數(shù)感分析：數(shù)學解題思路的分析方法*
——以2020年高考試題為例

□蔣 雙 趙思林

（內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院，四川內(nèi)江 641110）

數(shù)感是數(shù)學教學的核心目標，是數(shù)學素養(yǎng)的集中體現(xiàn).數(shù)感分析在解題思路發(fā)現(xiàn)過程中占有重要地位.數(shù)感是以“數(shù)概念”在人腦中的擴展而產(chǎn)生的一種對數(shù)學問題的敏感，是一種對數(shù)字（量）的直覺，是一種敏捷的感知[1].詹國棵[2]認為：“狹義的‘數(shù)感’是指‘數(shù)字感’，它的含義是指人腦對于數(shù)字或數(shù)字運算的直覺，即對于‘數(shù)字或數(shù)字運算’的洞察與領悟；廣義的‘數(shù)感’是指對‘數(shù)學’的感覺，即人腦對數(shù)學對象的直覺，亦即對于數(shù)學對象的洞察與領悟.”在這里，狹義的“數(shù)感”忽視了數(shù)學中除“數(shù)”之外的另一半——“形”.因為數(shù)學的研究對象是“數(shù)”和“形”，所以只研究“數(shù)”的數(shù)學是不全面的.在初中，學生就知道“實數(shù)與數(shù)軸上的點構(gòu)成一一對應關系”，即是說，初中生都知道，數(shù)學包括“數(shù)”和“形”.所以廣義的“數(shù)感”更全面、更合理、更有用.數(shù)感可謂五味俱全，它含有“感覺”“直覺”“直感”“洞察”“經(jīng)驗”“靈感”等多種成分.研究者認為，數(shù)感是對數(shù)學對象（問題）的敏感（敏捷感覺），這里的數(shù)學對象可以是代數(shù)式（包括數(shù)字）、數(shù)學符號、圖形、數(shù)學關系（定理、公式、性質(zhì)等）、數(shù)學模型、問題情境、“數(shù)”與“形”及其混合體等.數(shù)感分析是指從數(shù)感的角度探索數(shù)學問題求解題思路的一種分析方法.數(shù)感分析高度依賴于原型、直觀、直覺、猜測、想象等數(shù)學經(jīng)驗.數(shù)感分析有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路或結(jié)論.數(shù)感是數(shù)學核心素養(yǎng)的精華成分.培養(yǎng)數(shù)感就是在培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，數(shù)學解題是培養(yǎng)數(shù)感的重要資源.

一、對特殊“數(shù)字”的敏感

例1（新高考卷Ⅰ第2題）

A.1 B.-1 C.iD.-i

評析：本題出現(xiàn)在選擇題第2 題，一般屬于容易題，可考慮借助于數(shù)感，通過心算簡單獲解.

思路1：從選項獲數(shù)感，4 個“答案”都簡單，可采用逐一檢驗的方法.顯然A、B不成立.對于C，只需計算(1+2i)×i=i-2，這與分子不相等，所以C錯.故選D.

思路2：從“化簡‘分式’的基本方法是‘約分’”獲得數(shù)感，2-i=-2i2-i=-i(2i+1)，約分后即得答案-i，選D.

說明：數(shù)感依賴于經(jīng)驗.若沒有觀察“答案”、化簡“分式”的基本方法是“約分”等經(jīng)驗，則上述兩種思路是不易想到的.

例 2（全國卷Ⅲ理第 12 題）已知 55＜84，134＜85，設a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）.

A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b

評析：據(jù)了解，很多考生不明白給出的兩個條件55＜84，134＜85，到底有何意圖.其實，設計這兩個條件的意圖有三：一是為降低題目難度，或有提示解法之意；二是需要把指數(shù)不等式變成對數(shù)不等式，才便于利用對數(shù)這個工具；三是希望考生能從這兩個不等式的指數(shù)“感覺”到（比較大小的“媒介”）的存在，這個正是數(shù)感的產(chǎn)物.

二、對“數(shù)學模型”的敏感

例3（全國卷Ⅰ理第5題）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關系，在20 個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖.

由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ）.

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

評析：從散點圖可發(fā)現(xiàn)，當溫度達到20℃后其增長速度是緩慢增長，這恰好與對數(shù)函數(shù)圖象的模型比較吻合.再結(jié)合四個選項，容易選D.

說明：學生應知道，4 個“答案”的函數(shù)模型分別代表線性增長、拋物增長、爆炸增長、緩慢增長.

例4（全國卷Ⅱ理第11 題）若2x-2y＜3-x-3-y，則（ ）.

A.ln（y-x+1）＞0 B.ln（y-x+1）＜0

C.ln|x-y|＞0 D.ln|x-y|＜0

評析：借用“合并同類項”的經(jīng)驗（式子感），把原不等式化為2x-3-x＜ 2y-3-y，由此可構(gòu)造一個新的函數(shù)f(x)=2x-3-x，則有f(x)＜f(y).易知f(x)為增函數(shù)，因此x＜y.則有y-x+1 ＞ 1.故選A.

三、對“圖形”的敏感

例5（全國卷Ⅰ理第14題）設a,b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=________.

評析：本題的條件有三個：|a|=1，|b|=1，|a+b|=1.如果再把|a-b|考慮在內(nèi)，則本題共涉及4 個模，即4 個長度（距離）.因此，從模的幾何意義考慮問題是自然的、簡單的想法.若把上述三個條件賦予幾何意義，則可以a,b為鄰邊作一個平行四邊形.再由三個條件易知，此平行四邊形必為菱形，且a,b的夾角為120°.又| |a-b恰好是這個菱形的另外一條對角線，因此

若學生熟悉恒等式|a+b|2+|a-b|2=2 |a|2+2 |b|2，則此題可心算獲解.

例6（全國卷Ⅰ理第11 題）已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，且直線l：2x+y+2=0,P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PA|?|PB|最小時，直線AB的方程為（ ）.

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

評析：本題若直接著手于“算”的話，則不易找到思路，并且比較麻煩.但若對相應的圖形的幾何意義產(chǎn)生數(shù)感，則問題的解決思路會油然而生.

將圓化為標準方程(x-1)2+(y-1)2=4，得圓心M（1，1），

r=|AM|=2.由面積法可得，

|PM|取最小值 ?PM⊥l?AB//l，即可排除A和C.故選D.

四、對“數(shù)學經(jīng)驗”的敏感

例7（全國卷Ⅱ理第6題）數(shù)列{ }an中，a1=2，am+n=aman，若ak+1+ak+2+ …+ak+10=215-25，則k=（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

評析：符號多是本題的一大特色，這也讓考生感到像“霧里看花”，并產(chǎn)生無從下手的感覺.這正好體現(xiàn)本題考查學生的高級認知（分析、猜測、洞察、演繹等）的真實意圖.由數(shù)據(jù)215,25可強烈地感受到該數(shù)列可能含有等比數(shù)列的信息，這就是數(shù)感.遞推方程am+n=aman是一個一般性的遞推關系，考生需要從這個關系中敏銳地發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造出含通項an和它的后一項an+1的遞推關系，才有可能用到等比數(shù)列知識.因此，采用特殊值法，取m=1，則an+1=a1an.又因為a1=2，所以因此{an}是等比數(shù)列，則an=2n.

所以ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1(210-1)=2k+11-2k+1=215-25.故選C.

五、對“數(shù)學美”的敏感

“化丑為美”是數(shù)學解題的基本策略.解高考數(shù)學題要善于把丑的形式（結(jié)構(gòu)）化為美的形式（結(jié)構(gòu)）.

例8（全國卷Ⅱ第21 題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.

（1）討論f(x)在區(qū)間( )0,π 的單調(diào)性；

（3）設n∈ N*，證明：sin2xsin22xsin24x…

評析：第（1）題是常規(guī)題，其解析從略.

第（2）題因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以只需證明f(x)的最大值是

因為在f(x)=sin2xsin2x中的次數(shù)不同、角度不同，因此該結(jié)構(gòu)是最簡的，但不是最美的. 作降次變換得，f(x)=sin2xsin2x=

記p(x)=2sin2x-sin4x，此式右邊兩項的系數(shù)分別是2, -1，因此，2sin2x-sin4x的形式仍然是不美的（不對稱）.但若先變形為p(x)=sin2x+sin2x+sin(2π-4x)；再作換元，即令2x=A,2x=B，2π -4x=C，則A+B+C=2π，且p(x)=sinA+sinB+sinC.此形式顯得簡單了、美了.從而，可借助于以下結(jié)論求出p(x)的最大值.

結(jié)論：在 △ABC中，sinA+sinB+sinC在時取得最大值.

這個結(jié)論的條件和結(jié)論都體現(xiàn)對稱美和簡單美.此結(jié)論在一些書籍上有，其發(fā)現(xiàn)和證明過程均可掌握[3].這個結(jié)論是產(chǎn)生數(shù)感的“原型”.

借助上述結(jié)論，其思路探索和解答就容易了.事實上，由sint在[ ]0,π 上的上凸可得，

下面反復用第（2）題的結(jié)論進行放縮即可，從略.

重視數(shù)感的培養(yǎng)無疑是重要的和必要的.已有數(shù)感經(jīng)驗是產(chǎn)生新數(shù)感的基礎.數(shù)感的經(jīng)驗源于對數(shù)感的實踐、反思與凝練.數(shù)感是數(shù)學核心素養(yǎng)的核心成分，數(shù)感的產(chǎn)生依賴于數(shù)學核心素養(yǎng)的生成，即數(shù)感的產(chǎn)生依賴于豐富的經(jīng)驗、敏銳的眼光、靈活的思維.數(shù)感的實質(zhì)就是能用數(shù)學眼光對情境（問題）的快速審視并頓生感覺.用數(shù)學的眼光看問題，就是要“想看”“會看”“看思結(jié)合”，“看出來的感覺”即為數(shù)感.在新課教學中，數(shù)感的培養(yǎng)可以從知識產(chǎn)生、發(fā)展、發(fā)現(xiàn)的過程著手培養(yǎng).數(shù)學解題教學是培養(yǎng)學生數(shù)感的沃土，教師不宜讓學生急忙著手去算，而是應先讓學生對問題進行仔細觀察、直覺分析、整體把握、思路預估等思維活動，因為這可達到多角度、多層次培育數(shù)感的目的.