學(xué)函數(shù) 悟思想 通新知

程輝

我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能單純地依賴模仿與記憶，自主探索、合作交流才是學(xué)習(xí)的重要方式。因此，我們在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，有必要運用已有的二次函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗研究新的問題。

我們?nèi)绻獓L試探究函數(shù)y=[2x2][-12]x的圖像與性質(zhì)。首先，根據(jù)已有的學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，觀察出自變量x的取值范圍是x≠0。

其次，列表，在x≠0的附近（左右兩邊）選取自變量x的幾個值，計算函數(shù)y對應(yīng)的值。

再次，以表中各對x、y的值為點的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出對應(yīng)的點。

最后，用平滑的曲線連接描出的各點，畫出該函數(shù)的圖像，如圖1。

觀察該函數(shù)圖像，我們發(fā)現(xiàn)：

①由于x≠0，所以曲線與y軸沒有交點。

②圖像是兩支曲線，分布在第一、二、四象限。

③在第二象限內(nèi)，曲線有最低點，最低點的坐標(biāo)是（-2，[32]）。

④當(dāng)x<-2時，y隨x的增大而減小;當(dāng)

-20時，y隨x的增大而減小。

⑤函數(shù)沒有最大值，也沒有最小值。

有了函數(shù)的圖像，我們還可以進一步研究新問題，如過點P（0，m）作直線l⊥y軸，則直線l與函數(shù)y=[2x2][-12]x的圖像至少有一個公共點，最多有三個公共點。對應(yīng)關(guān)于x的方程[2x2][-12]x=m，當(dāng)m<[32]時，方程有一個解;當(dāng)m=[32]時，方程有兩個解;當(dāng)m>[32]時，方程有三個解。

【積累經(jīng)驗】對于函數(shù)問題，其研究路徑是：分析函數(shù)的表達式→列表、描點、連線畫出函數(shù)圖像→利用函數(shù)圖像觀察、研究，發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)→運用函數(shù)圖像解決問題。

例 數(shù)學(xué)社團的同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，研究函數(shù)y=[62x-12+a]-3的相關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用。以下是他們研究的部分過程，請你按要求回答下列問題。

（1）列表，下表中列出x、y的部分對應(yīng)值：

[x y … … -3 [-3111] -2 [-5119] -1 [-73] 0 -1 1 3 2 b 3 [-73] 4 [-5119] 5 [-3111] … … ]

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算出：a=__________，b=__________;

（2）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中已經(jīng)描出部分點的位置，請繼續(xù)通過描點、連線的方法，畫出該函數(shù)圖像，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：__________;

（3）已知函數(shù)y=x+[12]的圖像如圖2所示，結(jié)合你畫的圖像，直接寫出方程[62x-12+a]=x+[72]的解。（結(jié)果保留1位小數(shù)，誤差不超過0.2）

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將x=0，y=

-1代入y=[62x-12+a]-3，得-1=[62+a]-3，∴a=1。

函數(shù)為y=[62x-12+1]-3，把（2，b）代入，得b=-1。

（2）描點、連線，畫出函數(shù)圖像如圖3。

觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)：

①函數(shù)圖像是軸對稱圖形，對稱軸是直線x=1。

②當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大;當(dāng)x>1時，y隨x的增大而減小。

③當(dāng)x=1時，函數(shù)y有最大值，最大值是3。

（3）觀察圖像，方程[62x-12+a]=x+[72]的解為x=-3.4或x=0.8或x=1.2。

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學(xué)）

小試牛刀

借鑒已有研究函數(shù)的經(jīng)驗，探索函數(shù)y=[x2-2x-3]-2的圖像與性質(zhì)，研究過程如下，請補充完整。

（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：

[x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 10 m -2 1 n 1 -2 3 10 … ]

其中，m=__________，n=__________。

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出函數(shù)圖像。

（3）觀察函數(shù)圖像：

①寫出函數(shù)的一條圖像性質(zhì)：__________;

②當(dāng)方程[x2-2x-3]=b+2有且僅有兩個不相等的實數(shù)根時，根據(jù)函數(shù)圖像直接寫出b的取值范圍為__________。