基于APOS理論的“函數(shù)的概念”教學設(shè)計*

福建省福清第一中學(350300) 余小萍

福清市教師進修學校(350300) 李云杰

1 引言

2019年11月26日,由福建省普通教育教學研究室主辦,晉江一中承辦的2019年福建省高中數(shù)學學科優(yōu)質(zhì)課評審活動中,筆者開設(shè)“函數(shù)的概念”獲評福建省優(yōu)質(zhì)課.

2 “函數(shù)的概念”內(nèi)容解析

“函數(shù)的概念”位于《普通高中課程標準實驗教科書(必修)數(shù)學①(A版)》第一章第二節(jié),是函數(shù)的初始課.函數(shù)是描述變量與變量之間相互關(guān)系的數(shù)學語言和工具,是連接兩類對象的橋梁,他反映兩個數(shù)集之間的關(guān)系.本節(jié)課,其主要學習任務有:函數(shù)概念學習的必要性與要求;感悟兩個數(shù)集之間所存在的對應關(guān)系;體會用集合與對應的語言刻畫這種關(guān)系;引入抽象符號f(x);何為定義域、值域;概念的簡單應用.教學重點是體會函數(shù)是描述變量間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型,正確理解函數(shù)的概念.教學難點是函數(shù)的概念及符號y=f(x)的理解.

筆者梳理了幾種常見的課堂處理方式:

其一,先補充映射概念,再引出函數(shù)概念.映射是函數(shù)的上位概念,比函數(shù)概念更加抽象,而且不同于學生在初中已經(jīng)接觸過的函數(shù)概念,映射概念對學生來說是一個全新的內(nèi)容,這樣處理不吻合學生的認知發(fā)展,人為地增大學習理解難度.

其二,認為初中的函數(shù)概念“變量說”僅僅指兩變量間的解析式關(guān)系,舉一些表示法為圖像法和列表法的函數(shù)例子說明需要進一步調(diào)整概念,引出函數(shù)概念“對應說”.然而,學生在初中“變量說”時已接觸過函數(shù)的三種表示法:解析法、圖像法和列表法.教師對學情了解不夠出現(xiàn)設(shè)計缺陷.

其三,認為初高中函數(shù)概念并無太大不同,照本宣科,直接把概念強加給學生,強調(diào)幾個注意點后立即進入習題操練.這是當前概念課教學的常見模式,過度關(guān)注概念的應用,忽略概念生成過程性、整體性和思想性.學生對函數(shù)概念理解停留在淺表層面,習題操練中只能生搬硬套概念,是機械化的模仿訓練.

在課程改革的今天,學習應該是學習者在原有認知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,將新的知識表征與舊的知識表征相互融合,從而改變舊認知,發(fā)展和重建新的知識結(jié)構(gòu).數(shù)學概念教學應注重揭示知識的抽象過程,關(guān)注情境創(chuàng)設(shè),讓學生從具體、貼近生活的現(xiàn)實模型,抽象概括出新的感性認知.這種新的感性認知在數(shù)學思想方法的指導下,經(jīng)過學習者的操作、確認、反思,形式表述簡潔化、符號化,進而形成元認知,達到多方位感悟的一個數(shù)學概念.這樣學習者積累數(shù)學活動經(jīng)驗,才能更好地培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng),也更符合學生主動建構(gòu)的教育原理.

3 APOS理論

以美國數(shù)學教育家杜賓斯基(Dubinsky)為代表的研究者們提出的APOS理論,有四個階段活動階段(Action)、過程階段(Process)、對象階段(Object)和圖式階段(Scheme).

4 項目化學習

項目化學習既是一種學習方式,也是一種課程設(shè)計方法[1].

5 “函數(shù)的概念”學情分析

5.1 認知基礎(chǔ)分析

高一學生在初中階段學習了函數(shù)概念的“變量說”;學生的函數(shù)知識儲備有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等模型,并能借助他們的圖象,分析簡單的函數(shù)性質(zhì);還能用這些函數(shù)模型解決部分簡單實際問題;學生初中階段的函數(shù)知識還沒出現(xiàn)抽象符號f(x);也沒出現(xiàn)定義域、值域等名稱.

5.2 學習障礙分析

基于上述的認識基礎(chǔ),在函數(shù)的概念“對應說”抽象概括過程中,學生在以下幾種情況可能會出現(xiàn)障礙:

1.初中時候?qū)W生接觸的函數(shù)大多是用解析式表示的,學生對表格、圖象等圖表表述的函數(shù),說不出他們的“對應關(guān)系”,會判定這些用圖表表述的函數(shù)為不是函數(shù).因此在高中階段教授函數(shù)概念時,要重視幫助學生認知這種“對應關(guān)系”,要重點關(guān)注“圖象、表格表示的對應關(guān)系是什么”的教學.

2.初中的學習習慣使學生解題時常常對定義域不加注意和研究.初中時候?qū)W生經(jīng)常接觸“要使函數(shù)有意義”的定義字眼,而高中階段是正面問函數(shù)的定義域.因為初中時候的函數(shù)定義是將變量的“取值范圍”隱含在兩個變量是“在一個變化過程中”.

3.學生對抽象符號的理解.

6 基于APOS理論的“函數(shù)的概念”教學設(shè)計

案例1

問題:請根據(jù)初中的函數(shù)定義判斷y=1(x∈?)是否是函數(shù)?

情境1某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時.這段時間內(nèi)列車行進的路程S(單位:km)與運行時間t(單位:h)的關(guān)系可以表示為:S=350t

(1)路程S與運行時間t是函數(shù)關(guān)系嗎?

(2)依據(jù)對應關(guān)系S=350t,當這趟列車加速到350km/h后,它運行1h就前進了350km.你覺得這個說法正確嗎?

追問:①運行時間的變化范圍(數(shù)集A1)是什么?路程S的變化范圍(數(shù)集B1)是什么?

②數(shù)集A1與數(shù)集B1之間有怎樣的對應關(guān)系呢?

情境2艾賓浩斯記憶遺忘曲線是德國心理學家艾賓浩斯(H.Ebbinghaus)的研究成果,他發(fā)現(xiàn)遺忘在學習之后立即開始,而且遺忘的進程并不是均勻的.最初遺忘速度很快,以后逐漸緩慢.他用無意義音節(jié)(由若干音節(jié)字母組成、能夠讀出、但無內(nèi)容意義即不是詞的音節(jié))作記憶材料,用節(jié)省法計算保持和遺忘的數(shù)量.并根據(jù)他的實驗結(jié)果繪成描述遺忘進程的曲線,下圖是0～31天的記憶遺忘曲線圖.

圖1 0～31天的記憶遺忘曲線

圖2 艾賓浩斯(H.Ebbinghaus)

(1)如何根據(jù)該圖確定0～31天中任一時刻t(單位:天)的記憶數(shù)量S?你認為這里的記憶數(shù)量S是t的函數(shù)嗎?

追問:①你怎么判斷他是函數(shù)關(guān)系呢?

②能畫出圖的一定是函數(shù)關(guān)系嗎?那下圖是函數(shù)關(guān)系嗎?

③你是怎么想的?

④那怎樣的對應才是函數(shù)呢?

(2)t的變化范圍(數(shù)集A2)是什么?記憶的數(shù)量S都在什么范圍內(nèi)(數(shù)集B2)?

(3)數(shù)集A2與數(shù)集B2之間有怎樣的對應關(guān)系呢?

情境3某校組織高一新生軍訓,參加即得1學分G,已知高一年級一班有40名學生,座號m分別為1～40,全部參加軍訓,下表是每人獲得學分的情況.

表1 高一新生軍訓學分獲得表

按上表給出的對應關(guān)系,學分G是座號m的函數(shù)嗎?如果是,你會用怎樣的語言來刻畫這個函數(shù)?

設(shè)計理由數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學,理解數(shù)學概念需要活動或操作.三個情境及其相關(guān)問題組成建構(gòu)的“活動階段”.先是讓學生認識初中函數(shù)概念“變量說”對某些問題無法解決,束手無策,產(chǎn)生認知沖突,造成學習新知的需求,推動學習發(fā)展,體會學習“對應說”函數(shù)概念的必要性.再創(chuàng)設(shè)三個情境,貼合學生生活實際,蘊含函數(shù)的本質(zhì)特征,讓學生體驗集合論、對應觀點下函數(shù)的現(xiàn)實背景,并以具體的問題及追問形式表現(xiàn)出來,強化范圍意識和對應關(guān)系.此活動階段通過函數(shù)概念的多元外在表征,對比啟發(fā),學生在認知沖突中埋下學習高中函數(shù)概念伏筆,其實這種初步認識對順利推進高中函數(shù)概念學習做了充分準備.學生在活動過程中理解并接受函數(shù)概念的要素.活動階段的學習實質(zhì)上是使數(shù)學概念過程化,是為概念形成作準備.

案例2

請同學們對以下問題在小組內(nèi)展開討論.(教師逐個給出問題,在巡視過程中應關(guān)注各組的討論情況,適時選一些小組代表發(fā)言展示各個問題的討論成果.)

問題1:你能說出以上情境1～情境3中的函數(shù),具有哪些共同特征?

問題2:根據(jù)你的學習體會,你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎?

問題3:除解析式、表格、圖象外,還有其他表示對應關(guān)系的方法.數(shù)學有和諧簡潔美,同學們能否統(tǒng)一表示對應關(guān)系嗎?

設(shè)計理由以問題串引領(lǐng)學生思維,在生生、師生的探索互動中組成建構(gòu)的“過程階段”.經(jīng)過了活動階段后,學生在小組討論中通過觀察、分析、比較和抽象,歸納出情境1～情境3中函數(shù)的共同特征,并把這些共同特征與初中已有的函數(shù)定義進行整合,將整合結(jié)果推廣到一般情況,在教師的引導幫助下學會用抽象的符號語言將函數(shù)表示出來,形成函數(shù)概念.在這個過程中教師要特別關(guān)注學生對抽象符號f(x)的理解,學生容易把f當成和x類似的量,將f(x)理解為f與x的某種運算,形成錯誤的心理表征,影響函數(shù)概念的正確形成.過程階段主要是對活動進行思考,通過分析、比較、歸納和反思,經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程,形成豐富的函數(shù)心理表象,抽象出函數(shù)概念特有的性質(zhì),理解概念中要素的意義.

案例3

問題4:你覺得該如何定義函數(shù)呢?

問題5:學習了高中函數(shù)概念后,你覺得y=1(x∈?)是否是函數(shù)?為什么?

問題6:情境3中的函數(shù)值y也等于1,問題5與情境3中的函數(shù)是同一個函數(shù)嗎?

例1.已知函數(shù)f(x)=

(1)求函數(shù)的定義域;

(2)求f(-3),,f[f(1)]的值;

(3)當a＞0時,求f(a),f(a-1)的值.

(2)f(-3)=由故f[f(1)]=

(3)當a＞0時,a-1＞-1,符合f(x)的定義域,則f(a-1)=

例2.下列函數(shù)中,哪一組的兩個函數(shù)是相等的?

(1)f(x)=與g(x)=x.

(2)f(x)=與g(x)=

(3)f(x)=|x|,x∈[-1,1]與g(t)=

(4)f(x)=|x|,x∈{-1,0,1}與g(x)=x2,x∈{-1,0,1}.

解析:(1)f(x)的定義域為{x|x≥0},g(x)的定義域為R,故f(x)與g(x)不相等;

(2)f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為R,化簡得f(x)=x,g(x)=|x|,對應關(guān)系不同,故f(x)與g(x)不相等;

(3)f(x)與g(t)的定義域相同,化簡得g(t)=|t|,對應關(guān)系相同,故f(x)與g(x)相等;

(4)f(x)與g(t)的定義域相同,列表

?

?

對應關(guān)系相同,故f(x)與g(x)相等.

設(shè)計理由將函數(shù)的本質(zhì)屬性精致化,得出函數(shù)概念,并進行概念應用,是建構(gòu)的“對象階段”.掌握函數(shù)概念后,對函數(shù)的活動應當脫離相對具體的情境,上升為易于把握本質(zhì)的抽象對象.例1使學生更好地理解函數(shù)符號表達式的意義及復合函數(shù)的本質(zhì);例2(1)(2)(3)強化學生對函數(shù)概念要素的理解;例2(4)看似兩個函數(shù)的解析式不同,實則對應關(guān)系相同,加深學生對函數(shù)概念對應本質(zhì)的理解.隨著對函數(shù)概念理解的不斷深入,學生不斷豐富和完善認知結(jié)構(gòu)中的函數(shù)概念,將概念作為整個認知結(jié)構(gòu)中的一個節(jié)點.

案例4項目化任務單

設(shè)計理由“圖式階段”是“活動”、“過程”、“對象”三個階段構(gòu)成的認知結(jié)構(gòu).“圖式階段”的學習是學習者循序漸進、不斷深化、內(nèi)化頓悟的過程,隨著知識的積累,要讓函數(shù)概念與學生認知結(jié)構(gòu)中的其它節(jié)點逐漸建立起聯(lián)系,形成網(wǎng)絡(luò),以一種綜合的心理圖式存在于腦海里.

項目化學習強調(diào)學習者的真實情境、同伴合作完成、展示成果導向及師生評價跟進.“做一做”突出函數(shù)概念要素與函數(shù)圖像的聯(lián)系;“寫一寫”考查學生能否將函數(shù)概念與認知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識聯(lián)系,設(shè)計函數(shù)關(guān)系,并在學習的過程中讓學生來參與評價,增強學生學習積極性;函數(shù)是現(xiàn)實世界中刻畫運動變化規(guī)律的重要模型,“試一試”找尋函數(shù)與客觀世界的聯(lián)系;“說一說”使學生聯(lián)系初高中函數(shù)概念,對原有函數(shù)的認知進行調(diào)整,將初中建立的函數(shù)圖式納入到更高級的高中函數(shù)圖式中;“查一查”讓學生了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程,進一步完善高中函數(shù)圖式;“談一談”總結(jié)活動經(jīng)驗學習體會,培養(yǎng)良好的學習習慣.

函數(shù)是貫穿整個高中數(shù)學課程的一個基本脈絡(luò).對“函數(shù)”這個范疇,可有如下圖式表征形式:函數(shù)的上位概念:映射;函數(shù)的組成部分:對應關(guān)系、定義域、值域;函數(shù)的表象:圖像;函數(shù)的性質(zhì):單調(diào)性、奇偶性、周期性,……;函數(shù)的下位概念:冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù),…….學生對函數(shù)的認識不是也不可能一步到位,只有經(jīng)歷一定的知識和時間的積累,才能在循環(huán)往復、螺旋上升中達成對函數(shù)的整體理解,形成高層次的圖式表征.