關注學生“質疑”,踐行核心素養(yǎng)*
——高三復習課的教學啟示

江西省臨川第一中學(344100) 袁小平

高三數(shù)學復習課是高中數(shù)學知識的再次整合.復習效果直接影響到高考備考的成效,關系到學生的數(shù)學學習能力的有效發(fā)展和數(shù)學核心素養(yǎng)形成.受高考影響,復習課的教學時間緊、任務重、節(jié)奏快.教師在課堂上循循善誘,深入淺出,激情四射;在題海中遨游;在各種解法中自得其樂.學生只有緊緊跟隨步伐,可謂“收獲滿滿”——筆記本和錯題本一本本,練習題和試卷集一堆堆.最終卻是教師教得累,學生學得苦,教學效果不盡人意,難以突破“難點瓶頸”.

課堂“質疑”是指數(shù)學思維過程中總有不少疑惑、懸念和思維的沖突,是對解決問題的渴望,看似要達到解決問題的彼岸卻百思不得其解的“困惑”.課堂上若不給學生“表現(xiàn)”的機會,學生的課堂“質疑”、“思維火花”也會慘遭“澆滅”,失去了自主探究的機會.長此以往,學生思考的積極性、學習的主動性將受到嚴重地挫傷.筆者就江西省2020高考復習研討會上的示范課“導數(shù)的綜合應用”教學片斷為例,談談如何合情、妥善地處理課堂中的不同“質疑”,提高核心素養(yǎng)下高三數(shù)學復習課的效率.現(xiàn)與大家分享.

1 注重個體情感體驗,關注課堂中學生不同的“質疑”聲音

有別于新授課,復習課知識點多、容量大、跨度廣.很多學生的經(jīng)典思考、理性思維容易“一筆帶過”,甚至視而不見.再加上部分同學認為自己做對了,自己會了,懂了,也容易喪失質疑探究的熱情和動力.因而,課堂教學中教師應關注學生個體情感,讓學生主動參與,聯(lián)想與反思,積極體驗思維困惑,讓不同的“質疑”來感受數(shù)學思維的形成過程.

教學片斷(一)

教師對本模塊重要知識點,考試大綱要求,歷年考查方向等作了詳細概括后,教師(以下簡稱“師”,學生簡稱“生”)舉出實例,與學生共同探討.

師:請看例1設函數(shù)f(x)=aex-xlnx,其中a∈?,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若f(x)在(0,+∞)上的增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(解法省略)

師:我們已總結過有ex和lnx混合式直接求解較困難的.有沒有其他方法可以證明?

生2:可以,把所證明不等式等價變形即可.

師:生2思路很敏捷,如何等價變形呢?

生2:(證法1先等價變形后證明)可以兩邊同時除以x2,證明:當x＞0時,設g(x)=由g′(x)=知:g(x)在x∈(0,2)上為減函數(shù),在x∈[2,+∞)為增函數(shù),故g(x)min=g(2)=同理設h(x)=求導易得h(x)max=h(e)=而故g(x)＞h(x).即當a≥時,f(x)＞0.

生3:為什么兩邊不同時除以x、x3等進行其它變形?

師:當然要同除以一個合適的數(shù)(或式),有利于我們后面的求導、求最值.大家再仔細觀察要證明的不等式,能否觀察出什么特征?

生4:(證法2分段證明,縮小x范圍)當0＜x≤1時,f(x)＞0顯然成立.下面只需證當x＞1,a≥時,f(x)＞0,即證2ex?2-xlnx＞0,下同“證法1”.

師:“生4”方法很不錯,先縮小自變量x范圍,減輕證明負擔.局部先疏通,可集中精力主攻難關,也是證明不等式的有效方法.還有其它途徑嗎?

生5:可嘗試放縮法,找到一個數(shù)或式A,使2ex?2＞A＞xlnx成立.

(證法3放縮法)設想:λ＞0,使得:2ex?2≥λx2(x＞1),∴λ≤=g(x),易求得g(x)min=g(2)=∴2ex?2≥(x＞1).現(xiàn)只需證:＞lnx,以下證明省略.

生6(和同桌嘀咕):怎么會想到這樣放縮?為什么不可以設想:……?為什么不是右邊放大?

師:先嘗試放縮到一個最優(yōu)的式子,尺度正好合適才行.常見不等式的放縮有:lnx≤x-1、-lnx=-1、ln(x+1)≤x、ex≥x+1、ex≥x+1≥ln(x+2)、ln(1+x)≤x(x＞-1)、x-≤ln(1+x)≤x-1-x≤ex≤、ex≥1+x+等.我們平時應多總結一些技巧與方法,提高解題技能.

生7:這么多方法,怎么會想到?能不能用常規(guī)方法證明?

情感就是人對待事物的態(tài)度的體驗,人的認知過程總是伴隨一定的情感心理活動.情感狀態(tài)和情感水平必然會影響人的認知能力和認知效果.積極的師生情感可以調節(jié)心理氣氛,激發(fā)學生的學習動機和熱情,進而提供學生思維發(fā)展的水平[4].

因此,教師不僅要關注與課堂教學設計同步的學生思維,而且應格外關注學生思考過程中各種“質疑”的情感體驗.教師不能吝惜課堂,給學生更多質疑體驗的時間和空間,還課堂舞臺給學生,讓學生有更多展現(xiàn)的機會.否則就會抹殺學生“質疑”中的積極思維和創(chuàng)新想法.筆者以為,可沿著“生3”提出的“質疑”,展開討論,躍躍一試:

(證法4質疑生長新的證法)兩邊同時除以x,即證:-lnx＞0.設F(x)=-lnx,至此,又會生長新的“困惑”:如何求其最值?給學生表現(xiàn)機會,讓學生在質疑中發(fā)現(xiàn)錯誤,尋找錯因,探究正解;在辨析中明理;在理解中體驗疑惑(以下簡稱“體疑”).

(體疑1通性通法,構造函數(shù):虛設零點,架設橋梁,天塹變通途)再設φ(x)=2ex?2(x-1)-x,∵φ′(x)=2ex?2x-1,顯然φ′(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),則φ′(x)＞φ′(1)=又φ′(2)=3＞0,故存在x0∈(1,2),使φ′(x0)=0(即2ex0?2x0=1).∴φ(x)在x∈(1,x0)為減函數(shù),在x∈(x0,+∞)為增函數(shù).又φ(2)=0,也即當x∈(1,2)時,φ(x)＜0,F(x)為減函數(shù),當x∈(2,+∞)時,φ(x)＞0,F(x)為增函數(shù),∴F(x)≥F(2)=1-ln 2＞0.即原不等式成立.

(體疑2可確定符號的部分先提出,再集中精力地研究剩余部分)

∵F′(x)==令G(x)=2ex?2-,∵G′(x)=2ex?2+＞0,∴G(x)在x∈(1,+∞)為增函數(shù),又G(2)=0,下同“體疑1”.

(體疑3拓展延伸)延續(xù)“體疑2”的思想,結合“證法3”,可引導學生作以下體驗:注意到f(x)=∵x＞0,進而構造函數(shù)m(x)=,n(x)=lnx,可通過尋找公切線來實現(xiàn)放縮證明,下同“證法3”.

(體疑4深度探究)關注課堂質疑聲,把“證法1”深度挖掘,在教師的循循善誘下,讓“生6”作更深度體驗:直接設g(x)=同“證法1”知:g(x)min=g(2)=且h(x)max=h(e)=即:當a≥時,f(x)＞0.令≥得a≥由此,我們可進一步得到:當a≥時,f(x)=aex-xlnx＞0也成立[5].

多數(shù)高三數(shù)學課堂思維密度高,知識網(wǎng)絡繁雜,學生的“質疑”聲幾乎不聞不問,甚至拒“疑惑”于千里之外,嚴重地阻礙了學生的積極思維,挫傷了學生學習的熱情.筆者以為,教師應格外捕捉課堂的不同聲音,多傾聽學生問題探討中不同的思維反響.可讓“學生7”感受“質疑”,強化數(shù)學中的通性通法,回歸用導數(shù)證明不等式的本質.還給學生展現(xiàn)的舞臺:

(體疑5虛設零點,“暴力”求導)要證:x＞1時,2ex?2-xlnx＞0.令g(x)=2ex?2-xlnx(x＞1),∵g′(x)=2ex?2-(1+lnx),令h(x)=2ex?2-(1+lnx),∵h′(x)=2ex?2-顯然h′(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),故h′(x)＞h′(1)=＜0.又h′(2)=＞0,故存在x1∈(1,2),使h′(x1)=0(也即2ex1?2=),∴h(x)在(1,x1)上為減函數(shù),在(x1,+∞)上為增函數(shù),∴h(x)≥h(x1)=2ex1?2-(1+lnx1)=-1-lnx1∵x1∈(1,2),∴h(x1)＜0,又h(1)=-1＜0,h(2)=2(1-ln2)＞0,故存在x2∈(1,2),使h(x2)=g′(x2)=0(也即2ex2?2=lnx2+1),∴當x∈(1,x2)時,g′(x)＜0;當x∈(x2,+∞)時,g′(x)＞0,∴g(x≥g(x2)=2ex2?2-x2lnx2=lnx2+1-x2lnx2又令φ(x)=lnx+1-xlnx,則φ′(x)=-1＜0(∵1＜x＜2),∴0＜1-ln2=φ(2)＜φ(x)＜φ(1)=1,即:g(x)≥g(x2)＞0,故原不等式成立.

教師還可適度地引導學生歸納常見函數(shù):xlnx,的圖像和性質,為后續(xù)深入研究學習打下堅實的基石.學生體驗了“質疑—思考—求導—設零點—建函數(shù)—再求導—釋疑”的艱辛歷程.領會了“質疑”過程中數(shù)學思維的一次又一次的震撼.在不斷地探究領悟中“釋疑”,體驗到探究成功的自豪感和成就感,培養(yǎng)了學生的思維耐力,有效地落實了學生的數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

2 關注“質疑”思維過程,強化疏導策略,回歸數(shù)學本質

敢于“質疑”,提出不同的數(shù)學質疑問題.是師生進行數(shù)學交流的紐帶.數(shù)學交流大多是因為“疑問”而開始的,學生的質疑態(tài)度和能力,影響著數(shù)學教學效果.所以,鼓勵學生敢于質疑,敢于提出問題,提出合理、有意義的問題能促進數(shù)學交流的有效進行[3].因而教師要有意識地關注學生,還有哪些疑問沒有解決,領會學生“質疑”的思維全過程,并作適度引導、點拔,找尋思路的突破口,學生的思維就會產(chǎn)生頓悟,在頓悟中使學生思維水平達到最高點,感受數(shù)學邏輯思維的魅力.讓不同的“質疑”變得合理而有意義,學生探索、思考和“質疑”變得如此平常,順理成章.

2.1 捕捉“質疑”的緣由,剖析質疑背后的困惑,解決思維過程中的“后顧之憂”

教學片斷(二)

教師與學生一起歸納總結證明和判斷函數(shù)零點的方法.接著進行以下探討:

師:請接著看例2(2019高考數(shù)學全國卷1理科第20題)

已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導數(shù).證明:

(1)f′(x)在區(qū)間(-1,)存在唯一極大值點;(證明過程省略)

(2)f(x)有且僅有2個零點.

下面來仔細分析第(2)問的證明.

生8:在同一坐標系下畫出函數(shù)y1=sinx與y2=ln(x+1)的圖像,并結合f(0)=0,由圖知兩函數(shù)有兩個不同交點O(0,0)和M(x′,y′),(其中

師:這位同學思維很敏捷,值得點贊.但是這樣可用于證明嗎?

生8:我的圖像畫得沒有錯,應該可以吧?

師:作圖用于判斷零點尚可,用來證明顯然缺乏了數(shù)學思維的嚴密性.然而“想要證明清楚并不容易”,大家觀察本題(1)、(2)問之間有什么關系嗎?

生9:利用第()結論,可知x=0為f(x)在(-1,0]上

1的唯一零點;∵當x∈時,f′(x)在(0,α)單調遞增(α為(1)中的極大值點),在單調遞減,而f′(0)=0,故存在β∈使得f′(β)=0,且當x∈(0,β)時,f′(x)＞0;當x∈時,f′(x)＜0.故f(x)在(0,β)單調遞增,在單調遞減.又f(0)=0,＞0,∴當x∈時,f(x)＞0.從而f(x)在沒有零點.

生10:可以.由(1)的結論,當x∈時,利用零點存在定理和f(x)單調性可判斷出存在唯一一個零點;當x∈(π,+∞),可證得:f(x)＜0.綜上所述可證得結論.(詳細證明過程省略)

生11:“生9”的證明有點“繞”,有沒有其它的方法?

師:結合原函數(shù)與導函數(shù)的圖像關系,解題思路就清晰了.

教師充分地調動了學生學習的積極性,在大家的共同努力下,成功完成了證明.然而,教師對學生的“困惑”卻一筆帶過.筆者以為,課堂教學中教師不僅要精講,還要會傾聽.理清學生各種各樣的“質疑”緣由,并適當引導學生尋求釋疑的途徑,潤物細無聲地化解學生的“疑惑”.

(釋疑1順“疑”而為,數(shù)形結合、適度放縮思想)順延“學生8”的作圖,可分區(qū)間段證明:(1)當x∈(-1,0)時,可證sinx＞x＞ln(1+x)(證明過程略);(2)當x∈時,可令φ(x)=-ln(1+x),φ′(x)=可知φ′(x)＞0,則φ(x)＞φ(0)=0.故證得:＞ln(1+x)).再證:sinx＞(證明過程省略),于是當x∈時,sinx＞ln(1+x);即f(x)＞0,∴f(x)在x∈無零點;(3)當和(4)x∈[π,+∞)時,下同“生10”的證明.

由學生的初步感知、結合圖像直觀分析,啟發(fā)思路,適當放縮,便可嚴密地推理證明的結論.發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理等相關數(shù)學素養(yǎng).符合學生的常規(guī)思維,化“定性分析為定量分析”,是一種非常“接地氣”的好方法.親歷思維整合后的“釋疑”,如春風般地溫暖學生的心田.

其實,進一步質疑探討,又有新的發(fā)現(xiàn):從學生8作圖來深入分析,可發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)的兩個零點分別為x1=0和x2,且不難探究求出函數(shù)y=sinx與y=ln(x+1)在原點處的公切線為y=x,自然也容易回到“釋疑1”的證明思路.

2.2 號準“質疑”的脈博,順水推舟,讓學生“質疑”和“困惑”變得“云開霧散”

課堂時時處處皆思考,處處時時皆“質疑”.筆者以為,只要善于深入學生心里,多些情感關注,發(fā)現(xiàn)“學生”思考過程中的“質疑”的思維脈博,多聽聽學生不同的呼聲,順其思路,克服困難,挖掘學生數(shù)學學習的潛能.種種的“質疑”也會變得“豁然開朗”.

教學片斷(三)

師:請再看例3(2019全國數(shù)學高考江蘇卷第19題)

設函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈?,f′(x)為f(x)的導函數(shù).

(1)、(2)問省略.

(3)若a=0,0＜b≤1,c=1,且f(x)的極大值為M,求證:

簡析如下:(3)∵a=0,c=1,∴f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f′(x)=3x2-2(b+1)x+b.∵0＜b≤1,所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3＞0,則f′(x)有2個不同的零點,設為x1,x2(x1＜x2).由f′(x)=0,得x1=列表分析可知f(x)的極大值M為:M=f(x1)=如何求M的最大值?

生12:可以消元法構造函數(shù),再求導.不過怎么消?消哪個呢?消元后還是很復雜.

師:我們一起試試看:

(證法1)

生13:(周邊同學都一片嘩然):哇!這太困難啦!能湊成第①步就不錯了,哪敢把x1=代入化到②中?

師:我們是否還可以從未知量b范圍分析,類同“例1”作適當放縮.

(證法2)因為0＜b≤1,所以x1∈(0,1).當x∈(0,1)時,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2.令g(x)=x(x-1)2,x∈(0,1),則g′(x)=3當x=時,g(x)取得極大值,且是最大值,故g(x)max=∴當x∈(0,1)時,f(x)≤g(x)≤因此M≤

生14:“證法1”太精彩了,沒這份耐力;“證法2”簡直太難想到!可否消去b得到關于x1的函數(shù)?

教師要善于把準學生“質疑”的脈象點——對繁雜的運算沒有信心.因而要多加鼓勵,激發(fā)潛能,細化運算過程.教師必須要有“示范引領”的意識.關鍵處適當做好表率和引領,分化解題過程中的繁瑣運算、優(yōu)化思維路徑,減少推理的“恐懼”情緒.

(釋疑2證法3:降冪消元思想)以x1次數(shù)由高至低逐步降冪,最后消去x1.由-2(b+1)x1+b=0有:和(b+1)x1=故極大值

下同例3的“證法1”.

(釋疑3M=證法4:化繁為簡思想)類同“釋疑2”,先提取公因式x1后再代入消元,簡化處理.

下同“釋疑2”.

“消元思想”切不能盲目,更不可蠻干、魯莽或草率了事.像本例中這樣仔細分析,理清思路,貼近學生思維,符合學生最近發(fā)展區(qū).由高至低逐次消元,定會“云開霧散”、水落石出”.同時也培養(yǎng)學生鉆研問題習慣,增強了“思維耐力”,提振了思維信心,培養(yǎng)了數(shù)學運算相關核心素養(yǎng).

2.3 把握“質疑”方向,“對癥下藥”,讓“質疑”像冰雪遇火爐般地瞬間融化

張奠宙教授說過:“數(shù)學教學的有效性關鍵在于對數(shù)學本質的把握、提示和體驗.”學生課堂“質疑”是紛繁復雜的,結合學生現(xiàn)有的認知水平,探尋“質疑”源頭,對準“質疑”方向,逐步分析,循序漸進,領悟“質疑”問題的本真,回歸數(shù)學問題的本質.與“生14”深入交流,“疑惑”重重:前面解法思路蜿蜒曲折,無從下手.此時教師應鼓勵和引導學生,回歸解決多元不等式本質——消元后構造函數(shù)思想.

(釋疑4證法5:回歸數(shù)學本質思想)嘗試消去b,得到關于x1的函數(shù).由例3“證法1”中f′(x)=3x2-2(b+1)x+b=0有b=(顯然x1/=),故有:

又由0＜b≤1有:0＜≤1,并結合x1＜解得0＜x1≤,令φ(x)=(0＜x≤∵φ′(x)=,∵0＜x≤∴φ′(x)＞0,即φ(x)在x∈上為增函數(shù),故有

通過以上把握“質疑”方向,消去b得到關于x1的函數(shù),回歸消元思想本質,倍顯簡潔.消除恐懼心理,讓學生的思維誤區(qū)化為烏有,“質疑”和困惑瞬間瓦解.思路也逐漸清晰明朗,艱難的“數(shù)學堡壘”也可輕松被攻下.

3 課堂“質疑”背后的思考

3.1 以“質疑”為支點,拓展提升,撬動思維盲區(qū),錘煉思維品質

多給學生“質疑”體驗,找準“困惑”問題實質,在教師激勵引導下,讓思維的“火苗”熊熊燃燒,讓問題的研究更深入、更有韻味.問題的質疑和爭議讓數(shù)學研究更有價值,在“質疑”感悟中錘煉思維品質.把學生錯誤的、片面的、鉆牛角尖式的“錯誤想法”往正確的思路上“拉引”,培養(yǎng)善于的“質疑”思辯的良好習慣.逐步形成批判性思維,崇尚數(shù)學的理性精神.從“質疑”中總結解決問題本質,提煉數(shù)學方法,拓展思維的深度和廣度[2].培養(yǎng)數(shù)學地提出問題、質疑問題、分析問題和解決問題的能力.提升克服困難、挑戰(zhàn)自我的意志品質.形成適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展的必備品格和關鍵能力與思維品質.

3.2 讓“質疑”成為數(shù)學學習的常態(tài)

在不斷地質疑困惑中,讓學生勤于思考,敢于質疑,勇于提出不同見解.課內“質疑”向課后延伸,把課內的“質疑”變成課后的思考和總結.形成課堂內外“質疑”互通有無,從“質疑”中思考,從“質疑”中探討,形成自主學習、勇于探索和敢于“質疑”的良好數(shù)學學習習慣.讓嚴謹而有序的數(shù)學課堂插上“質疑”翅膀,讓學生自主思考、不斷質疑貫穿數(shù)學學習全過程.

在教學過程中,教師也要注重對“質疑”問題的研究,問題可以課前準備好(備課期間),也可以在教學情境中提出;而且教師要注意積累質疑中的問題,尤其是學生質問的比較尖銳的問題;疏導的方式不拘一格,可以通過“設疑”、“換位交流”、“問題串”等形式,促進學生思考,與教師、同學交流[3].同時,教師也要有“質疑”意識,質疑我們的課堂教學、教學方式教學手段和教學方法等.核心素養(yǎng)下的數(shù)學教師應做“四有新人”(有備、有法、有心、有研),做課堂教學的主導者和有心人.一要有準備.教學設計,復習選題和復習方向有充分準備,有解決各種思維質疑的“應急預案”;二要有方法.引導學生自主學習有辦法,復習資料精選上有章法,教學風格上要得法.提高復習效率,向時間要效益,教學過程中要有因人而異的方式方法;三要別有用心.注重研究學生學習心理,把握學生的最近發(fā)展區(qū),關注學生個性心理、學習疑惑和思維狀態(tài)等;四要有教研.認真研究教材教法,仔細研讀教學大綱、考試說明,深入分析近年高考命題趨勢和命題方向等.為成為研究型、學者型教師而不懈努力.

3.3 以“質疑”為契機,踐行數(shù)學核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》制定了學生發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)體系.而理性思維和科學精神是數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的靈魂[1].數(shù)學核心素養(yǎng)的提升依賴于經(jīng)驗的積累,最有價值的東西是學生自主“質疑”,思索探究得出的一個個“方法點”、“解題思想”,其中課堂“質疑”正是理性數(shù)學思維和科學的探索精神的表象之一.數(shù)學是思維的體操,缺少“質疑”的思考,思維就顯得古板、缺乏靈性.數(shù)學教學中應有意識地培養(yǎng)學生的數(shù)學“質疑”意識,就要善于借“疑”發(fā)揮,舉一反三,觸類旁通.因此,核心素養(yǎng)下的高三數(shù)學課堂要向復習要效率,更應給學生“質疑”展現(xiàn)的機會,正所謂“磨刀不誤砍柴功”,把主動權交給學生,給學生思考、探究和質疑的時間和空間.倡導新課改提出的師生共同參與、合作交流的學習氛圍,培養(yǎng)學生自主學習、主動參與的探究式學習方式.借助學生不斷“質疑”,積極反思,自主總結,提升能力,踐行數(shù)學核心素養(yǎng).