求聯(lián)求變：讓經(jīng)典問題從“快思”到“慢想”

☉廣東深圳藝術(shù)學(xué)校 郭文欣

一、寫在前面

近讀鄭毓信教授關(guān)于“數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長”的系列文獻，其中文［1］中鄭教授提到數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)中“快思”與“慢想”的分析，列表對比如下：

表1

并進一步告誡我們要注意防止簡單化的認識：將“快思”和“慢想”簡單地等同于“錯”和“對”，乃至完全否定了“快思”的作用.

本文主要結(jié)合新近一些教學(xué)案例，談?wù)劰P者對一些經(jīng)典問題的理解與教學(xué)處理，如何從“快思”走向“慢想”.

二、經(jīng)典問題教學(xué)案例

經(jīng)典問題1：（圍長方形問題）現(xiàn)制作一個長形的鋁合金窗戶，使窗戶四周圍成面積為4m2.請設(shè)計出一種方案，使鋁合金用料最少，并說明這樣設(shè)計的理由.

解讀：小學(xué)生也知道圍成一個邊長為2m的正方形窗戶用料最少.但是要說清理由并不容易.比如，初二階段

圖1

以上一些不同角度的理解，都是為了幫助學(xué)生對這類問經(jīng)典問題加強理解.當(dāng)然，學(xué)生到了高中階段，還可以推導(dǎo)出均值不等式，直接求解.筆者的教學(xué)經(jīng)驗說明，對于優(yōu)秀學(xué)生，在初三階段就可以把均值不等式進行補充講解，他們已能夠靈活地進行推理和運用.

經(jīng)典問題2：（正方形經(jīng)典問題）如圖2，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF于F.求證：AE＝EF.

圖2

圖3

圖4

圖5

這個經(jīng)典問題各種版本教材上都有，也常常出現(xiàn)在不同的試卷中，所以初次遇到這道試題時，值得花大時間（有時1個課時都不夠）進行講評訓(xùn)練.這里先簡要提出3種思路：

思路1：在AB上截取BG=BE，構(gòu)造等腰直角三角形BGE，再證△AEG≌△ECF即可.

思路2：在AB的延長線上截取BN=BE，構(gòu)造等腰直角三角形BNE，再證△ABE≌△CBN，進一步證出平行四邊形CFEN.

思路3：連接AC，作EG∥AB，交AC于G點，可證△AGE≌△FCE，獲證.

以上3種思路可以安排學(xué)生先獨立思考，教師進行指導(dǎo)，如果是九年級再講評上述解法，還需要引導(dǎo)學(xué)生基于A、E、C、F四點圓的“高觀點”來理解.

然而，為了發(fā)揮這個經(jīng)典問題更多的教學(xué)價值和解題價值，不能止于原命題的求證，還可進行如下的系列變式與拓展思考，比如，我們還可將其改編如下：

改編問題：（原創(chuàng)）如圖2，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，∠AEF＝α，EF交正方形外角的平分線CF于F.

（1）當(dāng)點E在邊BC上，且α=90°時，求證：AE＝EF.（用兩種方法）

（2）若點E在邊BC的延長線上，α=90°，求證：AE＝EF.

（3）若AE=EF，求α的度數(shù).

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（2）問學(xué)生的主要困難在于構(gòu)圖，有學(xué)生畫出符合要求的圖形后可展示出來（如圖6），讓其他學(xué)生學(xué)習(xí)體會；第（3）問是對該題的“逆向思考”，可考慮連接AC，過點E作AC、CF的垂線段EG、EH，構(gòu)造直角三角形全等（Rt△AGE≌Rt△FHE）處理.

圖7

圖6

考題鏈接1：（2017年北京房山區(qū)中考一模卷）在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，點D為直線BC上一個動點（不與B、C重合），連接AD，將線段AD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點A旋轉(zhuǎn)到點E，連接EC.

（1）如圖8，如果點D在線段BC上運動，求證∠DCE=135°；

（2）如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖9畫圖分析∠DCE的度數(shù).

解讀：這道考題是將上面的正方形經(jīng)典問題“砍去一半”，本質(zhì)上結(jié)構(gòu)類似，作為引導(dǎo)學(xué)生對經(jīng)典問題“求聯(lián)求變”的教學(xué)追求，鏈接在一起，作為同類跟進，可以有效訓(xùn)練學(xué)生做一題、會一類.

圖8

圖9

考題鏈接2：（2017年1月北京通州九上期末卷）在等邊△ABC中，E為BC邊上一點，G為BC的延長線上一點，過點E作∠AEM=60°，交∠ACG的平分線于點M.求證AE=EM.

解讀：從正方形到等腰直角三角形，再到這題的等邊三角形，結(jié)構(gòu)一樣，訓(xùn)練眼力，“最初的3種思路”在添加輔助線時仍然具有啟示作用.

圖10

三、從“快思”到“慢想”的實施建議

為了防范初遇經(jīng)典問題就輕輕滑過，應(yīng)盡可能地“想方設(shè)法”“慢”下來，讓學(xué)生深入思考，我們提出如下一些從“快思”到“慢想”的實施建議.

1.經(jīng)典問題教學(xué)時“求聯(lián)、求變”.

鄭毓信教授曾提過“突出聯(lián)系的觀點”應(yīng)該看成數(shù)學(xué)教師的一項基本功.這也就是指基于深刻理解教學(xué)內(nèi)容的角度，把經(jīng)典問題與可能的變式問題聯(lián)系起來，具體的實施方法就是重視改編與變式，這就需要教師想清問題的本質(zhì)或深層結(jié)構(gòu)，借助自身必備的一些命題基本功，將問題即時變式，既訓(xùn)練了經(jīng)典問題的解法，又讓學(xué)生加深理解，通過延長思考時間“慢思”問題，深刻理解問題，洞察問題深層結(jié)構(gòu).

2.經(jīng)典問題教學(xué)時要重視從特殊走向一般.

美國數(shù)學(xué)教育家斯法德倡導(dǎo)“求取解答并繼續(xù)前進”，這對于經(jīng)典問題教學(xué)顯得尤為重要，特別是將經(jīng)典問題“一般化”，即引導(dǎo)學(xué)生從特殊走向一般就是非常重要的一種教學(xué)實施意見.就上文中的“經(jīng)典問題1”來說，不僅通過配方法、圖像法等手段實現(xiàn)圍長方形的最值問題解決，而且可以順勢引導(dǎo)學(xué)生眺望高中均值不等式，成為處理一類“倒數(shù)和”問題的重要模型.在“經(jīng)典問題2”中，從正方形一邊中點E出發(fā)，先將其一般化為邊所在直線上一點，又將正方形問題一般化為等腰直角三角形、等邊三角形背景的類似問題，讓學(xué)生在“慢想”中成果擴大.

3.經(jīng)典問題教學(xué)時要適時“逆過來思考”.

我們知道很多運算性質(zhì)、代數(shù)公式、幾何定理都需要“正反思考”，我們常常提到的逆定理就是逆過來思考得到.平行線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，乘法公式的正反運用，勾股定理與逆定理等，它們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗啟示我們，“逆過來思考”能將問題研究得更深入、更全面，有助于我們加深問題理解，也容易“成果擴大”.這也是我們在“經(jīng)典問題2”的教學(xué)處理時，原創(chuàng)了改編問題，增設(shè)了第（3）問逆過來思考的原因.值得一提的是，逆過來思考時，原來的思路往往并不能直接遷移運用、實現(xiàn)證明，而需要仔細辨明“逆過來問題”的題設(shè)與結(jié)論，重新貫通思路.

參考文獻：

1.鄭毓信.數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長的6個關(guān)鍵詞［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（4、5、6）.

2.馬立平，著.李士锜，吳穎康，等，譯.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

3.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.