袁健 李克民
[摘? 要] “尺規(guī)作圖”是初中幾何教學(xué)的重要內(nèi)容之一.很多一線教師僅僅把尺規(guī)作圖看作是技能訓(xùn)練,疏忽了畫圖原理的理解和畫法探究教學(xué)的過程價(jià)值,實(shí)際上尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含著重要的邏輯推理能力和思維創(chuàng)新能力. 以“概念圖”為抓手引導(dǎo)學(xué)生從模型圖再到尺規(guī)作圖的教學(xué)過程,啟發(fā)學(xué)生理解作圖的過程與合理性,是非常有益的教學(xué)嘗試.
[關(guān)鍵詞] 概念圖:解題教學(xué):尺規(guī)作圖
問題提出
蘇科版教材八年級上冊第1章第3節(jié)第7課時(shí)的基本的尺規(guī)作圖:
例題:從木工師傅的畫法中,你能找到直尺和圓規(guī)作角平分線的方法嗎?
作法:①以點(diǎn)O為圓心,任意長為半徑作弧,分別交射線OA,OB于點(diǎn)C,D.
②分別以點(diǎn)C,D為圓心,大于CD的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)M.
③作射線OM.OM就是∠AOB的平分線.
教材分析
1. 教學(xué)目標(biāo)分析
本課課標(biāo)要求是“尺規(guī)作圖”中會作一個(gè)角的平分線,會過一點(diǎn)作已知直線的垂線,了解作圖的道理,保留作圖的痕跡,不要求寫出作法. 常見的教學(xué)方法是出示作法并證明它的正確性,容易忽視作圖道理的呈現(xiàn),這樣的教學(xué)過程難免有強(qiáng)塞的嫌疑,這樣的教學(xué)也不利于學(xué)生接受.由于八年級的學(xué)生還處于形象思維向抽象思維過渡時(shí)期,對抽象的表述不易接受,因此在教學(xué)過程中教師創(chuàng)造“模型圖”,并引導(dǎo)學(xué)生理解作圖的道理很有必要.
2. 設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)分析
為了更直觀地、完整地呈現(xiàn)尺規(guī)作圖的教學(xué)流程,筆者使用了“概念圖”,圍繞“節(jié)點(diǎn)”,“鏈接”不同“節(jié)點(diǎn)”,并附“有關(guān)文字標(biāo)注”來說明不同節(jié)點(diǎn)的概念關(guān)系,讓所探究的“節(jié)點(diǎn)”清晰、學(xué)習(xí)任務(wù)明確、思維關(guān)系直觀,引導(dǎo)學(xué)生理解模型圖,規(guī)范作圖,提升抽象思維能力和作圖能力.
“尺規(guī)作圖”的功能與價(jià)值
尺規(guī)作圖能培養(yǎng)學(xué)生動腦、動手的探索能力,能培養(yǎng)學(xué)生有條理的語言表達(dá)能力,協(xié)調(diào)發(fā)展學(xué)生合情推理和演繹推理的能力.在本課中設(shè)計(jì)三個(gè)作圖階段,體會尺規(guī)作圖的價(jià)值.
1. 關(guān)注課標(biāo)要求——低起點(diǎn)
在探究一個(gè)角的平分線的作法之前,先設(shè)置一個(gè)例題:如圖2,在△OMC和△OMD中,CO=DO,CM=DM,求證:∠COM=∠DOM.
例題所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律有助于我們探究出正確的作圖過程,在探索問題本質(zhì)的過程中,使學(xué)生認(rèn)知發(fā)生質(zhì)的飛躍.因此,接著通過“過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線”的研究分析,相當(dāng)于作一個(gè)平角的平分線,把問題從一般引入到特殊,強(qiáng)化對新知鞏固的同時(shí),啟發(fā)學(xué)生對知識的轉(zhuǎn)化、頓悟、強(qiáng)化.
在研究尺規(guī)作圖的過程中,筆者設(shè)計(jì)了概念圖(如圖3),充分鋪墊,構(gòu)造幾何模型,精心預(yù)設(shè)例題,讓學(xué)生更容易理解例題教學(xué),并能簡單應(yīng)用,夯實(shí)“雙基”,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
2. 基于學(xué)情——緩抬高
德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒曾指出:“我珍視類比勝于任何別的東西,它是我最可依賴的老師,它能揭示自然界的秘密,在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的.”
為了實(shí)現(xiàn)“過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”的幾何作圖,筆者類比第一階段的作圖過程先引導(dǎo)學(xué)生完成一道預(yù)設(shè)的幾何證明例題,再探究尺規(guī)作圖的過程,實(shí)現(xiàn)對該例題的思辨遷移功能,有意識培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考與表達(dá)的能力,進(jìn)一步感受思維的深刻性,提升邏輯思維能力,滲透類比、轉(zhuǎn)化的基本思想.如圖4是概念圖的分析思維過程.
3. 構(gòu)造模型——翹尾巴
為了檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,筆者設(shè)置了一個(gè)尺規(guī)作圖問題:用尺規(guī)作一條線段的垂直平分線. 通過圖5的概念圖分析,引導(dǎo)學(xué)生利用類比、轉(zhuǎn)化思想獨(dú)立思考,啟發(fā)學(xué)生如何命制幾何證明題,并完成證明及作圖過程.
在這一階段的尺規(guī)作圖教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生將獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合,將動手操作、幾何直觀、有條理的說理相結(jié)合,關(guān)注學(xué)生如何想、怎樣做,訓(xùn)練逆向思維、發(fā)散思維,感受模型思想、推理思想.
歐拉曾說過:“數(shù)學(xué)這門科學(xué),需要觀察,也需要實(shí)驗(yàn).”學(xué)生在幾何作圖中不僅積累了基本活動經(jīng)驗(yàn),而且還通過觀察、操作、猜想、實(shí)驗(yàn),培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.
教學(xué)過程(含教學(xué)片段)
環(huán)節(jié)1:復(fù)習(xí)鞏固? 構(gòu)建聯(lián)系
問題1:我們學(xué)習(xí)了哪些證明兩角相等的方法?
分析:證明兩角相等的方法主要有:對頂角相等,同角 (或等角 )的余角相等,同角 (或等角 )的補(bǔ)角相等,全等三角形的對應(yīng)角相等,平行線中的同位角和內(nèi)錯(cuò)角都分別相等,角平分線分得的兩個(gè)角相等. 結(jié)合尺規(guī)的特點(diǎn),要在角的內(nèi)部找一點(diǎn),筆者引導(dǎo)學(xué)生用“全等三角形的對應(yīng)角相等”來證明.
問題2:如圖6,在△OMC和△OMD中,CO=DO,CM=DM,求證:∠COM=∠DOM.
分析:前面幾節(jié)新課,已經(jīng)學(xué)習(xí)了證明三角形全等的方法,如SAS,ASA,AAS,SSS,HL. 通過概念圖的三角形全等的判定這個(gè)節(jié)點(diǎn)入手,分析本題的已知條件,不難發(fā)現(xiàn)除了已知以外,還有一個(gè)公共邊的隱含條件. 證明三角形全等后,便可證明要求證的角相等,為尺規(guī)作圖的依據(jù)做鋪墊.葉圣陶先生曾說過:“教材只能作為教課的依據(jù),要教得好,使學(xué)生受益,還得靠教師善于運(yùn)用. ”這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生小步子、緩臺階、易接受,符合學(xué)生的學(xué)情.
環(huán)節(jié)2:生活情境? 分析轉(zhuǎn)化
問題3:木工師傅常常利用角尺平分一個(gè)角,如圖7,在∠AOB的兩邊OA,OB上分別取OC=OD,移動角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)C,D重合,這時(shí)過角尺頂點(diǎn)M的射線OM就是∠AOB的平分線.請你說明這樣畫角平分線的道理.
分析:這是一個(gè)生活情境,滲透工人師傅使用角尺作一個(gè)角平分線的方法所蘊(yùn)含的道理,引導(dǎo)學(xué)生主動探究角被平分的原因,理解問題、分析問題,學(xué)生不難想到將已知條件轉(zhuǎn)化為環(huán)節(jié)1中證明兩個(gè)三角形全等的條件“三邊分別相等”,進(jìn)而把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,順利證明角被平分.
環(huán)節(jié)3:模型替換?搖 尺規(guī)作圖
問題4:從木工師傅的畫法中,你能找到直尺和圓規(guī)作角平分線的方法嗎?怎樣使用尺規(guī)作圖呢?(結(jié)合概念圖引導(dǎo)學(xué)生從理解到表達(dá))
【教學(xué)片段1】
關(guān)鍵點(diǎn)1:結(jié)合圖7,確定模型,在OA,OB上分別截取點(diǎn)C,D.
生1:我們可以將木工師傅在OA,OB上分別取的OC=OD用圓規(guī)截出.
教師:怎樣得出這一步的作法?
生2:以點(diǎn)O為圓心,任意長為半徑作弧,分別交射線OA,OB于點(diǎn)C,D
教師:怎么理解任意長為半徑?
生3:長度不唯一,但是也得受圓規(guī)張開度的限制,所以實(shí)際上也是限制了長度的.
教師:很棒!考慮得符合實(shí)際. 接下來,我們該怎么用尺規(guī)作圖呢?
關(guān)鍵點(diǎn)2:結(jié)合圖7,在∠AOB的內(nèi)部確定點(diǎn)M.
生4:依照木工師傅的模型圖,我們確定點(diǎn)M的位置分別以點(diǎn)C,D為圓心,任意長為半徑作弧,兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)M.
生5:(有幾個(gè)同學(xué)看起來很著急,躍躍欲試的樣子,此時(shí)筆者假裝鎮(zhèn)定叫一名學(xué)生回答)老師,不能以任意長為半徑作弧,如果以小于CD的長為半徑作兩弧是沒有交點(diǎn)的,應(yīng)該以大于CD的長為半徑作弧.
教師:半徑能剛好等于CD嗎?
生6:應(yīng)該可以,這時(shí)兩條弧相切,只有一個(gè)交點(diǎn),但是由于實(shí)際作圖的鉛筆畫線有粗有細(xì),兩弧切點(diǎn)的位置很難確定,選擇以大于CD的長為半徑作弧更容易交于角內(nèi)一點(diǎn)作射線OM,OM就是∠AOB的平分線.
環(huán)節(jié)4:鞏固應(yīng)用? 承上啟下
思考:點(diǎn)P在直線AB上,如何用直尺和圓規(guī)經(jīng)過點(diǎn)P作AB的垂線?
分析:結(jié)合概念圖,本小題用直尺和圓規(guī)所作的垂線,可以轉(zhuǎn)化為作一個(gè)平角APB的平分線所在的直線,將歸納角平分線的尺規(guī)作法特殊化,進(jìn)而解決了“過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線”的作法,這樣不僅應(yīng)用了角平分線的作法,而且引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化,起到了承上啟下的作用.
環(huán)節(jié)5:自主探究? 小組討論
如圖8,PC=PD,QC=QD,PQ,CD相交于點(diǎn)E,你能證明PQ⊥CD嗎?
分析:用概念圖引導(dǎo),本題要進(jìn)行兩次全等證明. 具體是本題從結(jié)論入手,要證PQ⊥CD,可以轉(zhuǎn)化為證∠PED=90°,即∠PED=∠PEC;要證這兩個(gè)角相等,只需證△PCE≌△PDE. 從已知條件PC=PD和隱含條件PE=PE上看,缺少“兩個(gè)夾角相等(∠CPQ=∠DPQ)”的條件,而這兩個(gè)夾角又在△PCQ和△PDQ中,需要用“SSS”的方法證明△PCQ≌△PDQ,進(jìn)而證得∠CPQ=∠DPQ.
環(huán)節(jié)6:模型再套 ?搖尺規(guī)作圖
解決問題:用直尺和圓規(guī)經(jīng)過直線AB外一點(diǎn)P作AB的垂線.
【教學(xué)片段2】
關(guān)鍵點(diǎn)3:在直線AB上確定C,D兩點(diǎn).
教師:結(jié)合圖8,理解模型,如何用尺規(guī)確定C,D兩點(diǎn)?
生7:可“復(fù)制”圖8中的PC=PD,如圖9,以點(diǎn)P為圓心,大于P到CD的距離為半徑作弧,使它與AB交于點(diǎn)C,D.
教師:為什么要以大于P到CD的距離為半徑作弧?
生8:否則以點(diǎn)P為圓心畫弧無法與直線AB相交于兩點(diǎn).
關(guān)鍵點(diǎn)4:確定點(diǎn)Q.
教師:要過點(diǎn)P作出AB的垂線,只要再確定一個(gè)點(diǎn)Q就可以了,因?yàn)椤皟牲c(diǎn)確定一條直線”,結(jié)合圖8,那么該怎樣確定點(diǎn)Q呢?
生9:由CQ=DQ可知,分別以C,D為圓心,大于CD的長為半徑在AB的同側(cè)作弧,兩弧將于點(diǎn)Q.
生10:連接PQ,直線PQ就是經(jīng)過直線AB外一點(diǎn)P的AB的垂線.
教師用括號概念圖板書小結(jié):
作一角的平分線作法依據(jù)模型圖
作一直線的垂線作法依據(jù)模型圖?搖?搖
環(huán)節(jié)7:回顧反思?搖 總結(jié)方法
從遺忘的角度來看,學(xué)生忘記作圖步驟、忘記知識點(diǎn)很正常,但從記憶的角度來說,如果一個(gè)知識點(diǎn)能從理解接納的層面被學(xué)生吸收,成為學(xué)生內(nèi)化的技能,則不易出錯(cuò)也不易遺忘[1]. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:在尺規(guī)作圖中,了解作圖的道理,保留作圖痕跡[2]. 于是,在每次作圖前,筆者引導(dǎo)學(xué)生先理解作圖的依據(jù),正所謂“知其然,知其所以然”,接著再歸納尺規(guī)作圖的方法.
環(huán)節(jié)8:拓展延伸?搖 鏈接課外
尺規(guī)作圖:如何作一條線段的垂直平分線?依據(jù)是什么?
說明:引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)獲得的知識經(jīng)驗(yàn)正遷移,嘗試進(jìn)行獨(dú)立探究,提升解題能力.
查閱資料:了解幾何的尺規(guī)作圖三大難題,分別是化圓為方、三等分任意角以及倍立方問題.
教學(xué)啟示
1. 設(shè)計(jì)模型圖,低起點(diǎn),緩爬坡,“概念圖”引領(lǐng)解題過程
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)[2]. 本節(jié)的尺規(guī)作圖教學(xué),筆者引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)判定三角形全等的基礎(chǔ)上構(gòu)建模型圖,再探究尺規(guī)作圖,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,把即將生成的知識點(diǎn)靠近了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維能力和作圖能力.
使用概念圖串聯(lián)作圖的生成過程,可以幫助教師從整體上把握本節(jié)課的知識要點(diǎn)、脈絡(luò)與框架,對教材進(jìn)行深度分析培養(yǎng)了學(xué)生“從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題并提出問題,分析問題并解決問題”,概念圖引領(lǐng)了知識的生長過程,提升了解題能力.
2. 慢慢滲透作圖過程,理解作圖依據(jù),感受尺規(guī)作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性
《朱子語類》卷九《論知行》篇中提出:知其然,知其所以然. 引申的意思是既知道事物的表面現(xiàn)象,也知道事物的本質(zhì)及其產(chǎn)生的原因.本課的尺規(guī)作圖教學(xué),筆者采用了逆向思維先引導(dǎo)學(xué)生思考證明兩角相等的方法,再建構(gòu)模型引導(dǎo)學(xué)生理解尺規(guī)作圖的證明依據(jù),學(xué)生更深刻地理解了為什么這么做,體會了“具象—抽象”的辯證過程,感受解題的快樂.
奧蘇伯爾的“有意義學(xué)習(xí)理論”,即學(xué)習(xí)者必須積極主動地使新舊知識不斷分化重新組織,才能轉(zhuǎn)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu),這個(gè)有意義學(xué)習(xí)是一個(gè)主動的過程. 概念圖引導(dǎo)學(xué)生借助模型圖進(jìn)行尺規(guī)作圖,積累了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),促進(jìn)學(xué)生學(xué)會自主學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).
參考文獻(xiàn):
[1]張逸. 做有素養(yǎng)的教師? 培養(yǎng)有素養(yǎng)的學(xué)生——以“作一個(gè)角等于已知角”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2019(08).
[2]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社, 2011.