聚焦解題反思，提升概念理解

張贊

[摘? 要] 文章從課本中一個(gè)不顯眼的習(xí)題出發(fā)，談?wù)剶?shù)學(xué)概念教學(xué)過程要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，適時(shí)捕捉、開發(fā)教材中的教學(xué)資源;引導(dǎo)學(xué)生反思，歸納知識、方法之間的內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

[關(guān)鍵詞] 教材;概念教學(xué);數(shù)學(xué)認(rèn)知

課本習(xí)題，呈現(xiàn)認(rèn)知

在數(shù)學(xué)蘇科版《八年級上冊》第3章第2課時(shí)“勾股定理的逆定理”的教學(xué)過程中，有一道課后習(xí)題：

原題：△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a=n2-1，b=2n，？搖c=n2+1，△ABC是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論.

剛剛進(jìn)行完勾股定理的逆定理：“△ABC的三邊長分別為a，b，c，若a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形”的教學(xué)，這道習(xí)題很適合放在課堂上作為例題，許多同學(xué)的解答如下：

解： △ABC是直角三角形，因?yàn)閍2+b2=（n2-1）2+（2n）2=（n2）2-2n2·1+12+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，

而c2=（n2+1）2=（n2）2+2n2·1+12=n4+2n2+1，

所以a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形.

整個(gè)解答過程毫無問題，本題正好使用勾股定理的逆定理來判斷三角形的形狀，而且對代數(shù)式的計(jì)算也有比較高的要求. 但仔細(xì)觀察題設(shè)，發(fā)現(xiàn)a，b，c三邊和最后證明的結(jié)果，與勾股定理的逆定理中的三邊a，b，c完全對應(yīng). 對于剛剛接觸勾股定理的逆定理的學(xué)生來說，當(dāng)前的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平完全處于低層次的“記憶型”水平，對逆定理中的等式基本處于模仿狀態(tài). 而課本這道習(xí)題的本意也就是讓學(xué)生初步理解勾股定理逆定理的應(yīng)用. 學(xué)生只要有比較扎實(shí)的化簡功底，這道題基本都能證明，但對勾股定理逆定理的理解，頭腦中往往只有 “若a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形”這個(gè)初步的印象.

以生為本，促進(jìn)認(rèn)知

筆者在課堂教學(xué)中，將習(xí)題改編如下：

改編題：△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a=n2+1，b=n2-1，c=2n，△ABC是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論.

改編的題目中僅僅對a，b，c三邊對應(yīng)的代數(shù)式進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果在解答過程中大面積地出現(xiàn)了這樣的錯(cuò)誤解答：

因?yàn)閍2+b2=（n2+1）2+（n2-1）2=（n2）2+2n2·1+12+（n2）2-2n2·1+12？搖=n4+2n2+1+n4-2n2+1=2n4+2，而c2=（2n）2=4n2，所以a2+b2≠c2，所以△ABC不是直角三角形.

由此可見，許多學(xué)生對勾股定理逆定理的認(rèn)知水平還處在最初的“記憶型”層面，頭腦中只有 “若a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形”，于是就按照定理本身的字母順序進(jìn)行驗(yàn)證，從而得到了“△ABC不是直角三角形”這樣一個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論.

在眾多的解答中，筆者也發(fā)現(xiàn)了一些正確的解答——

解：因?yàn)閍2+b2=（n2+1）2+（n2-1）2=（n2）2+2n2·1+12+（n2）2-2n2·1+12=n4+2n2+1+n4-2n2+1=2n4+2，

而c2=（2n）2=4n2，

所以a2+b2≠c2.

因?yàn)閍2+c2=（n2+1）2+（2n）2=n4+2n2+1+4n2？搖=n4+6n2+1，

而b2=（n2-1）2=n4-2n2+1，所以a2+c2≠b2.

又因?yàn)閎2+c2=（n2-1）2+（2n）2=（n2）2-2n2·1+12+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，

而a2=（n2+1）2=（n2）2+2n2·1+12=n4+2n2+1，

所以b2+c2=a2. 所以△ABC是直角三角形.

通過實(shí)物投影儀的展示，筆者讓全班學(xué)生看這位同學(xué)的解答，很多學(xué)生明白了他的意圖. 他的認(rèn)知水平已經(jīng)上升了一個(gè)臺階，處于高層次的“有聯(lián)系的程序型”，但看解答的整個(gè)過程，學(xué)生的整體思路是用每兩邊去驗(yàn)證是否符合勾股定理逆定理，從而判斷它是否為直角三角形. 從這個(gè)解題過程中，明顯可以感受到不同的學(xué)生發(fā)展出的認(rèn)知水平是不一樣的，有的還處在定理模型的模仿階段，但少數(shù)已經(jīng)能夠感受到定理本身內(nèi)在的含義了. 他能理解定理中的a2+b2=c2只是定理中對于三角形三邊的描述，所以才用了很具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的思想去分類討論三條邊的等量關(guān)系，這點(diǎn)難能可貴！于是筆者再次將習(xí)題進(jìn)行改編：

如果老師把三邊對應(yīng)的代數(shù)式再調(diào)整一下呢？是不是一定要三個(gè)關(guān)系式都去驗(yàn)證一下呢？仔細(xì)去分析這個(gè)解法，還可以通過作差法來簡化解答過程，也就是勾股定理逆定理中a2+b2=c2中的邊c應(yīng)該是三角形三邊中最長的邊，經(jīng)過解釋，這個(gè)結(jié)論大部分學(xué)生都能夠接受. 因此在解題過程中，我們只要先找出最長的邊，再驗(yàn)證另外兩條邊的平方和是否等于最長邊的平方，就可以判斷是否為直角三角形了. 最簡解答如下：

解：因?yàn)閍=n2+1，b=n2-1，

所以a>b.

又因?yàn)閍-c=n2+1-2n=（n-1）2≥0，

若n=1，則b=0無意義，所以n≠1.

所以a-c>0. 所以a>c. 所以a為最長邊.

又因?yàn)閎2+c2=（n2-1）2+（2n）2=（n2）2-2n2·1+12+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，

而a2=（n2+1）2=（n2）2+2n2·1+12=n4+2n2+1，

所以b2+c2=a2. 所以△ABC是直角三角形.

這樣就大大簡化了驗(yàn)證的過程. 改編題對學(xué)生的要求更高，不僅對勾股定理逆定理的理解有更高的要求，而且對作差法比較代數(shù)式的大小也要求熟練應(yīng)用. 通過改編題的解答和討論，學(xué)生對勾股定理逆定理有了更加深入的理解，使自己的認(rèn)知水平上了一個(gè)臺階.

回歸教材，優(yōu)化認(rèn)知

分析完了改編題，筆者又引導(dǎo)學(xué)生回到課本中的勾股定理逆定理. “大家現(xiàn)在能不能想想辦法，把逆定理的內(nèi)涵描述得更容易理解呢？”學(xué)生進(jìn)行分組討論，都在商量怎樣用語言重新描述勾股定理逆定理，最后得出如下的逆定理的文字描述： “在三角形中，如果兩個(gè)較短邊長的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形. ”通過改編題的解答，有了較高認(rèn)知水平的學(xué)生都意識到，要使用逆定理，盡量不用a2+b2=c2這樣簡單的字母關(guān)系，避免不必要的錯(cuò)誤發(fā)生，而是充分運(yùn)用三邊的大小關(guān)系來驗(yàn)證三角形. 這點(diǎn)難能可貴，本節(jié)課的目標(biāo)達(dá)成. 讓學(xué)生回歸教材，對定義定理再次深化，達(dá)到了優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知的效果.

通過這個(gè)課堂實(shí)例，筆者認(rèn)為在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程中，一定要關(guān)注教師為了完成數(shù)學(xué)任務(wù)所要求的“認(rèn)知要求”與學(xué)生完成數(shù)學(xué)任務(wù)所達(dá)到的“認(rèn)知水平”之間的差異，盡量多挖掘教材中的例題和習(xí)題，通過對解題過程的反思，再對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帲寣W(xué)生去犯錯(cuò)、糾正. 通過不斷犯錯(cuò)和糾正的過程，讓學(xué)生在犯錯(cuò)中重新理解概念、定義、定理的本質(zhì)，從而優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，以生為本，為今后的數(shù)學(xué)概念教學(xué)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).