一道教材習(xí)題的探究與思考

江蘇省蘇州市吳中區(qū)碧波中學(xué)(215128) 王 春

教材是教師上課之本,學(xué)生認(rèn)知之本.習(xí)題是教材重要組成部分,它承擔(dān)著對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想、基本方法的鞏固與訓(xùn)練.因此教師要重視對(duì)教材習(xí)題的歸納、變式、拓展和引申,提升和挖掘其潛在功能.這樣可以切實(shí)減輕學(xué)生解題訓(xùn)練量,而達(dá)到事半功倍的效果.事實(shí)上,不少考題就是教材例題、習(xí)題的變式、拓展和引申,習(xí)題因探究而精彩.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題1(蘇科版七下第166頁(yè))如圖1,在五角星形ABCDE中,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和等于多少度?請(qǐng)加以證明.

解析1:若此題為選擇或填空題,則可轉(zhuǎn)化為正五角星形.問(wèn)題等價(jià)求∠A,在等腰ΔAPQ中,即求∠APQ,因∠APQ是正五邊形外角,利用多邊形外角和為360°,所以∠APQ=360°÷5=72°,因此∠A=36°,故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

解析2:由解析1結(jié)論特征,問(wèn)題1可轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問(wèn)題.利用∠APQ是ΔPBD的一個(gè)外角,所以∠APQ=∠B+∠D;同理∠AQP=∠C+∠E,利用三角形內(nèi)角和定理易得結(jié)論.此解析利用解析1結(jié)論特征,把五角星形五角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ΔAPQ內(nèi)角和問(wèn)題.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為:善于“退”,一直“退”到原始而不失重要性的地方,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要訣竅.特殊性寓于普遍性之中,通過(guò)具體分析,往往能獲得解題的重要信息,達(dá)到縮減思維過(guò)程,降低推算難度目的.因此在選擇或填空等客觀問(wèn)題中,注意特殊化思想的使用.

2 歸納結(jié)論

問(wèn)題2(蘇科版七下第154頁(yè)例2)如圖2,AC、BD相交于點(diǎn)O,求證:∠A+∠B=∠C+∠D.

在ΔAOB和ΔCOD中,∠AOC分別是ΔAOB與ΔCOD外角,由三角形內(nèi)角和定理推論,易得結(jié)論.此時(shí)稱這兩個(gè)ΔAOB與ΔCOD為對(duì)頂三角形.

對(duì)頂三角形性質(zhì)如圖2,在ΔAOB和ΔCOD中,若∠AOB和∠COD是對(duì)頂角,則∠A+∠B=∠C+∠D.

問(wèn)題3(蘇科版七下第166頁(yè))畫(huà)∠A,在∠A的兩邊上分別取點(diǎn)B、C,在∠A的內(nèi)部取一點(diǎn)P,連接PB、PC.探索∠BPC與∠A、∠ABP、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

問(wèn)題分三種情況:①若點(diǎn)P在ΔABC外部,由四邊形內(nèi)角和定理有∠BPC=360°-(∠A+∠ABP+∠ACP);②若點(diǎn)P在ΔABC邊BC上,由三角形內(nèi)角和定理,易得∠BPC=360°-(∠A+∠ABP+∠ACP)或∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP;③若P在ΔABC內(nèi)部,如圖3,連接AP并延長(zhǎng),由三角形內(nèi)角和定理推論有:∠3=∠1+∠ABP,∠4=∠2+∠ACP,故∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP.

凹四邊形性質(zhì)如圖3,在凹四邊形BACP中,則∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP.(凹四邊形凹角等于其它三角之和).

在數(shù)學(xué)中,我們常從較特殊問(wèn)題開(kāi)始,再認(rèn)識(shí)問(wèn)題一般性質(zhì).一般化能把研究問(wèn)題推廣到更大范圍的性質(zhì).許多幾何問(wèn)題中存在對(duì)頂三角形、凹四邊形,此時(shí)若能利用對(duì)頂三角形、凹四邊形性質(zhì),往往可使繁雜問(wèn)題得到更簡(jiǎn)明快捷的解決.

3 問(wèn)題再探究

解析3:如圖1,圖中存在凹四邊形ACMD,利用凹四邊形性質(zhì),則∠A+∠C+∠D=∠CMD,易得結(jié)論.

解析4:如圖1,連接CD,圖中存在對(duì)頂三角形:ΔBEM和ΔCDM,利用對(duì)頂三角形性質(zhì),則∠B+∠E=∠MCD+∠MDC,易得結(jié)論.

轉(zhuǎn)化與化歸思想是貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的核心思想方法之一,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),常常會(huì)遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難,通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程,選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題,通過(guò)新問(wèn)題的求解,從而達(dá)到解決原問(wèn)題的目的.著名數(shù)學(xué)家莫斯科大學(xué)教授C.A雅潔卡婭在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表題為“什么叫解題”的演講指出:“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過(guò)的題.”因此在教學(xué)中要把這種思想方法融入進(jìn)去,讓學(xué)生體會(huì)其中的精髓.

4 問(wèn)題引申

問(wèn)題4如圖4.1-4.3,對(duì)于任意的退化五角星形圖形,這一結(jié)論仍成立嗎?如果成立或者不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析5:圖4.1、4.2利用問(wèn)題1的解析2均可把五角星形圖的五角和均可轉(zhuǎn)化為ΔDMQ內(nèi)角和問(wèn)題,圖4.3可延長(zhǎng)CE交AD于Q,也可轉(zhuǎn)化為ΔDMQ內(nèi)角和問(wèn)題.

解析6:連接CD,如圖4.4-4.6,由對(duì)頂三角形性質(zhì),把∠B+∠E轉(zhuǎn)化到ΔACD內(nèi),利用三角形內(nèi)角和定理解決.

解析7:利用凹四邊形性質(zhì)有:∠A+∠C+∠D=∠MD,五角和轉(zhuǎn)化為ΔBEM內(nèi)角和問(wèn)題.

解析8:如圖4.4、4.5延長(zhǎng)DB至B1,連接B1E;圖4.6延長(zhǎng)DB、CE至圖形外,作B1E1//BE,交DB、CE延長(zhǎng)線分別于B1、E1,從而均可轉(zhuǎn)化為問(wèn)題1.

五角星形性質(zhì)在任意五角星形中,五角星形的五角之和為180°.

問(wèn)題5若對(duì)圖5.1星形截去一角,得圖5.2,再對(duì)圖5.2角進(jìn)一步截去,得圖5.3,則圖5.3的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=____度.(合肥校級(jí)自主招生)

如圖5.4,利用五角星形性質(zhì),其內(nèi)角和為180°,連接AD,可把所求角和轉(zhuǎn)化為三角形與五角星形內(nèi)角和,即180°×2=360°;以此類推,如圖5.5內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為一個(gè)五角星形與五個(gè)三角形內(nèi)角和,即180°×6=1080°.

5 思考

數(shù)學(xué)教材是試題的根本源泉,是各類考試命題的主要依據(jù),許多試題的產(chǎn)生都是在教材的基礎(chǔ)上組合,加工,發(fā)展的結(jié)果,每年的中考、競(jìng)賽試題總有不少試題來(lái)源于教材.因此平時(shí)教學(xué)工作中,我們要挖掘教材,不能認(rèn)為教材習(xí)題難度不夠或者沒(méi)有新意等原因,一味地在課外資料中選題.因此平時(shí)復(fù)習(xí)要將回歸教材落到實(shí)處,教材是教師備課、上課之本,也是學(xué)生學(xué)習(xí)之本,抓住了教材也就抓住了考試命題的方向.

數(shù)學(xué)教材是思想方法的集散地,本文中列舉教材中的問(wèn)題,主要運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想方法有:特殊與一般、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等.數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有何作用?眾所周知,人的行為源于思想意識(shí),思想混亂將引起行為混亂,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也一樣.有些學(xué)生為何解決不了一些并不復(fù)雜甚至簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢?筆者認(rèn)為:除少數(shù)學(xué)生不知相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)外,大多是不能站在思想的高度來(lái)思考和引領(lǐng)方法,或思想不明確而不知用何方法解決問(wèn)題.若作為數(shù)學(xué)教師能在教學(xué)時(shí),引領(lǐng)學(xué)生把這些問(wèn)題提煉歸類出一般性方法、結(jié)論,或者形成相對(duì)固定的解題方法,來(lái)應(yīng)對(duì)考題,則必將會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)更大的提升.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,筆者認(rèn)為一線教師不僅要關(guān)注教材中知識(shí)點(diǎn)和典型例題,同時(shí)不要忽視了教材中例題和習(xí)題作用.它們是教與學(xué)的延伸與發(fā)散,是教師教之根本,是學(xué)生學(xué)之源泉,教師不能一味的僅僅在教輔資料或者網(wǎng)上選題,而不注重教材甚至拋棄教材.這樣處理的效果或許在短期內(nèi)能提高學(xué)生成績(jī),但長(zhǎng)期如此對(duì)學(xué)生發(fā)展是極為不利.首先,學(xué)生長(zhǎng)期在題海中感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),只會(huì)削弱學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;其次,它會(huì)淡化學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)創(chuàng)造性和創(chuàng)新性能力的培養(yǎng)脫節(jié);同時(shí),教材例題與習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分,是專家精挑細(xì)選出來(lái)的,具有一定的典范性,通常情況下,它比作業(yè)本、教輔資料等其他習(xí)題更為典型、精致.因此,教師除了要注重教材上有關(guān)知識(shí)與定理的生成過(guò)程,同時(shí)還需要深入理解教材例題與習(xí)題的設(shè)計(jì)意圖,并對(duì)它們進(jìn)行自然、合理地挖掘開(kāi)發(fā),從而提升課堂教學(xué)的品質(zhì),這應(yīng)成為我們一線數(shù)學(xué)教師的不懈追求.