整體視角下的主題式復(fù)習(xí)操作路徑
——以“乘法公式知識(shí)鏈的復(fù)習(xí)”為例

□應(yīng)佳成

（杭州市富陽(yáng)區(qū)教育發(fā)展研究中心，浙江杭州 311400）

復(fù)習(xí)的教育價(jià)值在于建立內(nèi)容之間的聯(lián)系，聚零為整，完善知識(shí)體系，提升思想方法，落實(shí)核心素養(yǎng).從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，同一主題下的內(nèi)容往往能夠產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性聯(lián)系：“數(shù)學(xué)內(nèi)容盡管多樣，但在本質(zhì)上是一個(gè)整體，不同知識(shí)之間，不同主題、單元之間都存在實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.”由于新課階段是以分解的、局部的方式學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)新知識(shí)，難以獲得對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的整體全面認(rèn)識(shí)，因而主題式復(fù)習(xí)直指弊端，基于數(shù)學(xué)的整體性和系統(tǒng)性，以思想方法為統(tǒng)領(lǐng)，以能夠產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)的內(nèi)容為主題，打破單元限制進(jìn)行一以貫之的復(fù)習(xí)，目標(biāo)指向?qū)W生的素養(yǎng)發(fā)展.

主題式復(fù)習(xí)如何開展實(shí)施呢？本文以“乘法公式知識(shí)鏈的復(fù)習(xí)”為樣例，從雙基評(píng)估（喚醒）、四基落實(shí)（融合）、能力提升（升華）三個(gè)層次展開具體研究.

一、測(cè)評(píng)辨析 回顧知識(shí)內(nèi)容

本階段通過解決結(jié)構(gòu)相似、操作步驟一致的問題回顧乘法公式知識(shí)鏈，理解知識(shí)鏈上每一環(huán)之間的關(guān)聯(lián).

（一）分級(jí)前測(cè) 評(píng)估雙基

由于主題式復(fù)習(xí)橫跨初中三年的內(nèi)容，因此需要“喚醒”基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能做出水平評(píng)估，“前測(cè)”是重要的喚醒手段.知識(shí)的獲取是一個(gè)新知識(shí)與學(xué)習(xí)者已有的舊知識(shí)結(jié)構(gòu)相互影響的整合過程，基于“前測(cè)中困惑的問題形成的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)會(huì)影響個(gè)體知覺和注意，形成對(duì)學(xué)習(xí)材料的問題解決信息加工的傾向和偏好，這使得個(gè)體不僅喚起與問題相關(guān)的行之有效的信息，而且也能主動(dòng)地對(duì)新知識(shí)進(jìn)行選擇性注意”原理，確定分層前測(cè)，精準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)不同層面的學(xué)生在雙基上存在的漏洞，并及時(shí)做出合理有效的干預(yù)，為后續(xù)調(diào)整教學(xué)策略做好準(zhǔn)備，讓不同水平的學(xué)生在自己的能力發(fā)展區(qū)內(nèi)得到最大限度的發(fā)展.

（二）分析本質(zhì) 建立關(guān)聯(lián)

只有深刻理解公式本質(zhì)，才能在不同公式間進(jìn)行主動(dòng)對(duì)比，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的時(shí)候能夠調(diào)取已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從源頭上思考問題的解決方法.要讓學(xué)生明確，乘法公式源于多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，其原理是運(yùn)用分配律逐項(xiàng)相乘再相加，有一些具有特殊結(jié)構(gòu)的多項(xiàng)式相乘之后能夠產(chǎn)生同類項(xiàng)，因而產(chǎn)生了具有特殊結(jié)構(gòu)的結(jié)果，通常意義上的乘法公式就是這些具有特殊結(jié)構(gòu)的多項(xiàng)式相乘的結(jié)果.

公式（x+y）（x－y）=x2－y2（平方差公式）和（x+y）2=x2+2xy+y2（完全平方公式）都是（a+p）（b+q）=ab+aq+pb+pq的特殊情形，若a=b=x，p=－q=y，則產(chǎn)生平方差公式（x+y）（x－y）=x2－y2；若a=b=x，p=q=y，則產(chǎn)生完全平方公式（x+y）2=x2+2xy+y2，詳見圖1.

圖1

使用了這些特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以越過程序性的展開過程直接得出結(jié)果，這種思維有助于發(fā)現(xiàn)概括規(guī)律，體驗(yàn)從一般到特殊的研究問題方式，為其他問題的研究提供類比和借鑒.對(duì)公式結(jié)構(gòu)的熟練程度決定了學(xué)生能力提升的高度.事實(shí)上，公式結(jié)構(gòu)不僅僅表示運(yùn)算的結(jié)果，運(yùn)算過程也有跡可循，并且結(jié)構(gòu)特征清晰，易于依據(jù)規(guī)律識(shí)記.為了熟練使用公式，做到對(duì)公式結(jié)構(gòu)了如指掌，可以設(shè)置這樣的題組：

這些問題都是直接使用公式的基本原理在運(yùn)算，步驟完全一致，所蘊(yùn)含的一般觀念是重點(diǎn)，讓學(xué)生明白公式的使用不局限于用a，b表示單獨(dú)的數(shù)或字母，可以推廣到一般意義的多項(xiàng)式、根式等，其意義在于將這些特定的結(jié)構(gòu)作為更為一般性的結(jié)論，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)性的理解程度，提高概括能力.

二、融合重整 構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)

本階段的落實(shí)決定了主題式復(fù)習(xí)的成敗.這一階段需要利用包容水平更高的學(xué)習(xí)材料，揭示乘法公式知識(shí)鏈上內(nèi)容間的實(shí)質(zhì)性關(guān)系，增強(qiáng)似是而非的知識(shí)間的可辨度，把低位經(jīng)驗(yàn)概括歸納到高位結(jié)構(gòu)中，為能力的提升提供穩(wěn)定的固著點(diǎn).

（一）豐富背景 識(shí)別結(jié)構(gòu)

由于乘法公式是恒等式，因此可以在整式乘法和因式分解之間靈活切換問題情境，因式分解的過程是將多項(xiàng)式形式變形為因式相乘的形式，這是逆向思維的過程，需要理解公式、熟知公式的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)公式的多項(xiàng)式形式有透徹理解，對(duì)能力要求更高.因式分解在各種知識(shí)背景下都有涉及，本質(zhì)就是對(duì)乘法公式結(jié)構(gòu)的識(shí)別和使用.比如：

①分解因式：（a+b）2+2a+2b－3；

④解一元二次方程：x2－2x+1=0；

⑤求關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2a（a+2）x+a2+4a+4的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

⑥已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且a=7，b=24，c=25，判斷△ABC的形狀；

……

這一組問題顯示了乘法公式的廣泛使用：涵蓋分解因式、分式運(yùn)算、二次根式運(yùn)算、解方程、二次函數(shù)、幾何計(jì)算等內(nèi)容，通過這樣大量的、豐富的問題情境轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生理解公式結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)知識(shí)的可辨度，構(gòu)建運(yùn)算思路.比如題⑤，解決通法是借助函數(shù)與方程的關(guān)系，將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用求根公式解決問題，但是此法明顯不夠簡(jiǎn)潔，如果熟悉完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，則可快速分解因式得到y(tǒng)=ax2+2a（a+2）x+（a+2）2=（ax+a+2）2，直接將這個(gè)二次函數(shù)從一般形式分解成為頂點(diǎn)式，從而發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－a－2，0）.再如題⑥，如果直接使用72+242=252，則過程繁雜易出錯(cuò)，如果遇到更為復(fù)雜的數(shù)據(jù)顯然不是最佳做法，但是使用平方差公式可以使問題運(yùn)算大大簡(jiǎn)化，找出題目中最大的一個(gè)數(shù)為c=25，則c2－b2=（25+24）（25－24）=49×1=72=a2，因此△ABC是直角三角形.

（二）重整結(jié)構(gòu) 公式變形

直接熟練使用乘法公式并不是公式學(xué)習(xí)的最終目的，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征做適當(dāng)調(diào)整，對(duì)公式進(jìn)行變形可以推導(dǎo)出其他公式解決更為廣泛的問題，其中變形轉(zhuǎn)化的原理是學(xué)習(xí)能力的遷移和推廣，這才是最根本的能力要求.比如：

①已知a+b=3，ab=－7，求a2+b2，a2－ab+b2，（a－b）2……的值；

②已知a－b=2，b－c= －3，求（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的值；

題①是公式推廣的最佳案例，利用兩數(shù)和與兩數(shù)積的條件，輔之以適當(dāng)變形，可以徹底求出a2+b2，a2－ab+b2，（a－b）2……這一類問題的值；題②中需要用到c－a這一條件，問題中沒有直接提供，如果學(xué)生對(duì)于公式變形問題有了原理性的理解，不難想到可以利用條件構(gòu)造出所需的條件c-a=1，將不完備甚至隱含的條件變形轉(zhuǎn)化為可利用的條件……本環(huán)節(jié)還可以設(shè)計(jì)諸如此類的問題增強(qiáng)公式變形能力.

在豐富背景下融合知識(shí)的過程是一種篩選、組合、完整數(shù)學(xué)體系、形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過程，向上承接課程目標(biāo)，向下統(tǒng)領(lǐng)不同單元知識(shí)，幫助學(xué)生理解這些看似“獨(dú)立”的不同單元的內(nèi)容在乘法公式穿線之下是相互關(guān)聯(lián)的整體.

三、構(gòu)造發(fā)現(xiàn) 實(shí)現(xiàn)能力遷移

本階段的落實(shí)決定了學(xué)生的能力是否得到真正的提升.如果說前兩個(gè)階段是建立知識(shí)橫向擴(kuò)展的過程，那么本階段的任務(wù)就是在有序的基礎(chǔ)上進(jìn)行的縱向加深的過程，旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的敏銳度和深刻性，提升思想方法，落實(shí)關(guān)鍵能力.

（一）拓展結(jié)構(gòu) 重視方法

將（a+p）（b+q）=ab+aq+pb+pq特殊化是產(chǎn)生乘法公式的基礎(chǔ)，此處還存在一個(gè)思維的關(guān)鍵生長(zhǎng)點(diǎn)：進(jìn)一步特殊化，如改變項(xiàng)數(shù)或者改變字母的指數(shù)會(huì)有什么新的結(jié)論產(chǎn)生？這樣有助于學(xué)生打開思維，發(fā)現(xiàn)更多的類似于公式的特殊結(jié)論，同時(shí)追本溯源理解各公式之間的本質(zhì)聯(lián)系.需要指出的是，這樣的復(fù)習(xí)絕不是狹隘的機(jī)械運(yùn)算和應(yīng)試，而是體驗(yàn)其中的程序化運(yùn)算過程，體驗(yàn)算法算理，是對(duì)學(xué)生代數(shù)恒等變形能力、推理能力的培養(yǎng)，是水到渠成，詳見圖2.

圖2

事實(shí)上，在實(shí)施運(yùn)算的過程中往往會(huì)遇到多因素相互聯(lián)系、相互制約又相輔相成，需要從不同的思維方向、不同的解題思路和不同的解題方法等角度比較、擇優(yōu)，因此說運(yùn)算的過程是不斷思考和推理的過程，扎實(shí)的公式推理功底有助于有效探索運(yùn)算的條件與結(jié)論、已知與未知的轉(zhuǎn)化.

（二）構(gòu)造結(jié)構(gòu) 解決問題

無(wú)論順用還是逆用公式，本質(zhì)上都是在使用完整的公式結(jié)構(gòu).但是在具體問題解決過程中往往需要做出判斷，判斷問題條件是完整結(jié)構(gòu)還是部分結(jié)構(gòu)，并且能夠利用不完整的條件構(gòu)造出完整公式結(jié)構(gòu).這樣的問題設(shè)計(jì)能夠有效提升學(xué)生的運(yùn)算能力和理解水平.如：

①設(shè)b為正整數(shù)，a為實(shí)數(shù)，記M=a2－4ab+在a，b變動(dòng)的情況下，求M可能取得的最小整數(shù)值；

②求二次函數(shù)y=x2+2x－6的最值……

這兩個(gè)問題都不具備公式的完整結(jié)構(gòu)，需要對(duì)公式結(jié)構(gòu)有深刻認(rèn)識(shí).綜合題目條件，分析、調(diào)整、整合、構(gòu)造出完整的公式結(jié)構(gòu)，達(dá)到解決問題的目的.題①中不具備公式的完整結(jié)構(gòu)，需要學(xué)習(xí)者遷移完整公式的使用經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過多次拆分、組合構(gòu)造出M=a2－4ab+5b2+2a－再利用完全平方式所具有的非負(fù)性，判斷出最小值為對(duì)于題②，從函數(shù)形式不難發(fā)現(xiàn)x2+2x－6 中具有了部分完全平方公式的特征，只需要利用配方法將其變形y=x2+2x－6=（x+1）2－7，即可解決問題，所以M可能取得的最小整數(shù)值為這兩個(gè)問題都需要構(gòu)造完全平方，利用（a－b）2或（a+b）2的非負(fù)性來判定多項(xiàng)式的非負(fù)（正定）性，從而也說明構(gòu)造完全平方（配方法）是求二次函數(shù)值的基礎(chǔ)，足見乘法公式的重要價(jià)值.

（三）代數(shù)推理 能力遷移

公式學(xué)習(xí)的更高層次是影響思維方式，提升代數(shù)推理水平.從思維層次看，運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與邏輯思維的有機(jī)整合，在實(shí)施運(yùn)算分析和問題解決的過程中，用公式進(jìn)行運(yùn)算的能力是一種重要的演繹推理能力，是數(shù)學(xué)思考的重要內(nèi)涵.比如2019 年杭州卷第22 題的第（3）小題.

題干：設(shè)二次函數(shù)y＝（x－x1）（x－x2）（x1，x2是實(shí)數(shù)）.

問題（3）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，m）和（1，n）兩點(diǎn)（m，n是實(shí)數(shù)）.當(dāng)0＜x1＜x2＜1時(shí)，求證

我們來看問題（3）的解法：因?yàn)閥＝（xx1）（x－x2），

所以m＝x1x2，n＝（1－x1）（1－x2），

因?yàn)?0＜x1＜x2＜1，并結(jié)合函數(shù)y=x（1－x）的圖象，

從題意得出mn＝x1x2（1－x1）（1－x2）關(guān)系之后，如果僅僅是按照運(yùn)算順序發(fā)展思維，就會(huì)出現(xiàn)mn＝（x1x2）2－x1x2（x1+x2）+x1x2這樣一種對(duì)思維產(chǎn)生干擾甚至破壞的關(guān)系，問題解決會(huì)陷入困難.此時(shí)需要根據(jù)題目結(jié)論的形式結(jié)構(gòu)（關(guān)系及特點(diǎn)），使用乘法公式，重整出mn＝這一關(guān)系，這樣就抓住了解題關(guān)鍵，四兩撥千斤，用乘法公式使問題得以解決，這是公式使用的高階水平.

（四）概括發(fā)現(xiàn) 提升素養(yǎng)

更進(jìn)一步，學(xué)生對(duì)于乘法公式概括化、系統(tǒng)化的使用過程涉及分析、概括、綜合、抽象、歸納等思維活動(dòng)，在此基礎(chǔ)上所表現(xiàn)出來的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力是其能力落實(shí)與提升的顯性指標(biāo)，舉個(gè)簡(jiǎn)單例子.

僅以運(yùn)算為出發(fā)點(diǎn)則這個(gè)問題很簡(jiǎn)單，但是此題背后大有深意，從數(shù)式通性來看，這個(gè)問題的結(jié)構(gòu)與結(jié)論之間存在明顯的關(guān)聯(lián)，如果將數(shù)據(jù)一般化表示為a，b，進(jìn)行合理的分類、歸納，找出這種特殊結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含的一般關(guān)系，可以總結(jié)出|a+b|＋|a-b|＝2max{a，b}.這樣就將問題從特殊表述上升到一般結(jié)論.甚至可以將其理解為一個(gè)常用公式，避開大量的重復(fù)運(yùn)算，節(jié)約運(yùn)算成本.能夠具有這種優(yōu)化意識(shí)的學(xué)生已經(jīng)具備了發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造公式的能力，說明學(xué)習(xí)能力得到真正提升.

主題式復(fù)習(xí)需要置于單元整體視角之下，當(dāng)數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)各部分以合理（有序）的結(jié)構(gòu)形成整體時(shí)，整體的功能才會(huì)大于各個(gè)部分功能之和 .