沿函數(shù)之道 通方程之路

燕娜

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a是常數(shù)）是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常數(shù)）當(dāng)y=0時的特殊情況，因此，我們在研究一元二次方程時，有時需要借助二次函數(shù)的圖像來解決問題。

【閱讀材料】在實際問題中有時只需要求得方程的近似解，這個時候，我們通常利用函數(shù)的圖像來完成。如，求方程x2-2x-2=0的實數(shù)根的近似解，觀察函數(shù)y=x2-2x-2的圖像，如圖1：發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量x=2時，函數(shù)值y=-2<0，點（2，-2）在x軸下方;當(dāng)自變量x=3時，函數(shù)值y=1>0，點（3，1） 在x軸上方。因為拋物線y=x2-2x-2是一條連續(xù)不斷的曲線，所以拋物線y=x2-2x-2在2

進一步，我們?nèi)?和3的平均數(shù)2.5，計算當(dāng)自變量x=2.5時，函數(shù)值y=-0.75<0，點（2.5，-0.75）在x軸下方，由此可知，方程的這個根在2.5與3之間，可以取它們之間任意一個數(shù)作為近似解，該近似解與真實值的差都不會大于3-2.5=0.5。

重復(fù)以上操作，隨著操作次數(shù)的增加，根的近似值會越來越接近真實值。

【問題】用以上方法求方程x2-2x-2=0小于0的解，且使所求的近似解與真實值的差不超過0.3，該近似解為__________。

【解析】觀察函數(shù)y=x2-2x-2的圖像，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)自變量x=0時，函數(shù)值y=-2<0，點（0，

-2）在x軸下方;當(dāng)自變量x=-1時，函數(shù)值y=1>0，點（-1，1） 在x軸上方。因為拋物線y=x2-2x-2是一條連續(xù)不斷的曲線，所以拋物線y=x2-2x-2在-1

我們?nèi)?1和0的平均數(shù)-0.5，計算當(dāng)自變量x=-0.5時，函數(shù)值y=-0.75<0，點（-0.5，

-0.75）在x軸下方，所以方程的這個根在-1與-0.5之間，可以取它們之間任意一個數(shù)作為近似解，該近似解與真實值的差都不會大于0.5。再求-1和-0.5的平均數(shù)-0.75，計算當(dāng)自變量x=-0.75時，函數(shù)值y=0.0625>0，點（-0.75， 0.0625）在x軸上方，所以方程的這個根在-0.75與-0.5之間，可以取它們之間任意一個數(shù)作為近似解，由-0.5-（-0.75）=0.25<0.3，即該近似解與真實值的差都不會大于0.3。

所以在-0.75與-0.5之間任意一個數(shù)都可以作為近似解，如-0.7。

【點評】解答此題的關(guān)鍵是讀懂題意，閱讀材料主要描述的是利用函數(shù)圖像，從中獲取信息，從兩點逐步逼近求一元二次方程的近似解的方法。積累此經(jīng)驗，我們就可以在以后的學(xué)習(xí)中解決類似的問題。

變式1 在利用圖像法求方程x2=x+3的解x1、x2時，下面是四名同學(xué)的解法。

甲：函數(shù)y=x2-x-3的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)是x1、x2;

乙：函數(shù)y=x2與y=x+3的圖像交點的橫坐標(biāo)是x1、x2;

丙：函數(shù)y=x2-3與y=x的圖像交點的橫坐標(biāo)是x1、x2;

丁：函數(shù)y=x2+1與y=x+4的圖像交點的橫坐標(biāo)是x1、x2。

你認為解法正確的同學(xué)有__________。

【解析】方程x2=x+3的解為x1、x2，即方程x2-x-3=0的兩個根為x1、x2。

甲：函數(shù)y=x2-x-3的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)是x1、x2，即方程x2-x-3=0的兩個根為x1、x2，故甲正確;

乙：函數(shù)y=x2和y=x+3的圖像交點的橫坐標(biāo)是x1、x2，即方程x2=x+3的兩個根為x1、x2，故乙正確;

丙：函數(shù)y=x2-3和y=x的圖像交點的橫坐標(biāo)是x1、x2，即方程x2-3=x的兩個根為x1、x2，故丙正確;

?。汉瘮?shù)y=x2+1和y=x+4的圖像交點的橫坐標(biāo)是x1、x2，即方程 x2+1=x+4的兩個根為x1、x2，故丁正確。

故答案為甲、乙、丙、丁。

變式2 下表給出了二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值。那么方程ax2+bx+c=0的一個根的近似值可能是（ ）。

[x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 … ]

A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38

【解析】觀察表中數(shù)據(jù)：x=1.1時，y=ax2+bx+c=-0.49;x=1.2時，y=ax2+bx+c=0.04。所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點在點（1.1，0）和點（1.2，0）之間，更靠近點（1.2，0），所以方程ax2+bx+c=0有一個根約為1.2。故選B。

變式3 二次函數(shù)y=-x2+mx的圖像如圖2所示，對稱軸為直線x=2，若關(guān)于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t為實數(shù)）在1

【解析】根據(jù)對稱軸為直線x=2，即[-m2×（-1）]=2，解得m=4，所以二次函數(shù)表達式為y=-x2+4x。

當(dāng)x=1時，y=3;當(dāng)x=2時，y=4;當(dāng)x=5時，y=-5。

結(jié)合圖像，如圖3，因為一元二次方程

-x2+mx-t=0的解就是拋物線y=-x2+mx與直線y=t在1

-5和直線y=4之間（包括直線y=4），所以-5

變式4 方程x2+3x-1=0的根可看作是一次函數(shù)y=x+3的圖像與反比例函數(shù)y=[1x]的圖像交點的橫坐標(biāo)，那么用此方法可推斷出方程x3-x-1=0的實數(shù)根x0所在的范圍是（ ）。

A.-1

C.1

【解析】所給方程x3-x-1=0是一元三次方程且x≠0，兩邊都除以x得方程x2-1[-1x]=0，即x2-1=[1x]，所以它的根可視為二次函數(shù)y=x2-1和反比例函數(shù)y=[1x]交點的橫坐標(biāo)。

當(dāng)x=1時，x2-1=0，[1x]=1，交點在x=1的右邊;當(dāng)x=2時，x2-1=3，[1x]=[12]，交點在x=2的左邊。又因為交點在第一象限，所以1

變式5 已知二次函數(shù)y=x2+px+q（p、q為常數(shù)，Δ=p2-4q>0）的圖像與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且A，B兩點間的距離為d。通過研究其中一個函數(shù)y=x2-5x+6及圖像（如圖5），可得出表中第2列的相關(guān)數(shù)據(jù)。

[y=x2+px+q y=x2-5x+6 y=x2[-12]x y=x2+x-2 p -5 [-12] q 6 -2 Δ 1 [14] x1 2 -2 x2 3 [12] d 1 3 ]

（1）在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù);

（2）根據(jù)上述表內(nèi)d與Δ的值，猜想它們之間有什么關(guān)系，再舉一個符合條件的二次函數(shù)，驗證你的猜想;

（3）對于函數(shù)y=x2+px+q（p、q為常數(shù)，Δ=p2-4q>0），是否存在（2）中的關(guān)系？請證明你的猜想。

【解析】（1）第三列q=0，x1=0，d=[12];第四行p=1，Δ=9，x2=1。

（2）猜想：d2=Δ。

例如：y=x2-x-2中，p=-1，q=-2，Δ=9。

由x2-x-2=0，得x1=2，x2=-1，d=3，d2=9，

∴d2=Δ。

（3）存在。

證明：令y=0，得x2+px+q=0。

∵Δ>0，設(shè)x2+px+q=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=-p，x1·x2=q，d2=（[x1-x2]）2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2=（-p）2-4q=p2-4q=Δ。

（作者單位：陜西師范大學(xué)出版總社）