構(gòu)建函數(shù)模型 解決實(shí)際問題

吳智勇

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在實(shí)際生活中也有廣泛的應(yīng)用。構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題，既有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，也有利于考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。

一、二次函數(shù)與鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略

例1 （2021·貴州遵義）為了實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，幫助農(nóng)民增加收入，某駐村干部指導(dǎo)農(nóng)戶進(jìn)行草莓種植和銷售。已知草莓的種植成本為8元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，今年五一期間草莓的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）（8≤x≤40）滿足的函數(shù)圖像如圖所示。

（1）根據(jù)圖像信息，求y與x的函數(shù)表達(dá)式;

（2）求五一期間銷售草莓獲得的最大利潤(rùn)。

【解答】（1）當(dāng)8≤x≤32時(shí)，設(shè)y=kx+b（k≠0），

則[22k+b=150，32k+b=120，]解得[k=-3，b=216，]

所以當(dāng)8≤x≤32時(shí)，y=-3x+216，

當(dāng)32

所以y=[-3x+2168≤x≤32，12032

（2）設(shè)利潤(rùn)為W，則當(dāng)8≤x≤32時(shí)，

W=（x-8）y=（x-8）（-3x+216）=-3（x-40）2+3072。

因?yàn)殚_口向下，對(duì)稱軸為直線x=40，

所以當(dāng)8≤x≤32時(shí)，W隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=32時(shí)，W最大=2880。

當(dāng)32

因?yàn)閃隨x的增大而增大，所以x=40時(shí)，W最大=3840。

因?yàn)?840>2880，所以最大利潤(rùn)為3840元。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式、分段函數(shù)的表達(dá)式、二次函數(shù)的性質(zhì)。我們需要熟知的常識(shí)是“利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量”，由此列出利潤(rùn)的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)。我們?cè)诮忸}的時(shí)候要注意分段函數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍和函數(shù)的增減性，要先確定函數(shù)的增減性，才能求得利潤(rùn)的最大值。

二、二次函數(shù)與防疫

例2 （2021·湖北仙桃、潛江、天門、江漢油田）去年“抗疫”期間，某生產(chǎn)消毒液廠家響應(yīng)政府號(hào)召，將成本價(jià)為6元/件的簡(jiǎn)裝消毒液低價(jià)銷售，為此當(dāng)?shù)卣疀Q定給予其銷售的這種消毒液按a元/件進(jìn)行補(bǔ)貼。設(shè)某月銷售價(jià)為x元/件，a與x之間滿足關(guān)系式a=20%（10-x），下表是去年4個(gè)月的銷售記錄，每月銷售量y（萬(wàn)件）與該月銷售價(jià)x（元/件）之間成一次函數(shù)關(guān)系（6≤x<9）。

（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式;

（2）當(dāng)銷售價(jià)為8元/件時(shí)，政府該月應(yīng)付給廠家補(bǔ)貼多少萬(wàn)元？

（3）當(dāng)銷售價(jià)x定為多少時(shí)，該月純收入最大？

（純收入=銷售總金額-成本+政府當(dāng)月補(bǔ)貼）

【解答】（1）因?yàn)槊吭落N售量y與該月銷售價(jià)x之間成一次函數(shù)關(guān)系，

所以設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，

則[6k+b=30，7k+b=20，]解得[k=-10，b=90，]

所以y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=-10x+90（6≤x<9）。

（2）當(dāng)x=8時(shí)，y=-10×8+90=10（萬(wàn)件），

因?yàn)閍與x之間滿足關(guān)系式a=20%（10-x），所以當(dāng)銷售價(jià)為8元/件時(shí)，政府該月應(yīng)付給廠家補(bǔ)貼為10a=10×20%（10-8）=4（萬(wàn)元）。

答：當(dāng)銷售價(jià)為8元/件時(shí)，政府該月應(yīng)付給廠家補(bǔ)貼4萬(wàn)元。

（3）設(shè)該月的純收入w萬(wàn)元，

則w=y[（x-6）+0.2（10-x）]=（-10x+90）（0.8x-4）=-8x2+112x-360=-8（x-7）2+32。

因?yàn)?8<0，6≤x<9，所以當(dāng)x=7時(shí)，w最大，最大值為32萬(wàn)元。

答：當(dāng)銷售價(jià)定為7元/件時(shí)，該月純收入最大。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，解題關(guān)鍵是根據(jù)“純收入=銷售總金額-成本+政府當(dāng)月補(bǔ)貼”列出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。

三、二次函數(shù)與體育

例3 （2021·廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)）2022年北京冬奧會(huì)即將召開，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情。如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺(tái)終點(diǎn)A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線C1：y=[-112]x2+[76]x+1近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)O正上方4米處的A點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y=[-18]x2+bx+c運(yùn)動(dòng)。

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A點(diǎn)水平距離為4米時(shí)，離水平線的高度為8米，求拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量x的取值范圍）;

（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方且與坡頂距離超過3米時(shí)，求b的取值范圍。

【解答】（1）由題意可知拋物線C2：y=[-18]x2+bx+c過點(diǎn)（0，4）和（4，8），將其代入，

得[4=c，8=-18×42+4b+c，]

解得[b=32，c=4，]

所以拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式為y=[-18]x2+[32]x+4。

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為m米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米，

根據(jù)題意，得[-18]m2+[32]m+4-（[-112]m2+[76]m+1）=1，

整理，得（m-12）（m+4）=0，

解得m1=12，m2=-4（舍去）。

故運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為12米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米。

（3）C1：y=[-112]x2+[76]x+1=[-112]（x-7）2+[6112]。

當(dāng)x=7時(shí)，運(yùn)動(dòng)員到達(dá)坡頂，即[-18]×72+7b+4>3+[6112]，解得b>[3524]。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實(shí)際問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。在用函數(shù)解決銷售類實(shí)際問題的過程中，我們要先審題，明確總利潤(rùn)、銷售量、單位利潤(rùn)、進(jìn)價(jià)（成本）、售價(jià)這些量之間的關(guān)系，有時(shí)還要先列出方程或方程組求出基本量，再列出函數(shù)表達(dá)式，最后用函數(shù)知識(shí)解決最值問題。

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）