巧借圖，智破雙拋物線問題

季承潔

以雙拋物線為立意的綜合性壓軸題，集函數(shù)知識、代數(shù)推理于一體，重在考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的創(chuàng)新能力。本文現(xiàn)以2021年湖北省宜昌市中考壓軸題為例進(jìn)行展示。

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1=-（x+4）·

（x-n）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（n，0）（n≥-4），頂點(diǎn)坐標(biāo)記為（h1，k1）。拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)記為（h2，k2）。

（1）寫出A點(diǎn)坐標(biāo);

（2）求k1，k2的值（用含n的代數(shù)式表示）;

（3）當(dāng)-4≤n≤4時，探究k1與k2的大小關(guān)系;

（4）經(jīng)過點(diǎn)M（2n+9，-5n2）和點(diǎn)N（2n，9-5n2）的直線與拋物線y1=-（x+4）（x-n），y2=

-（x+2n）2-n2+2n+9的公共點(diǎn)恰好為3個不同點(diǎn)時，求n的值。

【解析】（1）求拋物線y1=-（x+4）（x-n）與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，基本方法是令y1=0，

得-（x+4）（x-n）=0，解之x1=-4，x2=n，結(jié)合條件有A（-4，0）。

（2）k1，k2是兩拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，對拋物線表達(dá)式進(jìn)行配方或直接運(yùn)用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9就是頂點(diǎn)式，可以直接寫出k2=-n2+2n+9，

對拋物線y1進(jìn)行配方，y1=-（x+4）（x-n）=-x2+（n-4）x+4n=-（x[+4-n2]）2+[14]n2+2n+4，

所以k1=[14]n2+2n+4。

（3）探究k1與k2的大小關(guān)系，基本方法是作差，然后與0比較大小。

k1-k2=（[14]n2+2n+4）-（-n2+2n+9）=[54]n2-5。

①當(dāng)[54]n2-5>0時，可得n>2或n<-2，結(jié)合條件-4≤n≤4，即當(dāng)-4≤n<-2或2k2;

②當(dāng)[54]n2-5<0時，可得-2

③當(dāng)[54]n2-5=0時，可得n=2或n=-2，即當(dāng)n=2或n=-2時，k1=k2。

綜上所述：當(dāng)-4≤n<-2或2k2;當(dāng)-2

（4）拋物線y1、y2和直線MN都含有參數(shù)n，隨著n的變化，三線的位置也在變化。借助幾何畫板觀察：從n=-4，三線有4個公共點(diǎn)開始，隨著n的增大，三線的位置在逐漸變化，公共點(diǎn)的個數(shù)也隨之變化。在運(yùn)動變化的過程中，我們截取不同的瞬間，圖1到圖11，直觀感知，三線的公共點(diǎn)的個數(shù)變化為4—3—4—3—2—1—2—3—4—3—4。其中，有三個公共點(diǎn)的情況：一是三線經(jīng)過同一點(diǎn)，如圖2和圖10;二是直線MN、拋物線y1有1個公共點(diǎn)，如圖4和圖8。

在三線運(yùn)動變化的過程中，我們通過觀察、思考，發(fā)現(xiàn)“直線MN、拋物線y2與y軸交于同一點(diǎn)”，運(yùn)用代數(shù)推理很容易驗證我們的猜想。

兩點(diǎn)確定一條直線的表達(dá)式，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M（2n+9，-5n2）和點(diǎn)N（2n，9-5n2）的直線MN的表達(dá)式為y=kx+b，得

[2n+9k+b=-5n2，2nk+b=9-5n2，]

解得[k=-1，b=-5n2+2n+9。]

直線MN的表達(dá)式為y=-x-5n2+2n+9，交y軸于點(diǎn)（0，-5n2+2n+9）。

對拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，當(dāng)x=0時，y2=-5n2+2n+9，交y軸于點(diǎn)（0，-5n2+2n+9）。

所以直線MN、拋物線y2與y軸交于同一點(diǎn)。

先算情況一：如圖2和圖10，三線經(jīng)過同一點(diǎn)，此點(diǎn)在y軸上，將點(diǎn)（0，-5n2+2n+9）代入y1=-（x+4）（x-n）中，有-5n2+2n+9=4n，所以5n2+2n-9=0，n=[-1±465]，所以當(dāng)n=[-1±465]

時，直線MN與拋物線y1、y2的公共點(diǎn)恰好為三個不同點(diǎn)。

再算情況二：直線MN與拋物線y1只有一個公共點(diǎn)，如圖4和圖8，聯(lián)立直線MN：y=

-x-5n2+2n+9與拋物線：y1=-x2+（n-4）x+4n，得-x2+（n-3）x+5n2+2n-9=0，此時Δ=0，即（n-3）2+4（5n2+2n-9）=0，整理，得21n2+2n-27=0，解得n=[-1±214221]，所以當(dāng)n=[-1±214221]時，直線MN與拋物線y1、y2的公共點(diǎn)恰好為三個不同點(diǎn)。

綜上所述：當(dāng)n1=[-1+465]，n2=[-1-465]，

n3=[-1+214221]，n4=[-1-214221]時，直線MN與拋物線y1、y2的公共點(diǎn)恰好為三個不同點(diǎn)。

【評注】本題是以雙拋物線為背景考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用的壓軸題，雖然難度不小，但難度是逐漸提升的。具體來講，第（1）問是熱身送分題;第（2）問求二次函數(shù)的頂點(diǎn)是必備的基本知識，會配方是不難解決的;第（3）問用求差法比較兩數(shù)的大小是基本方法，對不等式的要求高了一點(diǎn);第（4）問是試題的高階要求，難度較大。學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗告訴我們，可以運(yùn)用“觀察函數(shù)圖像—發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)—巧用代數(shù)方法解決函數(shù)問題”的思維過程，雖然題目沒有給出圖像，但我們必須利用函數(shù)圖像觀察、研究，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想在本題中得到了充分體現(xiàn)。

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學(xué)教育集團(tuán)城東分校）