探究無窮限廣義積分的計算方法

陳 飛

(商丘職業(yè)技術學院，河南 商丘 476100)

微積分學習中,廣義積分的概念比較抽象,與定積分的求法差異較大，是微積分學習的一個難點.無窮限廣義積分計算的方法多種多樣,合理的運用計算方法可以降低求解問題的難度.本文就無窮限廣義積分常用的求解方法進行分析探討,并結(jié)合具體例題進行講解.

1 無窮限廣義積分的概念

2 幾種計算方法的解析

2.1 運用定義進行求解

無窮限廣義積分的求解可以借助其定義,按照求定積分的方法求出原函數(shù),然后取極限,進而判斷其斂散性及求值.

為了書寫簡便,廣義積分的計算過程可仿照牛頓—萊布尼茲公式簡記為

其中F(x)是f(x)的一個原函數(shù).

按照這種簡便書寫格式，例1的計算過程可寫為

2.2 運用等量代換進行求解

在運用定義法求廣義積分時,有時被積函數(shù)不容易求得,這時,可以借助等量代換的方法.在等量代換時,要注意被積函數(shù)和積分上下限的變換.

2.3 運用二重積分進行求解

對于一些類型的廣義積分,可以通過變換，把廣義積分巧妙地化為一個二重積分.然后,計算二重積分,從而間接地計算出廣義積分的值[2]19-22.

再轉(zhuǎn)化為二重積分的極坐標進行計算

2.4 積分號下求導法計算無窮限廣義積分

這種方法是對被積函數(shù)引入一個收斂因子,因子中有一個參數(shù),對參數(shù)求導,有時可求得原積分的值.在此情況下引入的收斂因子加強了原積分的收斂性.這樣使積分號下求導條件得以滿足.一般采用e-kx(k>0)作為收斂因子[3]84-86.

2.5 積分號下求積分法計算無窮限廣義積分

這種方法是將被積函數(shù)中某一因子表示為一個適當?shù)姆e分.于是將原積分化成二次積分，交換這兩個積分的順序,就可求出所給的積分.

所以I=Ce-β，為了確定C,令β=0.

2.6 運用Laplace變換進行求解

由Laplace變換的定義及積分性質(zhì)可得

2.7 運用級數(shù)展開法進行求解

對于一些類型的廣義積分,可以通過將被積函數(shù)展成級數(shù),或者將無窮區(qū)間上的廣義積分表示成級數(shù)的形式進行求解[5]67-69.

2.8 運用概率密度函數(shù)性質(zhì)進行求解

設連續(xù)型隨機變量X,服從參數(shù)μ,σ2(σ>0)的正態(tài)分布[5]67-69.

其概率密度函數(shù)為

2.9 運用留數(shù)計算進行求解

由于被積函數(shù)為偶函數(shù),故

3 結(jié)語

無窮限廣義積分是積分知識的一個難點.針對不同形式的無窮限廣義積分,在求解過程中,我們可以借助相關的數(shù)學知識,采用多種方法進行求解.本文介紹了幾種常用的求解方法,對解決相同類型的無窮限廣義積分具有現(xiàn)實意義.