高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的研究

劉清旺

【摘要】該篇文章主要分析了高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，依次分析了兩者的重要性，并就在高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的學(xué)習(xí)中遇到的問題進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù);單調(diào)性;奇偶性

引言：函數(shù)在數(shù)學(xué)章節(jié)中占有非常重要的比重，高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)中非常重要的章節(jié)，

學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，只有不斷地對單調(diào)性和奇偶性進(jìn)行研究才能使其對該知識(shí)點(diǎn)的把握更加?jì)故?

1 單調(diào)性與奇偶性的定義

依據(jù)函數(shù)定義，單調(diào)性問題需在定義域內(nèi)進(jìn)行研究.在某區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，主要體現(xiàn)該區(qū)間內(nèi)函數(shù)的變化趨勢，可表示函數(shù)區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，但無法確定在定義域范圍外的函數(shù)性質(zhì).因此，對于單調(diào)性的實(shí)際含義討論需參照函數(shù)的區(qū)間進(jìn)行.

在學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性時(shí)，學(xué)生切忌直接將f（-x）=f（x）以及f（-x）=-f（x）直接作為函數(shù)奇偶性的判斷條件，需進(jìn)一步確認(rèn)在定義域內(nèi)的x是否可找到與之對應(yīng)的f（-x）.一般情況下，奇偶性可用于描述函數(shù)整體，而單調(diào)性則適用于描述函數(shù)局部圖像.

2 高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的重要性

在初中數(shù)學(xué)中我們就對函數(shù)的單調(diào)性有所探討，但是初中數(shù)學(xué)只是對它進(jìn)行了一個(gè)比較淺顯的介紹，而高中數(shù)學(xué)是把函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性上升到了一個(gè)理論的高度，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語言將它準(zhǔn)確地表達(dá)出來.從初中到高中這種由形到數(shù)、由直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對于高一學(xué)生來說還是有一點(diǎn)困難的，所以學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)要在它的形成上下一些功夫.學(xué)生在高中函數(shù)中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容就是函數(shù)單調(diào)性的證明，剛剛升入高中的學(xué)生還認(rèn)識(shí)不到代數(shù)論證的重要性，所以單調(diào)性的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的第一個(gè)難點(diǎn)，也是高中函數(shù)中非常重要的內(nèi)容，

高中數(shù)學(xué)中函數(shù)是高中課本中非常重要的一部分，它基本上貫穿了整個(gè)高中的數(shù)學(xué)知識(shí).函數(shù)也是歷年高考的重中之重，每年高考都會(huì)在數(shù)學(xué)中占很大的比重.判斷函數(shù)的奇偶性是函數(shù)中比較基礎(chǔ)的知識(shí)，但也是必須掌握的知識(shí).它的難度不大，可以用定義域判斷，也可以根據(jù)定義判斷或者直觀地根據(jù)函數(shù)圖像進(jìn)行判斷.

3 高中數(shù)學(xué)中抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性在學(xué)習(xí)時(shí)存在的問題

3.1 學(xué)生不能掌握數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法

數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)一種非常重要且常用的方法，它主要是用數(shù)和形二者一一對應(yīng)的關(guān)系來解決數(shù)學(xué)問題的，它把抽象的函數(shù)與直觀的幾何圖形相互結(jié)合，這樣可以把復(fù)雜抽象的函數(shù)問題簡單具體化，從而找到最簡單的解題途徑.

但是大部分學(xué)生還不能很好地應(yīng)用這一辦法，學(xué)生解決函數(shù)單調(diào)性的問題還是更多地依靠自身想象，所以他們解決函數(shù)問題時(shí)就比較困難.

3.2 對定義域的理解較為抽象

函數(shù)的定義域是函數(shù)中非常重要的部分，它是求函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性時(shí)必不可少的.函數(shù)的定義域會(huì)決定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，但是學(xué)生并不能理解函數(shù)定義域的內(nèi)涵和它自身重要的作用，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來就比較困難.

例如，設(shè)函數(shù)f（x2）的定義域是{-1，1}，則函數(shù)f（x）的定義域是什么？因?yàn)閷W(xué)生不能理解定義域，所以也難以求出正確的答案，也就沒辦法繼續(xù)往下求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性.

4 單調(diào)性與奇偶性的判斷及相關(guān)應(yīng)用.

（1）奇偶性判斷.

5.3 參數(shù)范圍

函數(shù)的參數(shù)隱藏在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算方式中，主要是利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)在定義域中的遞增遞減性，去掉函數(shù)的“f”符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組，然后對其進(jìn)行求解.但是值得特別關(guān)注的是函數(shù)定義域的限制.

5.4 不等式

解函數(shù)不等式有兩種方法.第一種方法是解不等式，該種類的不等式需要將不等式中的常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)的數(shù)值，然后通過函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)符號(hào)去掉轉(zhuǎn)化成數(shù)之后進(jìn)行求解.第二種方法是對不等式進(jìn)行討論，這樣的不等式一般都是利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求解.

5.5 函數(shù)值大小的比較

函數(shù)值大小的比較要利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，用這兩種性質(zhì)將函數(shù)的自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)某個(gè)區(qū)間內(nèi)，然后用函數(shù)的單調(diào)性來對它的大小進(jìn)行比較.

5.6 綜合問題求解

解決函數(shù)問題時(shí)一定要把握好三點(diǎn)：函數(shù)的定義域應(yīng)用;函數(shù)的奇偶性應(yīng)用;函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用.

綜上所述的函數(shù)類型題是在函數(shù)考試中最常出現(xiàn)的熱點(diǎn)問題，在日常學(xué)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對這些問題進(jìn)行良好的研究、解析、歸納、思考.學(xué)生要把這幾種類型題熟記于心，進(jìn)而才能深化解決這類問題，做到舉一反三.函數(shù)的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力.

結(jié)語：在高中數(shù)學(xué)中，單調(diào)性與奇偶性的掌握為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的研究可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)，加快學(xué)生對函數(shù)的解題速度，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作鋪墊.

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