“幾何畫板”有效助力初中數(shù)學(xué)課堂深度教學(xué)

葉菊 鳳斌

摘要：幾何畫板的恰當(dāng)使用，有助于發(fā)現(xiàn)知識間的邏輯關(guān)聯(lián)，有助于概念的理解、比較、記憶，有助于提高思維的嚴(yán)密性與變化性，可有效助力課堂深度教學(xué)。

關(guān)鍵詞：幾何畫板? 初中數(shù)學(xué)? 深度教學(xué)

深度教學(xué)，才能促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，而學(xué)生深度學(xué)習(xí)，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的有效途徑。幾何畫板一直是一種使用普遍的教學(xué)工具，它可以讓作圖更精確，其拖拽、數(shù)據(jù)監(jiān)控等功能，可以培養(yǎng)學(xué)生思考的連續(xù)性，便于學(xué)生在變化過程中發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的不變性，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。幾何畫板的這些工具性作用，可以一步步將學(xué)生的思維引向深處，助力數(shù)學(xué)課堂深度教學(xué)。

一、幾何畫板使用的誤區(qū)

幾何畫板動態(tài)演示功能非常好用，但其展示的只是形態(tài)，不能代替數(shù)學(xué)推理過程。有的教師“不究其理”，只關(guān)注表象，把其當(dāng)作“動畫片”放映。學(xué)生知其然，不知其所以然。這樣的課堂看起來熱熱鬧鬧、精彩紛呈，實(shí)則學(xué)生是云里霧里、不明就里。學(xué)生的思維得不到訓(xùn)練，能力得不到提升，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浮于表面。這樣使用幾何畫板，完全沒有發(fā)揮其優(yōu)勢，是“低層次”的使用。

很多幾何題目編寫過程，教師是借助了幾何畫板進(jìn)行演示，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再反推回去，命制題目。有的老師在講解習(xí)題時(shí)，也借助幾何畫板的功能，先發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，再帶著這種已有的認(rèn)知解決問題。這種方式看上去非常巧妙，但是學(xué)生考試時(shí)是沒有幾何畫板作為輔助工具的。如何從已知和問題出發(fā)，找到解決問題的方法呢？這種做法，導(dǎo)致學(xué)生跟不上教師的解題思維，解題目標(biāo)不明確，解題方法突兀，解決問題的過程不順暢，難以學(xué)到解題的方法。這樣使用幾何畫板，顛倒了學(xué)生的認(rèn)知順序，打亂了學(xué)生的思考邏輯，幾何畫板淪為了教師“變戲法”的工具。

二、幾何畫板助力課堂深度教學(xué)的途徑

（一）幾何畫板有助于發(fā)現(xiàn)知識間的邏輯關(guān)聯(lián)

深度教學(xué)需要教師關(guān)注知識間的邏輯關(guān)聯(lián)，準(zhǔn)確把握知識內(nèi)核，著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)設(shè)適合深度學(xué)習(xí)的教學(xué)環(huán)節(jié)。

“線段的長短比較”這一節(jié)的內(nèi)容主要有四部分：用疊合法比較線段的長短、線段的和差、線段的中點(diǎn)、一個(gè)基本事實(shí)（兩點(diǎn)之間的所有連線中線段最短）。有老師發(fā)出疑問：“線段的長短比較”只是本節(jié)課的一部分內(nèi)容，為何用它作課題呢？產(chǎn)生這種想法，其實(shí)是他把這四部分內(nèi)容割裂開理解了。如果深入理解教材，會發(fā)現(xiàn)這四部分內(nèi)容是個(gè)有機(jī)的整體，借助幾何畫板，可揭示其中的邏輯關(guān)聯(lián)。

本節(jié)課的第一部分內(nèi)容是用疊合法比較線段的長短，因?yàn)閷W(xué)生生活中有比較身高、比較小木棍的長短之類的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，這部分內(nèi)容對學(xué)生而言，并不深奧，只需要關(guān)注比較的規(guī)范性和表達(dá)方式即可。這部分內(nèi)容是本節(jié)課的中心，后面的內(nèi)容都是圍繞它展開的。利用幾何畫板畫一條線段AB，另取一動點(diǎn)C。動點(diǎn)C在線段AB上，可以探究線段長短與和差關(guān)系，明確線段的中點(diǎn);動點(diǎn)C在直線AB外，可以助學(xué)生理解兩點(diǎn)之間線段最短這一基本事實(shí)。

由此可見，本節(jié)的后三部分內(nèi)容均是由“線段的長短比較”延伸出來的。如果不使用幾何畫板，教師要用很多時(shí)間畫一張張靜態(tài)的圖;用幾何畫板讓點(diǎn)C運(yùn)動，真正將線段和點(diǎn)置于平面內(nèi)，不僅找到了知識間的邏輯關(guān)系，還展示了數(shù)學(xué)研究的一般方法，激活了學(xué)生的思維，拓展了學(xué)生思維的廣度和深度。

另外，用幾何畫板監(jiān)控線段的長度，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動時(shí)，每條線段的長度立即呈現(xiàn)出來，可迅速判斷線段長度之間的關(guān)系，讓學(xué)生的思考過程不會被細(xì)枝末節(jié)打斷、打亂，可以將注意力集中在要研究的有價(jià)值的問題上，讓整個(gè)的探究過程更加順暢、自然，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供了保障。

（二）幾何畫板有助于概念的理解、比較、記憶

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)重在理解和應(yīng)用，而不是淺層次的文字記憶。多角度、立體化地認(rèn)知，可以加深學(xué)生對概念的理解。

數(shù)學(xué)教學(xué)中有時(shí)會遇到一節(jié)課出現(xiàn)非常多的小概念的情況，這些概念的內(nèi)容并不一定需要一字不漏地背誦下來，但是需要準(zhǔn)確地理解，會辨析，善應(yīng)用。例如“圓”這節(jié)課，有很多與圓相關(guān)的概念，如弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、弦、直徑、弓形等。這些概念的介紹，會消耗很多時(shí)間，且不利于概念間的比較和記憶，若能找到它們間的聯(lián)系，就可達(dá)到事半功倍的效果。這時(shí)我們就可以利用幾何畫板，讓圓上的點(diǎn)動起來，通過演示點(diǎn)的運(yùn)動過程，把這些瑣碎的概念“串”起來，不是以“知識點(diǎn)”，而是以“知識串”的形式出現(xiàn)，在概念形成的同時(shí)，進(jìn)行了概念的比較和辨析，省時(shí)又高效。變化的圖形這種活潑的形式還會加深學(xué)生記憶，讓學(xué)生有構(gòu)建知識體系的意識，促進(jìn)了學(xué)生的深度思考。

（三）幾何畫板有助于提高思維的嚴(yán)密性與變化性

幾何畫板的使用讓課堂上數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練更便捷，尤其體現(xiàn)在分類討論的思維訓(xùn)練和變式教學(xué)的應(yīng)用上。

分類討論體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，是中學(xué)數(shù)學(xué)非常重要的思想方法，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。一些沒有圖形或者只有部分圖象的幾何題，由于條件的不確定性，在畫圖過程中會出現(xiàn)多種情況。但如果圖像畫的不夠準(zhǔn)確，就可能出現(xiàn)漏解的情況。

例1 已知△ABC，∠C=90°，若AB=10，

（1）求△ABC的面積。

（2）添什么條件，可求出△ABC的面積？

對于問題（1），由于題中△ABC形狀不確定，故面積也不確定。點(diǎn)C的軌跡有何規(guī)律？教師可以引導(dǎo)學(xué)生在思考的基礎(chǔ)上用幾何畫板展示，然后通過拖拽改變?nèi)切涡螤?，從而發(fā)現(xiàn)滿足條件的△ABC有無數(shù)個(gè)，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上。這樣可以讓學(xué)生更深刻地理解本題。

對于問題（2），學(xué)生一般都是添加一邊長，或是間接給出一邊長。如果添加斜邊上的高，可以嗎？學(xué)生先畫圖感知，但學(xué)生畫的圖可能不夠精確，會影響最后判斷。此時(shí)，幾何畫板精確作圖的優(yōu)勢就發(fā)揮出來了。

用幾何畫板進(jìn)行變式教學(xué)，更容易讓學(xué)生把握問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解決此類問題的共性通法，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供平臺。

例2 已知：如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O，與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，求證：OE=OF，AE=CF，BE=DF。

分析：本題可通過證明△AEO≌△CFO得到。

為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，可以利用幾何畫板演示EF旋轉(zhuǎn)過程。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過程中結(jié)論仍然成立。（圖3）

動圖演示，讓學(xué)生體會EF還可能出現(xiàn)的位置。點(diǎn)E、F可能分別在邊AD和BC上，直線EF還可能與平行四邊形邊的延長線相交。

變式1：如圖4，條件都不變，若點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，是否有相似的結(jié)論？

變式2：如圖5、6，如果將EF向兩端延長與平行四邊形ABCD兩對邊的延長線分別相交，是否有相似的結(jié)論？

用幾何畫板演示EF旋轉(zhuǎn)過程，學(xué)生的思維不會受某一種靜態(tài)情況的禁錮，更容易發(fā)現(xiàn)變化過程中的不變性，找到解決這一類問題的共性通法。

幾何畫板的引入，讓思維的過程可視化，探究的過程更有延續(xù)性，學(xué)生的思考過程更加完整，保障了探究式教學(xué)的流暢性，學(xué)生不斷動手動腦、學(xué)思結(jié)合，思維能力得到了深度發(fā)展。

三、使用幾何畫板的注意事項(xiàng)

（一）思考在前，展示在后

深度教學(xué)需要讓學(xué)生深度思考，幾何畫板是一種輔助工具，不能替代學(xué)生的思考過程，故要“滯后”使用，先給學(xué)生充分的探究、思考時(shí)間，再借助其進(jìn)行驗(yàn)證、總結(jié)。

比如“圓的確定”這節(jié)課，先通過回顧，讓學(xué)生明確，根據(jù)圓心和半徑可以確定一個(gè)圓，再探究圓的確定的其他方法。

探究活動一：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A你能畫幾個(gè)圓？

探究活動二：在平面內(nèi)任取兩個(gè)點(diǎn)A、B，經(jīng)過這兩個(gè)點(diǎn)，你能畫幾個(gè)圓？

這兩個(gè)探究活動，如果直接用幾何畫板展示，只需要2～3分鐘就能解決，但是會毫無思維含量。所以，每個(gè)探究活動，都是讓學(xué)生先思考，然后用圓規(guī)在草稿本上畫圖，再和同學(xué)交流。比如探究活動一，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)過一點(diǎn)，可以畫無數(shù)個(gè)圓后，教師再用幾何畫板展示畫圓的過程：先確定圓心，圓心可以取除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，圓心確定了，半徑就隨之確定了，因?yàn)閳A心的位置有無數(shù)個(gè)，所以過點(diǎn)A的圓有無數(shù)個(gè)。探究活動二，在學(xué)生通過作圖，發(fā)現(xiàn)過兩點(diǎn)可以畫無數(shù)個(gè)圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上以后，教師再用幾何畫板展示、驗(yàn)證。

（二）恰如其分，謹(jǐn)防濫化

幾何畫板雖優(yōu)點(diǎn)多多，但只是優(yōu)化課堂的手段，非必需品。教學(xué)也好，解題也罷，始終應(yīng)該以學(xué)生為主體，以學(xué)生已有的知識儲備、學(xué)習(xí)能力為基礎(chǔ)，讓新知自然生長，而不能被輔助工具牽著鼻子走。在一些合適的時(shí)機(jī)，恰當(dāng)選用輔助工具，才能達(dá)到深度教學(xué)的效果。

深度學(xué)習(xí)屬于高階思維，幾何畫板可以將一些抽象的語言表達(dá)具體化地呈現(xiàn)出來，便于學(xué)生思考，教師使用幾何畫板時(shí)應(yīng)該準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)以及數(shù)學(xué)知識內(nèi)核，淋漓盡致地發(fā)揮幾何畫板的優(yōu)勢，優(yōu)化學(xué)習(xí)環(huán)境，在數(shù)學(xué)課堂上真正實(shí)現(xiàn)教師深度教學(xué)，學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳燕萍.用幾何畫板，教漂亮數(shù)學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2021（17）.

[2]袁麗華.例析幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)可視化中的應(yīng)用[J].安徽教育科研，2021（11）.

[3]楊靜靜.幾何畫板開展初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)研究[J].中小學(xué)電教，2021（4）.

[4]酈興江.數(shù)學(xué)思維異構(gòu)讓深度教學(xué)真正發(fā)生[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2020（3）.

責(zé)任編輯：黃大燦