二次函數(shù)與幾何綜合的典型問(wèn)題探究

賴藩培

[摘? 要] 幾何面積問(wèn)題、直角三角形存在性問(wèn)題是二次函數(shù)與幾何的兩大典型問(wèn)題，問(wèn)題融合了二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和幾何特性. 問(wèn)題情景不同，可使用的方法、構(gòu)建思路也有所差異，文章以一道考題為例探究其解法，并總結(jié)兩大問(wèn)題的解題策略，開(kāi)展教學(xué)反思，提出兩點(diǎn)建議.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);幾何;面積;特殊三角形;思想方法

探究背景

二次函數(shù)與幾何的綜合探究題涉及二次函數(shù)、幾何圖形兩大知識(shí)模塊，所涉問(wèn)題類型較為多樣. 其中含有基礎(chǔ)性問(wèn)題，也涉及難度較大的綜合性問(wèn)題，如求解函數(shù)解析式、點(diǎn)坐標(biāo)、線段長(zhǎng)，剖析幾何面積、角度大小，探究特殊圖形、特殊關(guān)系存在性以及融合動(dòng)點(diǎn)、圖形運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題等. 采用數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建解題模型是突破二次函數(shù)與幾何綜合題的常規(guī)策略，解析過(guò)程需要把握問(wèn)題特點(diǎn)，針對(duì)不同問(wèn)題選用對(duì)應(yīng)方法來(lái)構(gòu)建思路. 本文將以三角形的面積問(wèn)題、特殊角度存在性問(wèn)題為例，進(jìn)行深入探究.

探究示例

例題：（2020年通遼市中考卷第26題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C. 且直線y=x-6過(guò)點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線BD于點(diǎn)N.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式;

（2）當(dāng)△MDB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題解析：

第（1）問(wèn)：求拋物線解析式

一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)D，已知一次函數(shù)解析式為y=x-6，可求得點(diǎn)B（6， 0），D（0，-6），點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)C（0，6）. 點(diǎn)B和C均位于拋物線上，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，有-36+6b+c=0，c=6，可解得b=5，c=6，所以拋物線解析式為y= -x2+5x+6.

第（2）問(wèn)：解析△MDB的面積

如圖2，△MDB中，點(diǎn)B和D是定點(diǎn)，點(diǎn)M是位于拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，使用鉛垂模型求解，即MN將△MDB分割為有公共底的兩個(gè)三角形：△MND和△MNB，則其面積S=S+S=MN·x-x. 設(shè)P（m，0），則M（m，-m2+5m+6），N（m，m-6），則MN=-m2+4m+12. 所以S=MN·x-x=-3m2+12m+36=-3（m-2）2+48. 分析可知，當(dāng)m=2時(shí)，△MDB的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）.

第（3）問(wèn)：探究直角三角形的存在性

探究以Q，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，沒(méi)有設(shè)定直角，有∠QMN=90°，∠MNQ=90°，∠MQN=90°三種情形，逐個(gè)分類討論.

由（2）問(wèn)可知點(diǎn)M和N的坐標(biāo)分別為（2，12），（2，-4）.

①當(dāng)∠QMN=90°時(shí)，QM∥x軸，則Q（0，12）;

②∠MNQ=90°時(shí)，NQ∥x軸，則Q（0，-4）;

③∠MQN=90°時(shí)，設(shè)Q（0，n），由勾股定理可得QM2+QN2=MN2，即4+（12-n）2+4+（n+4）2=（12+4）2，可解得n=4±，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4+）或（0，4-）.

綜上可知，存在以Q，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)有四個(gè)，分別為（0，12），（0，-4），（0，4+）或（0，4-）.

典型解讀

上述二次函數(shù)與幾何綜合題的后兩問(wèn)為核心之問(wèn)，第（2）問(wèn)為二次函數(shù)中的圖形面積問(wèn)題，第（3）問(wèn)為二次函數(shù)中的直角存在性問(wèn)題，兩問(wèn)均為典型問(wèn)題. 問(wèn)題解析需要合理構(gòu)建模型，往往針對(duì)不同的情形，建模過(guò)程也有一定的差異，下面具體解讀分析.

1. 關(guān)于二次函數(shù)中的圖形面積

拋物線中圖形位置情形可分為三種：圖3中三角形有一條邊位于坐標(biāo)軸上，圖4中三角形的三邊均不在坐標(biāo)軸上，圖5則為不規(guī)則圖形. 對(duì)于不同的情形，模型構(gòu)建策略有所不同.

求解拋物線中圖形的面積采用如下策略.

策略一：若三角形有一條邊位于坐標(biāo)軸上，建議取該邊為底;

策略二：若三角形的三邊均不在坐標(biāo)軸上，建議結(jié)合割補(bǔ)法，轉(zhuǎn)化為有一邊垂直坐標(biāo)軸的情形，構(gòu)建鉛垂模型;

策略三：若所涉圖形為不規(guī)則圖形，建議采用面積割補(bǔ)法，將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則三角形的面積組合.

拓展示例1：拋物線y=x2-2x-3與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C，分析在x軸的下方、y軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：采用面積割補(bǔ)法進(jìn)行求解，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，m2-2m-3），由條件可知點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. 連接OD，如圖6所示，則四邊形可由OD、OC分割為△AOC、△COD、△BOD，其面積S=S+S+S，其中S=AO·OC，S=OC·x，S=OB·y，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得S=×1×3+×3×m+×2×m2-2m-3=-m2+m+6，分析可知當(dāng)m=時(shí)，四邊形ABDC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，-.

評(píng)析：上述解析四邊形ABDC的最大面積，采用了面積割補(bǔ)法，將其分割為三個(gè)小三角形的組合. 而小三角形均至少有一邊位于坐標(biāo)軸上，故可采用上述策略一，取位于坐標(biāo)軸上的邊為三角形的底，從而構(gòu)建面積模型.

2. 二次函數(shù)中直角三角形存在性

二次函數(shù)中直角三角形存在性問(wèn)題往往結(jié)合了動(dòng)點(diǎn)，設(shè)問(wèn)常常分兩種情形：情形一是設(shè)定了固定直角頂點(diǎn)，二是沒(méi)有設(shè)定直角頂點(diǎn). 情形一模型固定，而情形二需要分類討論，以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，或以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn). 故具體解析可按照如下思路：第一步，討論直角存在情形;第二步，根據(jù)具體情形構(gòu)建模型;第三步，使用對(duì)應(yīng)策略求解分析. 而模型構(gòu)建可采用以下三種策略.

策略一：幾何角度分析

由幾何角度入手，對(duì)應(yīng)直角的頂角為90°，可直接利用該角度特性進(jìn)行推理，如構(gòu)建平行模型、“一線三等角”模型、“水晶盒子”模型等，利用模型特性轉(zhuǎn)化為求線段長(zhǎng)，進(jìn)而確定點(diǎn)坐標(biāo).

策略二：直線斜率分析

由函數(shù)角度入手，直角所關(guān)聯(lián)的兩條直角邊相互垂直，則所在直線的斜率之積為-1，如圖7所示，即若直線l1⊥l2，則k1·k2=-1.

策略三：勾股定理分析

由直角三角形特性分析，若對(duì)應(yīng)三角形為直角三角形，則必然滿足勾股定理，如圖8所示，在Rt△ABC中，有a2+b2=c2.

拓展示例2：拋物線y=x2-2x-3與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C，試在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使得△BCQ為以BC為直角邊的直角三角形，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解析：題干設(shè)定BC為直角邊，由拋物線解析式可得點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. 結(jié)合圖像（如圖9）分析可知，可分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，需分別討論.

①當(dāng)以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，有BC⊥BQ，故BC與BQ所在直線的斜率之積為-1，即kBC·kBQ=-1. 由點(diǎn)坐標(biāo)可得直線BC的解析式為y=x-3，則直線BQ的斜率為-1，設(shè)BQ的解析式為y=-x+b，直線BQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入其中，可得b=3，所以直線BQ的解析式為y=-x+3. 點(diǎn)Q是拋物線與直線BQ的交點(diǎn)，聯(lián)立兩者方程，有y=x2-2x-3，y=-x+3，可解得x=-2，y=5 或x=3，y=0 （舍去），則Q1（-2，5）;

②當(dāng)以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，有BC⊥CQ，則kBC·kCQ=-1，同理可求得直線CQ的解析式為y=-x-3，與拋物線方程聯(lián)立，有y=x2-2x-3，y=-x-3，可解得x=1，y=-4 或x=0，y=-3 （舍去），則Q2（1，-4）;

綜上可知，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，5）或（1，-4）.

評(píng)析：上述設(shè)定直角三角形的一條直角邊，結(jié)合圖像分析確定了具體的直角情形，然后進(jìn)行分類討論. 模型構(gòu)建時(shí)采用了上述的策略二，結(jié)合“相互垂直的兩條直線的斜率之積為-1”來(lái)逐步推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo)，整個(gè)過(guò)程直觀簡(jiǎn)潔.

總結(jié)反思

上述深入探討了二次函數(shù)與幾何的兩大綜合性問(wèn)題，無(wú)論是分析圖形的面積，還是探究圖像中的直角三角形，均需要立足二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，把握幾何圖形的基本特性，由性質(zhì)出發(fā)，緊抓點(diǎn)坐標(biāo)這一切入點(diǎn)進(jìn)行解題. 在考題探究教學(xué)中，筆者提出以下兩點(diǎn)建議.

建議一：策略總結(jié)中兼顧拓展思考

函數(shù)中的面積問(wèn)題和直角三角形問(wèn)題為典型問(wèn)題，對(duì)其開(kāi)展解題策略總結(jié)是十分必要的，但在實(shí)際教學(xué)中不能過(guò)分強(qiáng)調(diào)解題模板而限制學(xué)生的思維，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生挖掘問(wèn)題本質(zhì)，認(rèn)識(shí)方法本源，立足方法原理開(kāi)展拓展變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究創(chuàng)新性解法，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題挖掘一題多解、多題一解，以發(fā)展學(xué)生思維為教學(xué)重點(diǎn).

建議二：解法探究中注重思想滲透

上述問(wèn)題的解析過(guò)程不僅是知識(shí)點(diǎn)的綜合，同時(shí)也是思想方法的綜合，涉及數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、方程、模型構(gòu)建等思想，這些數(shù)學(xué)思想才是解題的精髓所在. 雖然對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)思想較為抽象，但解法探究中依然需要立足考題，滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想解題的過(guò)程，逐步感悟思想方法的內(nèi)涵，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).