怎樣引導(dǎo)數(shù)學(xué)解題反思

李寒月

摘要：反思就是個(gè)體對自己所想、所說、所做的動(dòng)機(jī)、過程、結(jié)果進(jìn)行再思考，從中總結(jié)得與失、經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，獲得感悟的過程。以一道簡單的平面幾何題為例，聚焦數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的反思。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論成立需要滿足的條件、條件成立可以得到的結(jié)論、一題多變、一題多解等方面展開反思，以獲得比較全面、深刻的認(rèn)識。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題教學(xué);反思;平面幾何題;基本圖形

反思，就是回頭看、回頭想的意思，具體來說，是個(gè)體對自己所想、所說、所做的動(dòng)機(jī)、過程、結(jié)果進(jìn)行再思考，從中總結(jié)得與失、經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，獲得感悟的過程。從現(xiàn)代心理學(xué)的角度來看，反思是一種元認(rèn)知——對認(rèn)知的認(rèn)知。反思，可以讓我們獲得更全面、更深刻的認(rèn)識。

當(dāng)然，學(xué)生的反思要想做到全面、深刻，離不開教師的引導(dǎo)。本文以一道簡單的平面幾何題為例，聚焦數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的反思。

八年級學(xué)習(xí)“全等三角形”時(shí)，學(xué)生會遇到這樣的基本問題：如圖1，已知AB=CD，∠B=∠C，求證△AOB≌△DOC。其證明過程如下：因?yàn)锳B=CD，∠B=∠C，∠AOB=∠DOC（對頂角相等），根據(jù)“AAS”，可得△AOB≌△DOC。

對于這道題的解決過程，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從四個(gè)方面展開反思。

反思之一：結(jié)論成立需要滿足什么條件

這道題主要研究兩個(gè)三角形全等的關(guān)系。從結(jié)論成立需要滿足的條件入手，可以引導(dǎo)學(xué)生反思：判定兩個(gè)三角形全等有哪些方法？進(jìn)而反思：滿足哪些條件還能使這兩個(gè)三角形全等？對此，學(xué)生不難想到，因?yàn)轭}目中已經(jīng)有一個(gè)隱含的條件∠AOB=∠DOC（對頂角相等），所以只要再添加兩個(gè)條件就能使這兩個(gè)三角形全等。比如，添加AB=CD，∠A=∠D，根據(jù)“AAS”，可以得出△AOB≌△DOC;添加OA=OD，OB=OC，根據(jù)“SAS”，也能得出△AOB≌△DOC;添加OA=OD，∠A=∠D或添加OB=OC，∠B=∠C，都可以根據(jù)“ASA”，得到△AOB≌△DOC。

通過上述反思，學(xué)生不僅回顧了全等三角形的判定方法，還進(jìn)一步嘗試了從不同的角度得到兩個(gè)三角形全等，從而加深了對全等三角形判定方法的理解。可見，從結(jié)論出發(fā)，思考結(jié)論成立需要滿足的條件，是引導(dǎo)學(xué)生展開解題反思的有效途徑。

反思之二：條件成立可以得到什么結(jié)論

顯然，這道題根據(jù)已知條件，只能得出△AOB≌△DOC及對應(yīng)的邊和角相等的結(jié)論。其原因是圖1比較簡單，包含的元素比較少。由此，可以引導(dǎo)學(xué)生反思：怎樣不改變題目的條件，而增加圖中的元素，以得到更多的結(jié)論？對此，可以引導(dǎo)學(xué)生注意圖1中有5個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)之間的連線還缺少AD和BC，從而想到把AD和BC分別連接起來（如圖2）。這時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步反思：這樣能得到哪些新的結(jié)論？比如：有沒有新增的三角形？它們是否全等？全等的理由是什么？有沒有特殊的三角形？有沒有相等或平行的邊？有沒有相等的角？……通過對這一系列問題的思考，學(xué)生可以進(jìn)一步得出△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA，△BOC、△AOD是等腰三角形，AD∥BC等結(jié)論。

雖然只是在圖1的基礎(chǔ)上添加了兩條線段，但是衍生出了一系列新的結(jié)論。在研究上述問題的過程中，學(xué)生對這個(gè)圖形和原來的問題就有了更全面、深刻的認(rèn)識?？梢?，從條件出發(fā)，思考條件成立可以得到的結(jié)論，也是引導(dǎo)學(xué)生展開解題反思的有效途徑。

當(dāng)然，對于圖1，除了考慮所有點(diǎn)都連線，還可以引導(dǎo)學(xué)生考慮所有線都“交”點(diǎn)，從而得到最“完備”的圖形（如圖3）。由此，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步反思又能得到哪些新的結(jié)論……

反思之三：題目還可以怎么變化

對一個(gè)問題有了比較全面、深刻的認(rèn)識后，就要引導(dǎo)學(xué)生反思這個(gè)問題可以發(fā)生怎樣的變化：條件和結(jié)論都要改變。

教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3，發(fā)現(xiàn)它是軸對稱圖形，比較“正”，從而想到讓它“歪”一點(diǎn)。由此，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣“歪”才是基于原有圖形自然生長的變化？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，整個(gè)圖形是由A、B、C、D四點(diǎn)決定的，而且，這四點(diǎn)具有一定的對稱性，從而想到延長或縮短BD（或CA）。這樣，隨著點(diǎn)D（或A）的位置變化，點(diǎn)E的位置也跟著變化，整個(gè)圖形就“歪”了。實(shí)際作圖后，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，這時(shí)，除了△BOC是等腰三角形及相應(yīng)的邊和角相等的結(jié)論顯然還成立（不變），其他結(jié)論基本上都不成立（變）了?？梢岳^續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：在圖形變化的過程中，有什么“不顯然”的不變嗎？如果有的話，便可以得到一個(gè)不錯(cuò)（有一定思維含量）的新題目。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，如果∠BDC>90°，那么在延長BD（點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)）的過程中，有一個(gè)點(diǎn)D的位置，使CD的長不變;如果∠BDC<90°，那么在縮短BD（點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)）的過程中，有一個(gè)點(diǎn)D的位置，使CD的長不變。而在原有圖形中，AB=CD。由此，在圖形變化的基礎(chǔ)上，可以讓學(xué)生以AB=CD為結(jié)論命制一個(gè)新題目。接下來需要學(xué)生思考的問題便是：這個(gè)新題目的條件是什么？也就是說，在圖形變化的基礎(chǔ)上，滿足什么條件可以得到AB=CD的結(jié)論？

對此，可以∠BDC>90°，延長BD為例，將圖形ABCDE變?yōu)锳BCD′E′（如下頁圖4），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：要使AB=CD′，只要CD=CD′，只要∠CDD′=∠CD′D;而∠CDD′=∠DOC+∠DCO，∠CD′D=∠E′+∠ABO，且∠DCO=∠ABO，因此只要∠DOC=∠E′;∠DOC=∠OBC+∠OCB，且∠OBC=∠OCB，所以只要∠OBC=∠OCB=1/2∠E′。

經(jīng)過這么長的推理鏈后，只考慮變化后的圖形，不考慮原有圖形，學(xué)生便可得到這樣一個(gè)不錯(cuò)的新題目：

如圖5，在△EBC中，點(diǎn)A、D分別在EB、EC上，連接BD、CA，相交于點(diǎn)O，∠OBC=∠OCB=1/2∠E，證明：AB=CD。

在知道命題過程的情況下，解這道題十分容易。但是，如果不知道命題過程，要解這道題就比較困難了。由此，可以引導(dǎo)學(xué)生體會基本圖形的作用。觀察圖5，會發(fā)現(xiàn)它和圖3這個(gè)基本圖形“長得很像”，只是“歪”了一點(diǎn)。注意∠OBC=∠OCB的條件，不難想到在OD上截取OD′=OA或在OA延長線上截取OA′=OD，從而構(gòu)造基本圖形（如圖6或圖7）。由此，很容易得到AB=CD′或A′B=CD。接下來便可以用分析法證明CD′= CD或A′B= AB。證明過程基本上就是上述命題過程，這里不再贅述。

反思之四：題目還有什么解法

上述新題目比較復(fù)雜，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考它有沒有更多的解法（過于簡單的問題通常沒有很多有價(jià)值的解法），進(jìn)而尋找解法之間的聯(lián)系，以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)、解法的核心。

為此，需要引導(dǎo)學(xué)生反思已有的解法，發(fā)現(xiàn)其關(guān)鍵是構(gòu)造基本圖形，而構(gòu)造基本圖形的目的是得到全等三角形?？梢赃M(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，分析發(fā)現(xiàn)，上述解法中構(gòu)造全等三角形的思路是，保持一個(gè)（組）三角形不變，改變另一個(gè)（組）三角形的形狀和大小。由此，學(xué)生可以想到：能否同時(shí)改變兩個(gè)（組）三角形，從而構(gòu)造全等三角形？于是，解決問題的思路再次打開，得到一些新的解法：

新解法1：如圖8，過點(diǎn)C作CG⊥BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BF⊥CA于點(diǎn)F，根據(jù)基本圖形，很容易證明△BFC≌△CGB（AAS），再證明△BFA≌△CGD（AAS），從而得出BA=CD。

新解法2：如圖9，延長BD至點(diǎn)G，延長CA至點(diǎn)F，使BF=BO，CG=CO，則可以得到△BFO≌△CGO（AAS），進(jìn)而得到△BFA≌△COD（AAS），從而得出BA=CD。

而且，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，此題的解法不限于此，還有很多。這時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生反思：這些解法之間有無聯(lián)系？通過對比，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，這些解法的本質(zhì)都是構(gòu)造基本圖形，獲得全等三角形（圖8、圖9中的四邊形FBCG其實(shí)也是基本圖形——圖2）;不同的解法只是添加的輔助線不同，構(gòu)造的基本圖形有變化。由此，可以引導(dǎo)學(xué)生充分體會基本問題（圖形）思想：把一些基本問題（圖形）吃透后，遇到復(fù)雜問題（圖形）時(shí)，往往可以通過分解、演變得到基本問題（圖形），從而找到解題思路和方法。