，點(diǎn)P是底邊BC上不與點(diǎn)B和C相重合的一點(diǎn).∠DPE=∠B，且D邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，另一邊PE與AC交于點(diǎn)F，當(dāng)△APF為等腰三角形時，則PB的長為

分析求△APF為等腰三角形時PB的長，題干沒有設(shè)定等腰三角形的腰，故問題因等腰三角形特征不具體造成了多情形，需要分別討論AP=PF，AFPF，AF=AP三種情形，具體如下解：①當(dāng)AP=PF時，可證△ABP≌△PCF，則PC=AB=6，所以PB=2②當(dāng)AF=PF時，可證△ABC△FAP，由相似性質(zhì)可得APAC6PFBC8從而有PC=，所以PB=③當(dāng)AF=AP時，點(diǎn)P將與點(diǎn)B相重合，不符合題意，故該情形不存在.

綜上可知，PB的長可為2或者點(diǎn)評本題目造成多情形的原因是題干沒有設(shè)定等腰三角形的腰和頂點(diǎn)從而造成可能出現(xiàn)三種等腰情形，屬于因幾何特征不具體造成的多情形.上述解析中的第三種情形不存在，是由于題干設(shè)定了兩點(diǎn)不相重，因此在實(shí)際解題時需要準(zhǔn)確把握問題的限定條件.類型二：全等或相似對應(yīng)不明造成的多情形幾何中常出現(xiàn)求證三角形相似或全等的問題，而在問題分析時需要辨析“△ABCい△A'B'C"”與“△ABC和△A'B'C'相似”“△ABC≌△A'B'C'”與“△ABC和△A'B'C全等”，實(shí)際上出現(xiàn)符號“い”和“≌”則表示三角形的相似或全等的對應(yīng)關(guān)系明確，否則對應(yīng)關(guān)系不明，此時就需要對其加以討論.2在圖2所示的矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cmn點(diǎn)P從點(diǎn)A以2cm/s的速度沿著AB邊向點(diǎn)B移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)D以1cm/s的速度沿著DA邊向點(diǎn)A移動.使用時間表示動點(diǎn)的移動時間（0《《6），試分析為何值時，以點(diǎn)Q，A，P為頂點(diǎn)的三角形可與△ABC相似？

分析本題目屬于幾何動點(diǎn)問題，題干設(shè)定了兩個動點(diǎn)的運(yùn)動條件（速度、方向、始點(diǎn)和終點(diǎn)），需要分析△AQP與△ABC相似時的時間，顯然沒有設(shè)定相似對應(yīng)關(guān)系，因此需要分別加以討論.根據(jù)題意，分析可知△AQP與△ABC相似，有兩種情形：△ABCい△PAQ或者△ABCい△QAP

解：①當(dāng)△ABCい△PAQ時，由相似性質(zhì)可得ABBC代入線段長可得APAQ1510可解得2t10-t

②當(dāng)△ABCい△QA4P時，可得CBBA代入線段長可得可解AQ2t10-t得綜上可知，當(dāng)為或者二時，以點(diǎn)Qの，A，P為頂點(diǎn)的三角形可與△ABC相似.

點(diǎn)評上述涉及動點(diǎn)的三角形相似問題中存在相似對應(yīng)不明的情形，故需要對其中的相似關(guān)系進(jìn)行討論，而討論的相似情形是由幾何特征和動點(diǎn)條件來確定的.在實(shí)際解題時需充分理解題千信息，確定是否存在多解情形類型三：元素結(jié)構(gòu)多樣造成的多情形

幾何中也存在元素結(jié)構(gòu)多樣造成的多情形問題，如平行四邊形中的兩點(diǎn)所成線段關(guān)系、幾何翻折中兩線段的相對關(guān)系等.解題時需要充分考慮元素的位置關(guān)系、組成關(guān)系對幾何圖形造成的影響，合理分類，準(zhǔn)確討論.

例3已知三角形紙片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm.現(xiàn)將該紙片沿著過點(diǎn)B的直線進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)A落在斜邊BC上的點(diǎn)E處，記折痕為BD（如圖3），剪去△CDE后可得雙層△BDE（如圖4），再沿著過△BDE的某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形為平行四邊形，則所得到的平行四邊形的周長為cm

分析本題目屬于圖形翻折問題，要求形成平行四邊形，但組成平行四邊形的線段關(guān)系多樣，會造成多種情形，主要有以下兩種情況：一是以DF為平行四邊形的對角線，二是以DF為平行

四邊形的一邊，下面結(jié)合圖形討論

解：分析R△ABC，AC=30，∠C=30°，則AB=BE=10V3，由對稱性可知∠ABD=∠EBD=30°，所以AD=DE=10，CD）=20.

①當(dāng)沿著過點(diǎn)E的直線剪開，展開后的圖形是以DF為對角線的平行四邊形ADEF時，如圖5所示，此時AD和DE為相鄰邊，有AD=DE=10，所以平行四邊形ADEF的周長L=44D=40.

②當(dāng)沿著過點(diǎn)D的直線剪開，展開后的圖形是以DF為一邊的平行四邊形DFBC時，如圖6所示，此時DF和DG為相鄰邊，由折疊性質(zhì)可得DG=DF，DF∥AB，所以由比例性質(zhì)可得FCDABCA則AB=10V3、DF_20V3所以平行四邊形DFBG的周長L=4DF=80V

綜上可知，所得到的平行四邊形的周長為40cm或者80V3cm點(diǎn)評本題目中涉及了圖形翻折，由于沒有設(shè)定剪開的直線，使得DF在平行四邊形中的結(jié)構(gòu)不確定，可為其邊長或?qū)蔷€，從而造成問題的多解.幾何元素的多樣性需重點(diǎn)研究線段或角度在圖形中的結(jié)構(gòu)多樣，注意培養(yǎng)多解思維.

類型四：幾何落點(diǎn)位置不定造成的多情形

在動態(tài)幾何中往往會涉及落點(diǎn)，有時落點(diǎn)的不同也會造成幾何多情形，影響整體圖形結(jié)構(gòu)，此時就需要對落點(diǎn)位置進(jìn)行討論，實(shí)際討論過程中建議構(gòu)建模型，采用數(shù)形結(jié)合的方式.

例4（2020年合肥市六區(qū)聯(lián)考卷）如圖7所示，△ABC為等邊三角形，已知AB=4cm，點(diǎn)M為BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和B相重合）.如果點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)B'恰好落在等邊△ABC的邊上，則BN的長為

分析本題目為翻折問題，需要研

究點(diǎn)B的落點(diǎn)，題千只設(shè)定其對稱點(diǎn)B落在△ABC的邊上，但沒有具體到哪一邊，常規(guī)來講有三種可能，但由于點(diǎn)M的位置固定，則落點(diǎn)B'只可能在AB和AC邊上，需要討論這兩種情形.解：①當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時，如圖8所示，則MN⊥AB，有BN=B'N由題意可知AB=AC=BC，∠ABC-60°，BM=BC=-AB=2，則BN=-BM=1

②當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)B恰好落在等邊△ABC的邊AC上時，如圖9所示，則MN⊥B'B，此時四邊形BMB'N是菱形.又知∠ABC=60°，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，所以BN=BM=BC=2

綜上可知，BN的長為1cm或者2cm點(diǎn)評本題目中的多情形是由落點(diǎn)所在位置不確定造成的，但由于點(diǎn)M的位置固定使得落點(diǎn)只有兩種情形.對于幾何中的多情形問題，判斷討論情形是難點(diǎn)之而合理利用幾何性質(zhì)構(gòu)建解析模型則是難點(diǎn)之二，學(xué)習(xí)時需要關(guān)注幾何知識融合.

多情形探究教學(xué)建議

1.注意總結(jié)歸納，探究多解成因幾何多情形問題類型較多，上述探究了其中常見的四種類型及其成因，建議教學(xué)中結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)幾何多情形問題，分析引發(fā)多情形的因素，總結(jié)討論標(biāo)準(zhǔn)，形成解題方法策略.以類型一的幾何特征不定為例，可以從等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形人手總結(jié)特征，歸納多情形的圖形結(jié)構(gòu)及性質(zhì).

2.關(guān)注數(shù)學(xué)思想，合理滲透解題幾何多情形探究的核心思想為分類討論，其實(shí)質(zhì)為根據(jù)研究對象共性與差異將問題分為多種類的思想方法，該思想方法可將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為幾個簡單問題的組合.建議教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解分類討論思想的內(nèi)酒，掌握思想方法使用的三大原則

①統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn);②分組獨(dú)立;3③逐級討論.同時引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)利用分類討論思想解析幾何多情形問題的基本思路.

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生邏輯幾何多情形是造成多解的原因所在，該類問題較為特殊，對于學(xué)生的思維嚴(yán)密性有著較高的要求，因此在教學(xué)中有必要有意識地加以培養(yǎng).如教學(xué)類型二中的相似或全等對應(yīng)不明引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號和文字語言之間的差異，考慮到幾何多情形問題的分析思路較為重要，教學(xué)時可以結(jié)合典型例題，按照“圖形理解→多情形分類→建模討論→總結(jié)歸納”的思路進(jìn)行，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，促進(jìn)解題能力的提升.