知識建構(gòu) 方法遷移 思想整合*
——以《二次函數(shù)圖象的應用》為例談深度教學

□高 瓊

（浙江師范大學附屬杭州筧橋?qū)嶒炛袑W，浙江杭州 310021）

伴隨信息時代的步伐，深度學習的話題應運而生.同時，從單一關(guān)注學生的深度學習，逐步走向關(guān)注教師的深度學習以及深度教學.只有將學生引向“深度學習”的“深度教學”，才是基于核心素養(yǎng)的教學觀點[1].數(shù)學的深度教學圍繞著知識建構(gòu)、方法遷移和思想整合所形成的最新研究框架，受到廣大數(shù)學教育者和研究者的重視，由此引起對數(shù)學核心素養(yǎng)、數(shù)學高階思維廣泛關(guān)聯(lián).本文以《二次函數(shù)圖象的應用》為例，從知識建構(gòu)、方法遷移、思想整合等三個維度，展開對數(shù)學深度教學的研討.

一、把握核心目標的高度 完善數(shù)學知識建構(gòu)

（一）數(shù)學核心素養(yǎng)——關(guān)聯(lián)與化歸

把握數(shù)學教學核心目標的高度，尤其需要把握數(shù)學核心素養(yǎng).而在初中數(shù)學核心素養(yǎng)方面，其實歸根結(jié)底就是關(guān)聯(lián)與化歸[2]. 中學生數(shù)學能力的體現(xiàn)不僅取決于學生的基礎(chǔ)知識和基本技能，也取決于對數(shù)學思想的理解、掌握和方法的熟練運用，更取決于學生在思維上是否具有化歸遷移能力.因此在教學中需要強化學生的關(guān)聯(lián)意識，引導學生對知識點進行化歸整合，從而提升學生的思維水平.

教育心理學家約翰·比格斯在其SOLO 分類理論中指出，學生對某個問題的學習結(jié)果由低到高可以劃分為五個層次：前結(jié)構(gòu)、單元結(jié)構(gòu)、多元結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、抽象拓展結(jié)構(gòu).這五個層次可以準確把握學生由低到高的知識水平和思維層次，而數(shù)學深度教學則需要引導學生達成數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)和抽象拓展建構(gòu).其抽象拓展建構(gòu)，主要也就是數(shù)學化歸的結(jié)果.例如，在《二次函數(shù)圖象的應用》的教學中，將一元二次方程的求解問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與一條平行于x軸的直線的交點問題，其中也包含方程與函數(shù)及其圖象的關(guān)聯(lián).具體如教學片段1所示.

【教學片段1】

師：給定x的值可以求y的值，那反過來給定y的值也能求x的值.比如y=5，就得到了這么一個方程：x2-2x-5=5.那么，我們接下來可以如何快速判斷這個方程有幾個解呢？

生1：可以把這個方程解的個數(shù)看成是y=x2-2x-5與直線y=5兩個函數(shù)交點個數(shù).

師：方程的解體現(xiàn)著函數(shù)圖象上的點，方程的解是函數(shù)交點的橫坐標.那y=4，y=3呢？

生2：兩個相等的解，和無解.

師：那改成y=k有解，問k的取值范圍呢？

生3：可以把這個方程解的個數(shù)看成是y=ax2+bx+c與直線y=k兩個函數(shù)有交點.

師板書：有解→有交點，并播放動畫：一條紅線從上運動到下，從而引導學生觀察并思考什么時候有交點，即可求出k的范圍.

師：方程有兩個不相等的實數(shù)根對應函數(shù)有兩個交點；方程有兩個相等的實數(shù)根對應函數(shù)有一個交點；方程有實數(shù)根對應函數(shù)有交點；方程無實數(shù)根對應函數(shù)沒有交點.

（二）認知結(jié)構(gòu)決定認知水平

教師計劃引導學生達成的認知結(jié)構(gòu)，決定了學生最后所能達到的認知水平.結(jié)合SOLO分類理論而言，教師計劃引導學生達成如果僅僅只是多元結(jié)構(gòu)，而非關(guān)聯(lián)和抽象拓展結(jié)構(gòu)，那么學生群體所達到的總體認知水平則是比較淺層次的.例如，在《二次函數(shù)圖象的應用》教學中，將函數(shù)圖象與方程、不等式等做了緊密關(guān)聯(lián).具體而言，就像教學片段1 中所呈現(xiàn)的，將方程根的問題關(guān)聯(lián)到函數(shù)圖象上的點問題，將方程有無解的問題關(guān)聯(lián)到不等式問題上.教師這樣引導學生進行轉(zhuǎn)化遷移，發(fā)展學生關(guān)聯(lián)化歸的認知結(jié)構(gòu)，學生的認知水平就能達到較高的水平.

二、注重教學內(nèi)容的廣度 形成數(shù)學方法的關(guān)聯(lián)

（一）方法是數(shù)學教學內(nèi)容三大組成之一

數(shù)學教學內(nèi)容包含數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學能力，注重教學內(nèi)容的廣度也需要注重數(shù)學方法的廣度.數(shù)學方法是以教學為工具進行科學研究的方法，即用數(shù)學語言表達事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，經(jīng)過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法.數(shù)學方法有一般方法和特殊方法.一般方法有圖象法、比較法、歸納法等；而特殊方法有待定系數(shù)法、配方法、消元法等.在《二次函數(shù)圖象的應用》教學片段1中，圖象法這一數(shù)學一般方法已經(jīng)有了較好的體現(xiàn).而待定系數(shù)法這一數(shù)學特殊方法則體現(xiàn)在如下教學片段2中.

【教學片段2】

教師呈現(xiàn)如下二次函數(shù)圖象問題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過A（-1，0），B（2，3），C（0，3）三點.求解析式.

師：這個問題比較簡單，該如何求解呢？

生4：用待定系數(shù)法求解.

師：對.那還有其他什么方法呢？

生5：用頂點式求解，根據(jù)B（2，3），C（0，3）兩點坐標關(guān)系，確定了對稱軸是直線x=1.將原一般式設成頂點式y(tǒng)=a（x-1）2+k（a≠0），再把A（-1，0），B（2，3）代入，列出二元一次方程組求出a，k，從而求出解析式.

師：很好.那還有其他什么方法嗎？

生6：結(jié)合對稱軸直線x=1，求出與x軸的另一個交點（3，0），于是將原一般式設成交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3）（a≠0），再代入C（0，3），直接列出的一元一次方程求出a，從而求出解析式.

（二）數(shù)學一般方法與特殊方法的相互關(guān)聯(lián)

數(shù)學一般方法與特殊方法的相互關(guān)聯(lián)，在某些數(shù)學問題解決中能夠起到事半功倍的效果，同時也能優(yōu)化學生對于數(shù)學方法的認知結(jié)構(gòu)，并提高學生對于數(shù)學方法的認知水平.例如，在《二次函數(shù)圖象的應用》教學片段2 中，三個學生其實都是用待定系數(shù)法求解目標解析式，而且第二和第三個學生，還關(guān)聯(lián)到二次函數(shù)頂點式和交點式這兩個圖象特征解析式，做了待定系數(shù)法這一數(shù)學特殊方法與圖象法這一數(shù)學一般方法的關(guān)聯(lián).對解決這個特殊的二次函數(shù)解析式問題來說，一定程度上得到事半功倍的效果，也加深了對于二次函數(shù)圖象特征解析式的理解和應用.

三、提升數(shù)學思維的階層 達成數(shù)學思想整合

數(shù)學方法是數(shù)學思想實施的手段，數(shù)學思想是數(shù)學思維的導向，這三者之間有區(qū)別也有聯(lián)系.數(shù)學教育的核心是數(shù)學思維，途徑是數(shù)學思維活動及數(shù)學思想整合，主體是學生[3]．一堂有深度的數(shù)學課，教師應引導學生對知識的認識逐漸從模糊走向清晰，從片面走向全面，從膚淺走向深刻，最終實現(xiàn)從思維水平、思維形式、思維品質(zhì)等不同維度來發(fā)展學生的高階思維[4].

（一）數(shù)學思維是數(shù)學思想的具體化

轉(zhuǎn)化數(shù)學思想，是學生轉(zhuǎn)化數(shù)學思維養(yǎng)成的導向，但其實施手段卻有很多種表現(xiàn)方式.例如，在《二次函數(shù)圖象的應用》教學片段3中，追問如果點P的坐標改為（0.5，y1），此時兩點在對稱軸的異側(cè)，y1與y2的大小又怎樣呢？絕大多數(shù)學生幾乎異口同聲地說做對稱點，這樣就轉(zhuǎn)化為同側(cè)點的大小比較問題.其中，將異側(cè)兩點比較問題轉(zhuǎn)化為同側(cè)兩點比較問題這一數(shù)學思想，是培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化數(shù)學思維的導向.而學生能夠?qū)悅?cè)兩點轉(zhuǎn)化為同側(cè)兩點的數(shù)學思維，則是轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的具體化.

【教學片段3】

教師呈現(xiàn)如下二次函數(shù)圖象問題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過A（-1，0），B（2，3），C（0，3）三點.若P（0.5，y1）和Q（2，y2）在拋物線上，比較y1和y2.

生：對稱點.

師：比較到對稱軸的距離用到二次函數(shù)的什么性質(zhì)？

生：二次函數(shù)的軸對稱性.

師：那把P點關(guān)于對稱軸對稱過來是哪個點？

生：1.5，y1.

動畫：左邊的點移到右邊.

師：那又回到我們剛才的那題，利用對稱性，將異側(cè)的兩個點轉(zhuǎn)化為同側(cè)的兩個點，就可以比較大小.

（二）數(shù)學思想引領(lǐng)高階思維發(fā)展

數(shù)學思想引領(lǐng)高階思維發(fā)展，主要是以轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想為基準，不斷突破學生思維的固態(tài)，從而引領(lǐng)高階思維的發(fā)展.例如，在《二次函數(shù)圖象的應用》教學片段3 之后，教師還拋出這樣進一步的問題：若點P（m，y1），Q（2，y2）在拋物線上且有y1＞y2，求m的取值范圍.這進一步引導學生進行思考.有學生提出，由于點Q的橫坐標確定，所以Q點的縱坐標是固定的，表面上看有兩個點，其實本質(zhì)就是一個動點，y1＞y2的問題就轉(zhuǎn)化為前面的y＞0的問題.

（三）所有數(shù)學思想歸根結(jié)底就是化歸思想

二次函數(shù)圖象的應用離不開數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等，但這些思想其本質(zhì)都是化歸思想，在深度教學中，只要找到知識點和方法的關(guān)聯(lián)后，隨即化歸，整合就成為數(shù)學思想方法教學的核心內(nèi)容.

綜上，深度教學需要從知識建構(gòu)、方法遷移、思想整合三個維度來把握核心目標的高度、注重教學內(nèi)容的廣度、提升數(shù)學思維的階層，從而更好地引導學生進行深度學習.