圓錐曲線極值求解方法的比較分析

劉蓓 趙世恩

【摘要】在中學(xué)和大學(xué)階段的解析幾何學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)涉及一些求極值的問題.圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)繁多、復(fù)雜，求解圓錐曲線極值時(shí)，綜合性強(qiáng)、難度較大，這導(dǎo)致學(xué)生對(duì)圓錐曲線極值求解的問題常感到束手無策.該類問題考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的能力.本文首先通過典型題目，對(duì)圓錐曲線的極值問題的求解方法和過程進(jìn)行探究，然后對(duì)其運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行深入的剖析，最后通過比較中學(xué)和大學(xué)階段對(duì)于解決圓錐曲線極值問題的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)體系上的運(yùn)用和銜接.【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);高等數(shù)學(xué);極值點(diǎn);拉格朗日乘數(shù)法

1 引言

圓錐曲線極值問題可以幫助學(xué)生理解算法的由來、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算思維、提高學(xué)生的計(jì)算能力.學(xué)生進(jìn)行中學(xué)初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)，可運(yùn)用二次函數(shù)法、圓錐曲線基本定義對(duì)題目做最簡單的分析.

大學(xué)高等數(shù)學(xué)的極值求解問題早已形成了成熟的數(shù)學(xué)理論.求解曲線的極值存在難度是因其中一些參數(shù)存在各種約束條件，并不直接給出;求解條件極值常與微積分相聯(lián)系，通過轉(zhuǎn)化為求輔助函數(shù)的普通極值構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)模型.

2 圓錐曲線極值求解的數(shù)學(xué)方法與思路

本文將通過兩道例題以及高中、大學(xué)教材中對(duì)于極值求解問題知識(shí)點(diǎn)的對(duì)比分析和方法運(yùn)用，展開對(duì)中學(xué)、大學(xué)階段的圓錐曲線極值問題的解題方法、策略和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行深入的剖析.結(jié)合實(shí)例參照拉格朗日乘數(shù)法對(duì)幾種方法加以對(duì)比，找到解析幾何在中學(xué)、大學(xué)階段的異同之處.

2.1 中學(xué)階段學(xué)生對(duì)圓錐曲線極值求解的認(rèn)知水平

中學(xué)階段的解析幾何題目具有很強(qiáng)的規(guī)律性，若想求出目標(biāo)函數(shù)與已知圓錐曲線的極值點(diǎn)之間的隱含的等量關(guān)系，需運(yùn)用方程思想聯(lián)立曲線與直線方程得到交點(diǎn).在求解圓錐曲線的最值、定值等難題的過程中，學(xué)生需靈活掌握：

（1）直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系：相離、相交和相切;（2）從代數(shù)角度，根據(jù)直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)確定位置關(guān)系;（3）熟記平面解析幾何弦長公式、韋達(dá)定理及相關(guān)定義，并能夠靈活運(yùn)用.

2.2 大學(xué)階段學(xué)生對(duì)于圓錐曲線極值求解的認(rèn)知水平

大學(xué)的高等數(shù)學(xué)中的解析幾何不再僅僅是圖形分析，而是利用拉格朗日乘數(shù)法上升到了空間層面，加強(qiáng)了空間想象能力，構(gòu)建了完整的數(shù)學(xué)體系;在中學(xué)解方程組的基礎(chǔ)上學(xué)生要能夠自己構(gòu)建輔助函數(shù)，同時(shí)大學(xué)階段的高等數(shù)學(xué)加強(qiáng)了對(duì)多元函數(shù)、隱函數(shù)的理解，要求學(xué)生提高求解聯(lián)立方程組的能力.

求解圓錐曲線極值問題在中學(xué)與大學(xué)階段運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和方法的比較見表1.

3 圓錐曲線極值求解方法的異同

求解中學(xué)數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可歸結(jié)為求解直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題，抓住變化的量，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而正確解題.

高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的最大區(qū)別首先在于高等數(shù)學(xué)是以變量為研究對(duì)象，而初等數(shù)學(xué)是以常量為研究對(duì)象的.其次初等數(shù)學(xué)的解題方法技巧性強(qiáng)，但高等數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是思想、概念，追求的是統(tǒng)一的方法，具有較強(qiáng)的工具性.

在圓錐曲線的極值求解的題目中，很多條件通過隱含條件推導(dǎo)出來，故而出現(xiàn)多種變量，多次方程，同時(shí)計(jì)算量加大，但是若能清晰地知道其中的由來，理清思路，正確計(jì)算輔助方程，解題就會(huì)容易很多.學(xué)生要學(xué)會(huì)運(yùn)用不同的方法分析、總結(jié)同一類問題， 這樣便可以找到最佳的解題路徑， 提高效率.

4 結(jié)論

不論是中學(xué)數(shù)學(xué)還是大學(xué)數(shù)學(xué)的解題方法都反映了解析幾何的本質(zhì)——幾何問題代數(shù)化.學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通過對(duì)類似于這類問題的深度探究，不僅可找到解決此類問題的關(guān)鍵數(shù)學(xué)思想——坐標(biāo)化和運(yùn)動(dòng)變化，而且可以提高其對(duì)極值求解的綜合運(yùn)用能力.

中學(xué)求解極值的方法在解答圓錐曲線一類問題時(shí)具有一定的基礎(chǔ)性，大學(xué)中的曲線方程的極值求解則更具有一般性、系統(tǒng)性.教師唯有讓學(xué)生以更寬廣的思維去理解高中數(shù)學(xué)課程下“圓錐曲線”的知識(shí)內(nèi)容，才能激發(fā)學(xué)生的思考方式，從而幫助學(xué)生在深層次上掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生分析、解決問題的能力.

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