結(jié)構(gòu)不良視角下的復(fù)習課教學設(shè)計

魏爍

摘? 要：結(jié)構(gòu)不良問題具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開放等特點，其解決過程能有效激發(fā)學生的求知欲，幫助學生多角度把握問題本質(zhì)，追尋知識背后的價值. 從結(jié)構(gòu)不良的視角設(shè)計復(fù)習課中的學生活動，有助于學生從更高層次認識數(shù)學知識，有助于學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，有助于促進學生素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)不良;復(fù)習課;學生活動

自新課程改革以來，在數(shù)學高考試卷中陸續(xù)出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良問題，引發(fā)我們對數(shù)學教學的思考：在初中數(shù)學教學過程中，能否從結(jié)構(gòu)不良問題的視角，開展具有建構(gòu)主義傾向的學習活動呢？本文以“平行四邊形的性質(zhì)和判定定理”復(fù)習課為例，簡述如何從結(jié)構(gòu)不良視角進行復(fù)習課的教學設(shè)計，來培養(yǎng)學生發(fā)散的認知能力、可遷移能力，以及批判思維能力等高階能力.

一、對結(jié)構(gòu)不良問題的認識

Raitman（1965年）首次從認知心理學的角度區(qū)分了結(jié)構(gòu)良好問題（well-structured problem）和結(jié)構(gòu)不良問題（ill-structured problem）.前者是初始狀態(tài)、目標狀態(tài)和解決問題的方法與途徑都很明確的問題，而后者則是這三者中至少有一個沒有明確界定的問題.

應(yīng)該注意的是，結(jié)構(gòu)不良問題并不是這個問題本身有什么錯誤或是不恰當，而是指它沒有明確的結(jié)構(gòu)、要求或解決的途徑.

數(shù)學教學中的系統(tǒng)知識是一種結(jié)構(gòu)良好的問題，條件明確，不多不少，需要解決的問題目標明確，有規(guī)范的思路和解法.然而現(xiàn)實生活中的問題多是結(jié)構(gòu)不良的、情境化的、定義不明確的或者目標不明確的，往往沒有標準答案.結(jié)構(gòu)不良問題具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開放等特點，其解決過程能有效激發(fā)學生的求知欲，幫助學生從多角度把握問題的本質(zhì)，追尋知識背后的價值.因此，解決結(jié)構(gòu)不良問題對促進學生素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升具有深遠意義.

二、結(jié)構(gòu)不良視角下的復(fù)習課

1. 復(fù)習課的教學功能

復(fù)習課在數(shù)學教學中占據(jù)著獨特地位，它是知識學習的高級階段，在數(shù)學知識的整合與理解、解題策略的構(gòu)建與內(nèi)化、思維能力的形成與提升等方面都起著重要作用.

復(fù)習課的教學目的是幫助學生梳理基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想，加強相關(guān)知識聯(lián)系的豐富性和順暢性，構(gòu)建有機的網(wǎng)絡(luò)，便于知識技能和思想方法的存儲、提取和遷移應(yīng)用，進而加強知識理解的準確性和深刻性，提高知識的組織質(zhì)量，形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，并通過問題解決等方式，提高綜合運用知識解決問題的能力.

2. 平行四邊形的性質(zhì)和判定定理復(fù)習課

（1）梳理知識框架.

知識梳理是復(fù)習課中常見的環(huán)節(jié)之一，它是為了幫助學生回歸教材，理清教材脈絡(luò)體系，從而使得各個知識點之間能夠有效整合，發(fā)展學生的抽象概括能力，培養(yǎng)學生運用數(shù)學語言進行交流與表達的能力.

本節(jié)課通過如下問題，要求學生對單元知識能夠進行有序、合理地構(gòu)建.

① 本章的研究內(nèi)容有哪些？我們是從哪些角度進行研究的？

② 平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定之間有怎樣的關(guān)系？能否用一個圖來表示？

根據(jù)學生情況，要求其通過結(jié)構(gòu)圖的方式，形成一個主線突出、脈絡(luò)清晰、體系完整的知識結(jié)構(gòu)（如圖1、圖2）.

（2）提出活動要求.

如圖3，已知四邊形ABCD是平行四邊形.

（Ⅰ）① 在平行四邊形ABCD的邊或邊所在直線上截取相等線段;② 在平行四邊形ABCD的對角線或?qū)蔷€所在直線上截取相等線段. 這兩種方式中選擇一個，構(gòu)造一個新的平行四邊形，需要說明構(gòu)造的具體方法，并給出證明.

（Ⅱ）在構(gòu)造新平行四邊形的過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

活動說明：這個活動的目標是明確的，即構(gòu)造一個新的平行四邊形. 但是給學生提供了不同的方式，構(gòu)造路徑是不同的，即便學生選擇了方式①或方式②，也將會面臨著如何截取的問題，構(gòu)造方式是多種多樣的. 在結(jié)構(gòu)不良視角下設(shè)計的學生活動，更具思維空間和挑戰(zhàn)性. 例如，在哪截??？怎樣截?。啃枰\用原有平行四邊形的哪些性質(zhì)？證明時運用平行四邊形的哪個判定定理？解決問題時思維方向的確定、思維策略的選擇、思維過程的監(jiān)控、思維結(jié)果的評估等一系列過程，都將促進學生的深度思考.

（3）學生活動實錄.

生1：我選擇方式①，借助平行四邊形的“邊”構(gòu)造. 有兩種截取方式：第一種，在一組對邊上截取相等線段. 如圖4，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，DE = CF，四邊形ABFE是一個平行四邊形. 用到性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等. 證明時，需要用判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形. 第二種，還是在一組對邊上截取. 如圖5，如果點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，AE =CF，四邊形EBFD是平行四邊形. 證明類似，略.

生2：我也選擇方式①，不同的是，在兩組對邊上截取相等線段. 如圖6，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點，DE = CF，G，H分別是AB，CD上的點，AG = DH，可以構(gòu)造出8個平行四邊形.

生3：受生2的啟發(fā)，在圖5的基礎(chǔ)上，連接CE，AF，CE交DF于點G，AF交BE于點H，也可以得到平行四邊形EHFG（如圖7）.

生4：在圖6中，有一種特殊情形：如果G，F(xiàn)，H，E分別是AB，BC，CD，DA的中點，則四邊形GFHE是平行四邊形（如圖8）. 在證明過程中，我發(fā)現(xiàn)，這個結(jié)論和原圖形的形狀沒有關(guān)系，由于證明中用到的是三角形中位線定理，因此，去掉“四邊形ABCD是平行四邊形”這個條件，結(jié)論依然成立（如圖9）.

師：很好，生4在構(gòu)造與證明的過程中發(fā)現(xiàn)了新結(jié)論！這個四邊形我們稱之為“中點四邊形”，“中點四邊形”一定是平行四邊形，有興趣的同學可以按照平行四邊形的研究思路去研究這個“新圖形”！

這樣，學生在這個活動中，自然發(fā)現(xiàn)了“中點四邊形”，繼續(xù)引導(dǎo)學生研究這個特殊四邊形，這一過程也體現(xiàn)了從一般到特殊的研究方法，為后續(xù)研究特殊的四邊形積累了經(jīng)驗.

生5：我選擇方式①，但是我是在延長線上順次截取相等線段，構(gòu)造平行四邊形. 如圖10，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA延長線上的點，且BE = CF =DG = AH，四邊形HEFG是平行四邊形.

證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB = CD，∠BAD = ∠DCB.

所以∠HAE = ∠FCG.

因為AE = AB + BE，CG = CD + DG，

BE = DG，

所以AE = CG.

又因為AH = CF，

所以△AHE ≌ △CFG.

所以HE = FG.

同理EF = GH.

所以四邊形HEFG是平行四邊形.

生6：在生5的證明過程中，我發(fā)現(xiàn)，只要能夠保證△AHE ≌ △CFG即可，因此條件只需要BE = DG，CF =AH即可，沒有必要四條線段都相等.

師：好，條件可以弱化！這也是進行數(shù)學研究的基本方法. 其他同學呢？

生7：如圖11，我在對角線AC上截取兩點E，F(xiàn)，使AE = CF，四邊形EBFD是平行四邊形.用到平行四邊形的性質(zhì)：對角線互相平分，以及判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

類似地，在對角線延長線上構(gòu)造相等線段也可以得到相應(yīng)的平行四邊形（如圖12）.

其間，還有學生提出：既然平行四邊形的研究角度有邊、角和對角線，那么能否“截取相等角”來構(gòu)造平行四邊形呢？這是非常好的想法，這一想法也為后續(xù)解決問題過程中常用到的“旋轉(zhuǎn)角”構(gòu)造全等或相似積累了經(jīng)驗. 正是由于從結(jié)構(gòu)不良視角設(shè)計學生活動，給學生提供了更多思考問題、提出問題及數(shù)學發(fā)現(xiàn)的機會，也讓學生在解決問題的過程中更好地體會數(shù)學的基本思想方法，如類比的思想，以及探究問題的一些基本方法，如弱化條件、改變條件、構(gòu)造圖形等，同時，學生在合作交流的過程中，也增強了與人溝通、合作學習的能力.

（4）例題與習題.

例? 如圖13，在△ABC中，BD，CE分別是AC，AB上的中線，BD與CE相交于點O. BO與OD的長度有什么關(guān)系？邊BC上的中線是否一定過點O？為什么？

這是教材中的題目，也是一個經(jīng)典的結(jié)論. 有了上述構(gòu)造平行四邊形的經(jīng)歷，輔助線的添加“如圖14，分別作BO，CO的中點M，N，連接ED，EM，MN，ND”不再顯得那么生硬，甚至很多學生能夠自行添加輔助線并完成證明（證明略）.

在解決平面幾何問題的過程中，添加適當?shù)妮o助線是學生的難點，單純靠模仿是遠遠不夠的，學生需要對圖形的結(jié)構(gòu)有深刻的理解和認識，從結(jié)構(gòu)不良的視角設(shè)計，如上述活動，只明確任務(wù)指向：構(gòu)造平行四邊形，開放構(gòu)造方式，可以給學生帶來充分認識圖形結(jié)構(gòu)特征的機遇. 我們還可以設(shè)計條件確定、結(jié)論開放的活動，讓學生在活動中感知圖形、體會方法.

練習：如圖15，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB = 2CD，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點. 求證：CD = 2EF.

取AB的中點G是證明的關(guān)鍵，學生要能夠根據(jù)已知條件分析圖形的結(jié)構(gòu)特征：根據(jù)已知AB∥DC，AB =2CD，分析出這里蘊含著兩個平行四邊形，[?AGCD]和[?BGDC]（如圖16），進而解決問題.

三、反思

在過去的教學活動中，部分教師把精力過多地放在解題訓(xùn)練上，圍繞著確定的“條件和結(jié)論”模式化訓(xùn)練，學生僅靠記憶和解題經(jīng)驗去解決問題，效果甚微. 在結(jié)構(gòu)不良視角下設(shè)計的學生活動，需要學生根據(jù)具體情境，從多個角度分析，考慮多個可能，尋找不同路徑，提出多種解決方案. 而解決問題的過程中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，有助于幫助學生更好地理解數(shù)學本質(zhì)，培養(yǎng)學生思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性和創(chuàng)造性.在復(fù)習課或?qū)ｎ}課中，設(shè)計結(jié)構(gòu)不良問題，往往能夠起到事半功倍的效果.

在結(jié)構(gòu)不良視角下設(shè)計學生活動，需要充分考慮學生的認知水平，精心設(shè)計有效的、富有啟發(fā)性的結(jié)構(gòu)不良問題，這些問題，不是知識的簡單提取、記憶和重復(fù)運用，而是能夠提升學生已有的認知，激發(fā)學生強烈的認知沖突，激起學生內(nèi)部的學習動力. 正如著名數(shù)學家弗賴登塔爾所說：“數(shù)學知識既不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的.”結(jié)構(gòu)不良視角下設(shè)計的活動更具開放性、探究性，對培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)具有重要意義.

參考文獻：

[1]任子朝，趙軒. 數(shù)學考試中的結(jié)構(gòu)不良問題研究[J]. 數(shù)學通報，2020（2）：1-3.

[2]路艷. 基于結(jié)構(gòu)不良問題的探究性教學策略研究[D]. 成都：四川師范大學，2012.