一元二次方程討論根時(shí)忽視隱含條件的問題探討

□柴玉宏

（杭州市豐潭中學(xué)，浙江杭州 310012）

一元二次方程是初中代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是近幾年中考數(shù)學(xué)的一個(gè)熱門考點(diǎn)，特別是解含有字母系數(shù)的一元二次方程問題，是初三學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是高中數(shù)學(xué)的參數(shù)思想在初中的初步滲透.在教學(xué)實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)，有時(shí)題目難度不大，但學(xué)生卻容易出錯(cuò)，其中解題過程中忽視隱含條件是一個(gè)主要原因.在解含有字母系數(shù)的一元二次方程時(shí)，學(xué)生經(jīng)常容易忽視題設(shè)中的隱含條件，只考慮已經(jīng)給出的明顯條件，缺乏挖掘題目中隱含條件的能力，往往得出不滿足題意的結(jié)果，或者遺漏某些滿足題意的結(jié)果，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

挖掘題目中的隱含條件，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、熟練的基本技能、靈活的思維能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}方法，根據(jù)筆者多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，本文通過列舉一些一元二次方程討論根時(shí)忽視隱含條件的易錯(cuò)題為范例進(jìn)行分析，從題設(shè)所及的數(shù)學(xué)概念、關(guān)系式、定理等方面的具體特征入手，通過分析、比較、觀察和聯(lián)想等方法，挖掘和轉(zhuǎn)化題設(shè)中的隱含條件，整理與歸納含有字母系數(shù)的一元二次方程平時(shí)容易出錯(cuò)的幾類問題，提高解題能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和習(xí)慣，使易錯(cuò)題變成易對(duì)題，力爭(zhēng)達(dá)到解題“會(huì)而必對(duì)，對(duì)而必全”的效果.

一、條件隱含在方程二次項(xiàng)的系數(shù)中

（一）方程ax2 +bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)要注意a≠0的情況

若方程ax2+bx+c=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)方程一定是一個(gè)一元二次方程，即a≠0.若a=0，這個(gè)方程就是一元一次方程，它只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，要注意隱含的條件a≠0.

例1當(dāng)m為何值時(shí)，方程mx2-2(m+2)x+m+5=0無實(shí)數(shù)根？對(duì)于這個(gè)m值的范圍方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 是否有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

錯(cuò)解再現(xiàn)∵方程mx2-2(m+2)x+m+5=0無實(shí)數(shù)根，∴Δ＜0.

即Δ=[ - 2(m+2)]2-4m(m+5)＜0，解得m＞4.

由方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0，得Δ1=[ - 2(m+2)]2-4(m-5)m=36m+16.

當(dāng)m＞4 時(shí)，有36m+16＞0.

∴方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

錯(cuò)因解析當(dāng)m=5時(shí)，同時(shí)能滿足m＞4 與36m+16＞0 兩個(gè)條件，但是第二個(gè)方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 當(dāng)m=5 時(shí)變成一元一次方程，不可能有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以有錯(cuò)誤，忽視了第二個(gè)方程二次項(xiàng)系數(shù)不等于0這個(gè)隱含條件.同時(shí)也要考慮第一個(gè)方程二次項(xiàng)系數(shù)m≠0.

正確解法∵方程mx2-2(m+2)x+m+5=0無實(shí)數(shù)根，∴Δ＜0，m≠0.

即 Δ=[ - 2(m+2)]2-4m(m+5)＜0 ，m≠0，解得m＞4.

由方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0，得Δ1=[- 2(m+2)]2-4(m-5)m=36m+16.

當(dāng)m＞4，且m≠5時(shí)，有 36m+16＞0.

∴方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（二）方程ax2 +bx+c=0有實(shí)數(shù)根時(shí)要注意a=0的情況

若方程ax2+bx+c=0 有實(shí)數(shù)根，則可能有兩個(gè)或一個(gè)實(shí)數(shù)根兩種情況，即這個(gè)方程是一元二次方程或一元一次方程，所以要對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行分類討論，要注意隱含的條件a=0和a≠0.

例2求證：關(guān)于x的方程mx2-(m+2)x+1=0必有實(shí)數(shù)根.

錯(cuò)解再現(xiàn)由Δ=[-(m+2)]2-4m=m2+4，∵m2＞0，∴m2+4＞0，即Δ＞0.

∴方程mx2-(m+2)x+1=0 必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

錯(cuò)因解析這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，但沒有說有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m=0時(shí)，原方程變成-2x+1=也有實(shí)數(shù)根，所以證題過程不完整，只考慮二次項(xiàng)系數(shù)不等于0 時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的情況，沒有考慮二次項(xiàng)系數(shù)m=0時(shí)方程是一元一次方程有實(shí)數(shù)根的情況.

即 Δ＞0，∴方程mx2-(m+2)x+1=0 必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

∴關(guān)于x的方程mx2-(m+2)x+1=0 必有實(shí)數(shù)根.

二、條件隱含在數(shù)學(xué)概念中

數(shù)學(xué)問題是用數(shù)學(xué)語言（包括文字、符號(hào)、圖形）來表述的，題目中所提供的數(shù)學(xué)概念本身就包含著隱含條件，這些隱含條件不依賴于題目本身而獨(dú)立存在，所以在理解題意的基礎(chǔ)上更要理解數(shù)學(xué)概念本身的意義，理解概念的內(nèi)涵和外延，注意概念成立的條件.若方程ax2+bx+c=0 是一元二次方程，則隱含著a≠0，必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，或無實(shí)數(shù)根等條件.

例3已知方程(m-2)xm2-5m+8+x+5=0，當(dāng)m為何值時(shí)這個(gè)方程是一元二次方程？當(dāng)m為何值時(shí)這個(gè)方程是一元一次方程？

錯(cuò)解再現(xiàn)當(dāng)m2-5m+8=2，m2-5m+6=0，∴m=2 或m=3 時(shí)方程為一元二次方程.當(dāng)m2-5m+8=1，∵Δ＜0，∴不存在m的值使這個(gè)方程是一元一次方程.

錯(cuò)因解析對(duì)于第一問來說，當(dāng)m=2時(shí)方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，所以m=2 應(yīng)舍去.對(duì)于第二問只考慮了(m-2)xm2-5m+8為一次項(xiàng)，得到m的值不存在，當(dāng)m=2時(shí)方程本身就變?yōu)橐辉淮畏匠蘹+5=0，遺漏了m=2.

正確解法當(dāng)m2-5m+8=2且m≠2時(shí)方程是一元二次方程，即m=3時(shí)方程為一元二次方程.

我大喜過望，立即把電話拔回去，卻聽見一個(gè)粗魯?shù)哪腥寺曇粽f，什么白麗筠黑麗筠，我這里沒有你要找的人。我知道她是用別人的手機(jī)發(fā)的短信，那個(gè)短信只能是白麗筠發(fā)給我的，她一定是回想起給我留下的告別信，怕我誤會(huì)她去自殺，借別人的手機(jī)給我發(fā)了這樣一條短信。

當(dāng)m2-5m+8=1 且m≠2，∵Δ＜0，∴m不存在.

∴當(dāng)m=2時(shí)這個(gè)方程是一元一次方程.

三、條件隱含在根與系數(shù)的關(guān)系式中

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達(dá)定理，課本中的敘述是：如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 的兩個(gè)根，那么x1+x2=

韋達(dá)定理推導(dǎo)的前提是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即一元二次方程首先要滿足Δ≥0，因此，在用韋達(dá)定理時(shí)，要注意隱含條件Δ≥0.

例4已知2x2+kx-2k+1=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是a，b，且滿足求k的值.

錯(cuò)解再現(xiàn)由根與系數(shù)的關(guān)系，得a+b=

錯(cuò)因解析∵方程2x2+kx-2k+1=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴應(yīng)滿足Δ≥0 這一隱含條件，即k2-4×2(-2k+1)=k2+16k-8≥0，當(dāng)k=-11時(shí)，Δ＜0.

正確解法由根與系數(shù)的關(guān)系，得a+b=

又∵方程2x2+kx-2k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ≥0.

即k2-4× 2(-2k+1)=k2+16k-8≥0，當(dāng)k=-11時(shí)，Δ＜0.

∴k=-11舍去，∴k=3.

四、條件隱含在題設(shè)的關(guān)系式中

隱含條件隱含在題設(shè)的某一個(gè)條件中，往往這個(gè)條件和解題需要的這個(gè)隱含條件是等價(jià)的，找到還相對(duì)容易一些，但有些隱含條件不是隱含在某一個(gè)條件中，而是深藏在題設(shè)幾個(gè)條件之間的關(guān)系中，要求仔細(xì)分析題意，清楚各條件之間的內(nèi)在關(guān)系，需要一定的“霧里看花”能力，盡快得到解題所需的隱含條件.

例5已知x，y為實(shí)數(shù)，方程x2+2x-5=0,y2+2y-5=0，求的值.

錯(cuò)解再現(xiàn)∵x2+2x-5=0,y2+2y-5=0，

∴x，y是一元二次方程z2+2z-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

錯(cuò)因解析∵兩個(gè)方程x2+2x-5=0,y2+2y-5=0 的判別式Δ=22-4× 1×(-5)=24＞0，只有在x≠y時(shí)，x，y才是一元二次方程z2+2z-5=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得x+y=-2，xy=-5，∴

還有一種情況是當(dāng)x=y時(shí)，x=y=

正確解法∵每個(gè)方程x2+2x-5=0,y2+2y-5=0 的判別式Δ=22-4×1×(-5)=24＞0，只有在x≠y時(shí)，x，y才是一元二次方程z2+2z-5=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得x+y=-2，xy=-5，∴

五、條件隱含在解題過程中

一元二次方程討論根時(shí)，除了條件隱含在題中的概念、公式、定理應(yīng)用、已知條件的關(guān)系式中，還有些隱含條件是產(chǎn)生在解題過程中，要發(fā)現(xiàn)這些有用的隱含條件，需要更強(qiáng)的“火眼金睛”來及時(shí)捕捉.

（一）求方程根的算術(shù)平方根時(shí)要注意兩根的符號(hào)

如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，那么由a，b，c的符號(hào)可以判斷隱含條件兩根的正負(fù).

例6若α，β是一元二次方程2x2+3x+1=0的兩根，求的值.

錯(cuò)解再現(xiàn)由韋達(dá)定理得

錯(cuò)因解析從解題的過程來看，似乎沒有問題，但這個(gè)答案顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的值一定是大于0的，為什么答案會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)？因?yàn)榻忸}過程中忽視了隱含條件α＜0，β＜0，而這個(gè)條件是在解題過程中由產(chǎn)生的，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)和為負(fù)，積為正，則這兩個(gè)數(shù)同為負(fù)數(shù)，不可能有α＞0，β＞0這種情況.

正確解法由韋達(dá)定理得

∵兩實(shí)數(shù)α，β和為負(fù)數(shù)，積為正數(shù)，∴α＜0，β＜0.

（二）代數(shù)式求值時(shí)要注意相關(guān)方程存在實(shí)數(shù)根

當(dāng)x為實(shí)數(shù)，代數(shù)式ax2+bx的值等于c的隱含條件是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx=c有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

例7已知實(shí)數(shù)x，滿足(x2+2x)2+2x2+4x=15，求代數(shù)式x2+2x的值.

錯(cuò)解再現(xiàn)∵(x2+2x)2+2(x2+2x)-15=0，

分解因式得(x2+2x+5)(x2+2x-3)=0.

∴x2+2x=-5或x2+2x=3.

錯(cuò)因解析當(dāng)x2+2x=-5時(shí)，一元二次方程x2+2x+5=0 無實(shí)數(shù)根，所以x2+2x=-5不存在.

正確解法由(x2+2x)2+2(x2+2x)-15=0，

分解因式得(x2+2x+5)(x2+2x-3)=0.

∴x2+2x=-5或x2+2x=3.

當(dāng)x2+2x=-5 時(shí)，一元二次方程x2+2x+5=0無實(shí)數(shù)根，x2+2x=-5不存在.

∴x2+2x=3.

（三）一元二次方程的根要注意它的實(shí)際意義

在解一元二次方程的應(yīng)用題時(shí)，求出的根除了滿足方程的要求外，還要符合實(shí)際意義，即注意根的適用范圍、非負(fù)性、取整性等，要注意隱含條件，舍去不合題意的根.

例8在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊c=5，兩直角邊的長(zhǎng)a，b是一元二次方程x2-mx+2m-2=0的兩根，求m的值.

錯(cuò)解再現(xiàn)在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，∴a2+b2=c2.

∵a2+b2=25，∴(a+b)2-2ab=25.又∵a+b=m，ab=2m-2，

∴m2-4m-21=0.

∴m1=7,m2=-3.

當(dāng)m1=7,m2=-3 時(shí)，都滿足Δ＞0，∴m=7或m=-3.

錯(cuò)因解析∵a，b是直角三角形的兩邊，m的值只能取正數(shù)，應(yīng)舍去負(fù)數(shù).

正確解法在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，∴a2+b2=c2.

∵a2+b2=25，∴(a+b)2-2ab=25.

又∵a+b=m，ab=2m-2.

∴m2-4m-21=0，∴m1=7,m2=-3.

當(dāng)m1=7,m2=-3時(shí)，都滿足Δ＞0，

∵a，b是直角三角形的兩邊，m的值只能取正數(shù)，m=-3應(yīng)舍去，∴m=7.

總之，通過以上列舉的幾道典型例題的分析可以看出，隱含條件對(duì)解題的影響極大，它既干擾解題的思路，造成解題結(jié)果錯(cuò)誤或答案遺漏，又有解題的暗示作用，在解題時(shí)若能及時(shí)發(fā)現(xiàn)最有價(jià)值的隱含條件，問題就會(huì)迎刃而解.因此，在解題中要養(yǎng)成認(rèn)真審題、周密思考、思路嚴(yán)謹(jǐn)、過程完整的良好習(xí)慣，善于捕捉題設(shè)中的“蛛絲馬跡”，多角度、多方向、多層次地挖掘隱含條件，解題才能達(dá)到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果.