把握度量本質(zhì)理解分?jǐn)?shù)的意義

陳瑛

【摘要】本文以《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)為例，論述把握度量的本質(zhì)以理解分?jǐn)?shù)意義的策略，通過(guò)不同教材的對(duì)比分析，理解教材之“意”;通過(guò)學(xué)情調(diào)查，了解學(xué)生對(duì)多個(gè)物體的整體概念薄弱;通過(guò)凸顯單位、單位累加、砌“墻”延伸等方式，探尋有效的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】《分?jǐn)?shù)的意義》 理解分?jǐn)?shù) 度量

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）37-0086-03

“分?jǐn)?shù)的意義”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，由于學(xué)生認(rèn)知的階段性及對(duì)分?jǐn)?shù)度量的經(jīng)驗(yàn)存在局限，他們無(wú)法真正理解“分”與“數(shù)”，對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)不夠深入。而巧用度量能有效地幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)實(shí)際是一個(gè)“數(shù)”，可以通過(guò)數(shù)分?jǐn)?shù)單位的數(shù)量得出這個(gè)“數(shù)”，它是分?jǐn)?shù)單位的累加。為此，筆者嘗試?yán)谩皢挝弧苯档蛯W(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知難度，幫助學(xué)生完整地構(gòu)建分?jǐn)?shù)意義的概念體系。

一、理解教材之“意”

數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授指出，分?jǐn)?shù)一般有四種定義：份數(shù)定義、商定義、比定義、公理化定義。筆者查閱了蘇教版、人教版、北師大版和浙教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的相關(guān)內(nèi)容，得出四個(gè)版本教材均有“份數(shù)定義”;各版本教材中度量的角度含量各不相同，北師大版度量的角度呈現(xiàn)更豐富;浙教版從“商定義”入手;人教版研究分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是從度量開(kāi)始;北師大版的“剩下的不足一段繩子怎么記？”同樣是測(cè)量，要解決的是“不夠測(cè)量怎么辦”的問(wèn)題，同時(shí)給出了方法：先用紙條的一半去測(cè)量，發(fā)現(xiàn)不行的時(shí)候用紙條的[14]去測(cè)量。各版本教材的立足點(diǎn)雖不一樣，但都緊扣分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。因此，從“份數(shù)定義”到“商定義”，是數(shù)系的一次擴(kuò)充，更是一次跨越與升華。

由此，“分?jǐn)?shù)的意義”是小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的第三次呈現(xiàn)，對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，不僅是內(nèi)涵的深入及外延的擴(kuò)展，而且是深層次的認(rèn)識(shí)和理解，也是一個(gè)逐步完善、逐漸系統(tǒng)化認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的進(jìn)程。

二、深挖學(xué)生之“困”

五年級(jí)的分?jǐn)?shù)教學(xué)要深入知識(shí)本質(zhì)，了解知識(shí)的脈絡(luò)及前后聯(lián)系、厘清難點(diǎn)。為此，筆者在課堂上對(duì)學(xué)生進(jìn)行了教學(xué)前測(cè)。

1.出示問(wèn)題1：用至少兩種方法表示[14]，并說(shuō)明理由。

班級(jí)里有93.5%的學(xué)生用2種或3種方法表示[14]，但并未出現(xiàn)3種以上的方法。這些方法中是以畫(huà)圖為主要方式，并且集中在把一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形、圓平均分成4份，涂色表示其中的一份;僅有4.3%的學(xué)生用線段圖表示。（如圖1～圖5）

由此可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)停留在一個(gè)圖形、一個(gè)物體的平均分，具有一定的局限性。而僅有13%的學(xué)生把一些物體組成的整體平均分表征出[14]，集中表現(xiàn)在下面三種情況。（如圖6～圖8）

由上述案例可知，學(xué)生在三年級(jí)時(shí)，已經(jīng)從平均分一個(gè)具象整體（一個(gè)物體、一個(gè)圖形或一個(gè)計(jì)量單位等）的幾分之一和幾分之幾，逐步過(guò)渡到認(rèn)識(shí)一個(gè)抽象整體（一些物體組成的一個(gè)整體）的幾分之一和幾分之幾。但到了五年級(jí)再學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，由于時(shí)隔一年半，學(xué)生遺忘率高，不難看出，他們對(duì)“將一個(gè)具象整體平均分”的印象深刻，這也與學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平有關(guān)。

2.出示問(wèn)題2：下圖中的三角形表示[14]，請(qǐng)你在方框里用三角形表示出“1”，并闡述理由。（如圖9）

這道題中學(xué)生的答案相似，幾乎都將圖9右邊的方框理解為一個(gè)圖形，其中[14]就是左邊的三角形，于是通過(guò)畫(huà)圖補(bǔ)齊這個(gè)圖形，主要畫(huà)法如圖10～圖12（見(jiàn)下頁(yè)）。

此外，全班還有13%的學(xué)生不會(huì)做題，8.7%的學(xué)生并未按原來(lái)的大小來(lái)畫(huà)，而是將整個(gè)長(zhǎng)方形框平均分成了4份;但幾乎沒(méi)有人想到可以在圖框中畫(huà)4個(gè)獨(dú)立的三角形。

由此可知，學(xué)生對(duì)多個(gè)物體組成的整體概念很淡薄，這是因?yàn)轭}目存在難度，還是學(xué)生形成了思維定式？為此，筆者不由得思考：五年級(jí)下冊(cè)的分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)和三年級(jí)的兩次分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)區(qū)別在哪里，聯(lián)結(jié)點(diǎn)又在哪里，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中又將起到怎樣的作用？數(shù)學(xué)若是從分?jǐn)?shù)意義的字面定義來(lái)突破，過(guò)于表層化，學(xué)生的學(xué)習(xí)不應(yīng)只是表面習(xí)得，還應(yīng)突破知識(shí)的本質(zhì)去獲取。由此，學(xué)生對(duì)一個(gè)圖形或者一個(gè)物體的概念是明確的，對(duì)一個(gè)整體是模糊的，也就是對(duì)“1”的理解是薄弱的，要改變這一現(xiàn)狀，就必須從轉(zhuǎn)換“1”的視角開(kāi)始。

三、探尋教學(xué)之“策”

針對(duì)以上學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和出現(xiàn)的困惑，筆者在分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)中努力改變教學(xué)著力點(diǎn)，通過(guò)轉(zhuǎn)換視角、聚焦單位，從度量的角度將分?jǐn)?shù)理解為“分?jǐn)?shù)是單位的累加”，得出新的思維路徑，將為后續(xù)的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（一）凸顯單位，深入理解“1”的內(nèi)涵

課前和學(xué)生玩用“1”說(shuō)一句話的游戲，如8條魚(yú)可以表達(dá)為1缸魚(yú)、10根香蕉可以說(shuō)成1把香蕉等。學(xué)生在游戲中發(fā)現(xiàn)了很多物體的數(shù)量都可以用“1”來(lái)表示，自然而然地改變了對(duì)“1個(gè)”的固有認(rèn)知。

師：3個(gè)蘋(píng)果能看作“1”嗎？怎么看？

生1：把3個(gè)蘋(píng)果圈起來(lái)。

師：3個(gè)蘋(píng)果可以看作“1”，6個(gè)蘋(píng)果用多少表示？為什么？

生2：可以用“2”表示，因?yàn)橛?個(gè)“1”。

師：9個(gè)蘋(píng)果呢？

生3：用“3”表示。

上述教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生把3個(gè)蘋(píng)果看作一個(gè)整體，并用“1”表示，就是1個(gè)單位;6個(gè)蘋(píng)果有2個(gè)“1”;9個(gè)蘋(píng)果有3個(gè)“1”等。通過(guò)轉(zhuǎn)換視角，學(xué)生逐漸理解“1”這個(gè)單位的內(nèi)涵。隨即可以利用“1個(gè)月餅”這一單位，延伸認(rèn)識(shí)幾個(gè)物體就是幾個(gè)“1”，再把“1”平均分成4份，其中的1份用[14]表示。

這一視角轉(zhuǎn)換有效打破了學(xué)生對(duì)“1”的思維定式，充分喚醒了學(xué)生對(duì)一個(gè)整體的已有認(rèn)知，對(duì)“1”的認(rèn)識(shí)不再停留在一個(gè)物體和一個(gè)圖形上，而是從多個(gè)角度豐富了“1”的內(nèi)容。

（二）多元表征，深度挖掘分?jǐn)?shù)的意義

在理解分?jǐn)?shù)概念的過(guò)程中，教師要適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生自主借助形象、直觀的圖形或語(yǔ)言來(lái)表示分?jǐn)?shù)的概念，并能靈活處理分?jǐn)?shù)概念，巧用對(duì)比、精準(zhǔn)提煉，促進(jìn)深度理解。

在分月餅的案例中，[14]表示把1個(gè)月餅平均分，每份是[14]，學(xué)生還用畫(huà)圖或語(yǔ)言描述等方式多元表征，建構(gòu)[14]這一分?jǐn)?shù)模型。部分學(xué)生作品如圖13。

從學(xué)生的作品及前測(cè)的對(duì)比中可以看出，轉(zhuǎn)換“1”的視角是有效的，通過(guò)不同表征系統(tǒng)的自由切換，同時(shí)對(duì)這些作品進(jìn)行對(duì)比分析，學(xué)生對(duì)[14]的理解逐步加強(qiáng)，此時(shí)再來(lái)提煉單位“1”，進(jìn)一步豐富了對(duì)[14]意義的建構(gòu)。從[14]延伸到四分之幾，再到幾分之幾，分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵不斷深化，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解更加深刻。

單位“1”的內(nèi)涵非常豐富，即一個(gè)（一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位等）、多個(gè)（許多物體）、多組（滲透部分與整體、部分與部分的關(guān)系），都可以把它們看作一個(gè)整體，用自然數(shù)“1”表示，通常叫做單位“1”。此外，也要適當(dāng)擴(kuò)展它的外延，有不滿單位“1”的量，也有幾個(gè)單位“1”的量，都需要進(jìn)行區(qū)分。

（三）單位累加，深層運(yùn)用度量去釋義

學(xué)生常常誤解分?jǐn)?shù)總是小于1（比一個(gè)蛋糕小、比一個(gè)長(zhǎng)方形小……），對(duì)分蛋糕、分大餅等直觀方式，學(xué)生容易出現(xiàn)思維僵化。而從字面上看，分?jǐn)?shù)單位是表示其中一份的數(shù)。給出一個(gè)分?jǐn)?shù)，學(xué)生也能說(shuō)出分?jǐn)?shù)單位是多少，但他們是否真正理解其內(nèi)涵了呢？

筆者從單位角度出發(fā)，借助數(shù)軸以[14]為一個(gè)度量單位，用[14]依次數(shù)出[24]，[34]，[44]，此時(shí)的[14]就是一個(gè)用來(lái)數(shù)分?jǐn)?shù)的單位，2個(gè)[14]是[24]，3個(gè)[14]是[34]，以此類推，不僅數(shù)出了真分?jǐn)?shù)，還數(shù)出了假分?jǐn)?shù)。[44]是1，再加一個(gè)[14]，有5個(gè)[14]，就是[54]，這是教學(xué)難點(diǎn)，突破了“1”的局限。學(xué)生只有跨過(guò)了這道“鴻溝”，對(duì)分?jǐn)?shù)的理解才更加深入。在數(shù)的過(guò)程中體會(huì)到四分之幾，就是將這樣的幾個(gè)[14]累加而成，有幾個(gè)[14]就是四分之幾。

要度量就要確定度量單位，其核心要素是單位及單位個(gè)數(shù)。通過(guò)數(shù)軸對(duì)分?jǐn)?shù)作幾何解釋，這是一個(gè)半抽象的模型，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。利用數(shù)軸，學(xué)生找到[14]這個(gè)分?jǐn)?shù)單位，還能依次數(shù)出相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)就是通過(guò)這樣的幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位累加而成，分?jǐn)?shù)的度量意義進(jìn)一步得到深化，分?jǐn)?shù)的化聚也充分得到了內(nèi)化，學(xué)生從數(shù)軸上還能感受真正的分?jǐn)?shù)是密密麻麻地分布在[0，1]區(qū)間上，從1開(kāi)始就是假分?jǐn)?shù)的呈現(xiàn)等。

（四）砌“墻”延伸，深化提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

特級(jí)教師許衛(wèi)兵說(shuō)：“思維是數(shù)學(xué)能力之‘核’，思維也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)之‘魂’。”在以往的教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，教師通常一句話就把分?jǐn)?shù)單位概括出來(lái)了，但學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)單位的理解更多地浮于表面。為了讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)單位、分?jǐn)?shù)的意義有更加深刻的理解，筆者借助分?jǐn)?shù)墻去突破。分?jǐn)?shù)墻就是用長(zhǎng)短不一的積木搭成的一堵墻。假設(shè)其中最長(zhǎng)的積木長(zhǎng)度為1，那么其他較短的積木的長(zhǎng)度都表示分?jǐn)?shù)單位。用來(lái)數(shù)分?jǐn)?shù)的單位不是只有[14]，此時(shí)把單位“1”依次平均分成2份、3份等，分別找到了[12]，[13]，[14]等單位，分?jǐn)?shù)墻自然而然“砌”成了。學(xué)生在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，這些用來(lái)數(shù)分?jǐn)?shù)的單位，都是把單位“1”平均分成若干份，并取其一表示某一份。

利用分?jǐn)?shù)墻，學(xué)生體會(huì)到單位“1”平均分的份數(shù)越多，它的每一份就（即幾分之一）越少。同時(shí)理解了把一張紙條平均分成幾份，1份就是這張紙條的幾分之一（分?jǐn)?shù)單位），如平均分成6份，1份就是這張紙條的[16]，這張紙條共有6個(gè)[16]。在分?jǐn)?shù)墻上能找到一些大小相等的分?jǐn)?shù)，還能發(fā)現(xiàn)[22]=[33]=[44]=…=1，等等。這樣教學(xué)，學(xué)生在觀察、比較、交流中再次回顧分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生、感悟單位累加的過(guò)程，從中感受到了度量的價(jià)值，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊，在思維延伸中深化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總之，在分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)中，教師要充分理解教材的編寫(xiě)意圖，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，轉(zhuǎn)換視角、聚焦單位，巧用度量釋義，理解了分?jǐn)?shù)是單位的累加。筆者對(duì)分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的嘗試，緊扣內(nèi)涵本質(zhì)，降低學(xué)生的認(rèn)知難度，在深度和廣度上進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，在深化數(shù)學(xué)素養(yǎng)中促進(jìn)學(xué)生的長(zhǎng)足發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]許衛(wèi)兵.以思維為核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)導(dǎo)向[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2017（1）.

【作者簡(jiǎn)介】陳 瑛（1985— ），女，江蘇南通人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 楊 春）