強(qiáng)化算理培養(yǎng)數(shù)感

樂(lè)俊松

【摘要】計(jì)算與數(shù)感相互依存、相互促進(jìn)，計(jì)算是數(shù)感培養(yǎng)的載體，計(jì)算能力的提升受益于良好的數(shù)感意識(shí).計(jì)算中的理就是數(shù)理和算理，口算、筆算的教學(xué)應(yīng)從數(shù)理入手，算理提供理論支撐;估算需要算理正方向;四則混合運(yùn)算需要算理定規(guī)則.數(shù)感需要在計(jì)算過(guò)程中逐步培養(yǎng)，數(shù)感能進(jìn)一步提升計(jì)算能力，兩者相互關(guān)聯(lián)、相互促進(jìn)，只有在數(shù)理和算理的指導(dǎo)和規(guī)范下形成的數(shù)感意識(shí)才經(jīng)得起推敲，才能有效提升我們的計(jì)算效率.

【關(guān)鍵詞】計(jì)算;算理;數(shù)感;依存;促進(jìn)

語(yǔ)文有語(yǔ)感，音樂(lè)有樂(lè)感，數(shù)學(xué)也有數(shù)感.語(yǔ)感的培養(yǎng)強(qiáng)調(diào)多讀，因?yàn)椤皶?shū)讀百遍，其義自見(jiàn)”;樂(lè)感更講求天賦，五音不全難以形成樂(lè)感;數(shù)感的培養(yǎng)側(cè)重于“講理”，因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門(mén)講道理的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)之間相互聯(lián)系，數(shù)學(xué)分析、思考、推理都有嚴(yán)密的邏輯性.計(jì)算作為小學(xué)數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容之一，自然也不能缺少以上屬性.計(jì)算與數(shù)感相互依存、相互促進(jìn)，計(jì)算是數(shù)感培養(yǎng)的載體，計(jì)算能力的提升又受益于良好的數(shù)感意識(shí).計(jì)算中的理就是數(shù)理和算理.

小學(xué)階段的數(shù)理就是數(shù)的組成，如一個(gè)數(shù)是由哪些計(jì)數(shù)單位組成的？分別有幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位？算理是指四則運(yùn)算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)，其內(nèi)涵包括數(shù)和運(yùn)算的意義、運(yùn)算的規(guī)律和性質(zhì).算理是說(shuō)明“為什么這樣算”的數(shù)學(xué)原理，為學(xué)生形成可操作化的計(jì)算提供了正確可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)與思維過(guò)程，是學(xué)生運(yùn)算能力形成與提高的有力支撐.

下面，我們從口算、筆算、估算、綜合運(yùn)算等方面談一談具體的做法，希望能夠?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教師以及相關(guān)教育研究人員提供一定的參考.

一、口算、筆算的教學(xué)應(yīng)從數(shù)理入手，算理提供理論支撐

首先，教師要讓學(xué)生明白參與計(jì)算的對(duì)象（每一個(gè)數(shù)）的組成，如它是由哪些計(jì)數(shù)單位組成的？分別有幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位？其次，教師要讓學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在遵從算理的基礎(chǔ)上進(jìn)行嘗試、探討并總結(jié)出算法，算法是讓學(xué)生明白怎么算，而算理是讓學(xué)生理解為什么要這樣算，保證算法的正確性.如果要解決好為什么這樣算，就要結(jié)合不同運(yùn)算的意義，教師要先通過(guò)形象直觀的手段讓學(xué)生對(duì)相應(yīng)運(yùn)算形成感知，再通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生感悟其中的本質(zhì)，最終形成算法，然后結(jié)合數(shù)理特征形成數(shù)感，用以支撐后續(xù)的學(xué)習(xí)、工作和生活.例如，在教學(xué)人教版三年級(jí)下冊(cè)第2單元“筆算除法”一課時(shí)，筆者對(duì)教材和教學(xué)環(huán)節(jié)做了一些創(chuàng)新處理，這一教學(xué)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)表內(nèi)除法的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，學(xué)生有了用乘法口訣進(jìn)行筆算除法的基礎(chǔ)，知道豎式除法中各部分的名稱(chēng)，但僅限于除數(shù)是一位數(shù)、商也是一位數(shù)的情況.教師在課前復(fù)習(xí)中為學(xué)生準(zhǔn)備了激趣比賽，第一、二組的題目是35÷7，63÷9，18÷3;第三、四組的題目是32÷7，61÷9，20÷3.為了突出效果，教師讓做完的學(xué)生站起來(lái)為大家加油.實(shí)際上完全達(dá)到了預(yù)期效果，到了1分鐘后，第一、二組的學(xué)生全部完成，第三、四組的學(xué)生僅有兩人完成.第三、四組的學(xué)生質(zhì)疑比賽的公平性，教師指導(dǎo)學(xué)生依次列豎式計(jì)算以上全部題目，并要求全班學(xué)生共同列豎式計(jì)算32÷7，以此復(fù)習(xí)豎式除法的書(shū)寫(xiě)格式及各部分的名稱(chēng)和意義，為新授“商是兩位數(shù)的除法”做好鋪墊.在新授過(guò)程中，筆者始終強(qiáng)調(diào)記錄除法豎式的方式既要直觀，方便觀察，又要有道理，滿足一般性.筆者把例題改為兩人分42元，讓學(xué)生實(shí)際操作平均分的過(guò)程，并列豎式把分的過(guò)程記錄下來(lái).先分4張10元，再分2張1元，記錄如下：

先分2張1元，再分4張10元，記錄如下：

筆者繼續(xù)探索十位有余數(shù)的除法，他把例題改為兩人平均分52元，采用相同的探索過(guò)程，用紙幣進(jìn)行分錢(qián)的操作.學(xué)生同樣會(huì)給出兩種分的過(guò)程，先分5張10元，再分2張1元.教師將重點(diǎn)放在和學(xué)生一起探討剩下的一張10元應(yīng)該怎么分.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得出三種可能的操作辦法，第一種是換成兩張5元的，每人1張;第二種是換成10張1元的，每人5張;第三種是換成10張1元，再和原來(lái)2張1元的合起來(lái)分，每人6張.最后，學(xué)生得出第三種操作方法是最佳選擇，因?yàn)樗粌H解決了剩余一張10元的問(wèn)題，而且解決了原來(lái)2張1元的問(wèn)題，方法簡(jiǎn)潔方便.先分5張10元，再分2張1元，記錄如下：

先分2張1元，再分5張10元，用相同的方法進(jìn)行操作和記錄，記錄如下：

通過(guò)對(duì)比，筆者得出筆算除法要從高位除起，因?yàn)槿绻呶挥杏鄶?shù)，就可以換成下一位的計(jì)數(shù)單位，再與下一位一起除，以此類(lèi)推，最終完成除法計(jì)算.

二、估算需要算理定方向

根據(jù)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展規(guī)律以及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，四則混合運(yùn)算按照加、減、乘、除的順序編排，在學(xué)習(xí)相應(yīng)的口算后，學(xué)生都會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的估算學(xué)習(xí)，加法、減法和乘法的估算都是根據(jù)實(shí)際需要把相關(guān)的數(shù)據(jù)看成整十、整百或整千數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算.從知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)來(lái)看，減法估算以加法估算為基礎(chǔ)，乘法估算以加、減法估算為基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)估算方法了然于心，看到估算自然先找相關(guān)數(shù)據(jù)的近似數(shù)，再按照運(yùn)算符號(hào)口算出結(jié)果.學(xué)生憑借已有的經(jīng)驗(yàn)往往會(huì)套用原有的估算方法，把被除數(shù)看成接近的整十、整百數(shù)再除，得到的結(jié)果就是要么估算不準(zhǔn)確，要么無(wú)法估算.例如，當(dāng)分析233÷8的估算時(shí)，學(xué)生往往先把233看成230，再除以8，只能商2，因?yàn)楫?dāng)商30時(shí)，30×8=240，240>230，這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)估算錯(cuò)誤的情況，有的學(xué)生還會(huì)因?yàn)?30÷8得不到整十?dāng)?shù)，而得不出估算結(jié)果.出現(xiàn)這種問(wèn)題的原因是學(xué)生估算以上除法時(shí)，完全依靠經(jīng)驗(yàn)，而忽略了計(jì)算的核心算理.除法計(jì)算的重要步驟是試商，試商是根據(jù)除數(shù)的口訣找到與被除數(shù)相對(duì)應(yīng)的這一句，以此為依據(jù)得出估算的結(jié)果.例如，當(dāng)估算503÷70時(shí)，學(xué)生應(yīng)該根據(jù)7的乘法口訣七七四十九，把503看成490，因?yàn)?90÷7=70，所以503÷7≈70.只有遵循算理所培養(yǎng)形成的數(shù)感意識(shí)才是有效的數(shù)感意識(shí)，否則偽數(shù)感意識(shí)越強(qiáng)，對(duì)計(jì)算準(zhǔn)確性的危害就越大.數(shù)感的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的培養(yǎng)和練習(xí)的.為了能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，數(shù)學(xué)教師需要在日常教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生針對(duì)多位數(shù)乘兩位數(shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)、表內(nèi)乘除法等進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，以提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)估算的數(shù)感，尤其是特殊數(shù)乘積的訓(xùn)練，如25×5，50×8，75×4，125×5等.通過(guò)此類(lèi)練習(xí)，學(xué)生能夠?qū)μ厥鈹?shù)建立敏感度.如當(dāng)看到126時(shí)，學(xué)生能夠聯(lián)想到126=125+1;當(dāng)看到97時(shí)，學(xué)生能夠聯(lián)想到97=100-3.

三、四則混合運(yùn)算需要算理定規(guī)則

四則混合運(yùn)算是在加、減、乘、除四種單向運(yùn)算的基礎(chǔ)上，通過(guò)規(guī)則和運(yùn)算定律來(lái)限定運(yùn)算順序的綜合性計(jì)算.俗話說(shuō)，沒(méi)有規(guī)矩，不成方圓，四則混合運(yùn)算的規(guī)矩就是運(yùn)算順序（括號(hào)→第二級(jí)運(yùn)算→第一級(jí)運(yùn)算）.運(yùn)算參與者必須遵從這一相同的運(yùn)算順序，在保證單項(xiàng)計(jì)算正確的情況下，就能得出相同的答案，即標(biāo)準(zhǔn)答案.在日常教學(xué)中，教師經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，并對(duì)多解進(jìn)行優(yōu)選.判斷一個(gè)算法是否可用，要從三個(gè)維度考慮：一是多數(shù)學(xué)生喜不喜歡;二是教師易教、學(xué)生易學(xué);三是對(duì)后面知識(shí)的學(xué)習(xí)有幫助.最理想的算法是三個(gè)方面都具備，隨著年級(jí)的升高，學(xué)生更偏向于算法會(huì)對(duì)后面知識(shí)的學(xué)習(xí)有幫助.通過(guò)對(duì)四則混合運(yùn)算意義的研究，教師發(fā)現(xiàn)一些算式具有本質(zhì)的規(guī)律，由此總結(jié)出五個(gè)運(yùn)算定律和兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì).這些運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)正好符合以上三個(gè)維度.如果根據(jù)加法的意義“把兩個(gè)加數(shù)合并成一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算”可知計(jì)算結(jié)果只跟兩個(gè)數(shù)合并有關(guān)，與兩個(gè)數(shù)出現(xiàn)的先后順序無(wú)關(guān)，那么得出加法交換律a+b=b+a.例如，算式35×72+35×28的意義是72個(gè)35與28個(gè)35合并起來(lái)，也就是100個(gè)35，具有這一特征的算式都有這一共性，這一共性還具有可逆性，由此得出乘法分配律a×（b+c）=a×b+a×c.運(yùn)算定律的應(yīng)用，實(shí)際是對(duì)運(yùn)算順序的優(yōu)化，由此產(chǎn)生了簡(jiǎn)便運(yùn)算，簡(jiǎn)便運(yùn)算不是對(duì)運(yùn)算順序的人為改變，而是對(duì)某一類(lèi)算式的內(nèi)部特征的優(yōu)化，由此可見(jiàn)，遵守四則混合運(yùn)算的規(guī)則（運(yùn)算順序、運(yùn)算定律）尤為重要，否則會(huì)直接導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果的錯(cuò)誤，計(jì)算簡(jiǎn)便與否就無(wú)從談起.以上道理不僅教師要深入理解、清醒認(rèn)識(shí)，更重要的是學(xué)生要有清醒的認(rèn)識(shí).只有這樣，學(xué)生才會(huì)主動(dòng)審題，找到解決計(jì)算題的最優(yōu)方法.在達(dá)到這一要求并結(jié)合適當(dāng)?shù)木毩?xí)鞏固后，學(xué)生就在潛移默化中增加了對(duì)算式中數(shù)、符號(hào)特征的把握，快速形成解決策略，進(jìn)而形成數(shù)感意識(shí).考查學(xué)生是否掌握了乘法分配律，可以設(shè)計(jì)這樣的選擇題，即與613×15-13×15不同類(lèi)的算式是（）.A.38×25+38×75，B.613-13×15，C.72×18-12×18，D.613×99+613，選擇答案為B、D中的一個(gè)或同選的學(xué)生完全不理解乘法分配律，因?yàn)樗麄冎皇菑臄?shù)是否相同或相似來(lái)選擇，沒(méi)有從乘法分配律的實(shí)質(zhì)進(jìn)行研究.題干中的算式是乘法分配律的逆運(yùn)用，我們應(yīng)該判斷四個(gè)選項(xiàng)是否滿足乘法分配律的逆運(yùn)用，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，只有與題干神似的B項(xiàng)不滿足乘法分配律.為了便于學(xué)生準(zhǔn)確地理解和快速掌握四則混合運(yùn)算的算理，教師可以采用生活化教學(xué)模式.

例如，小A同學(xué)去買(mǎi)跳棋和圍棋，買(mǎi)5副圍棋的價(jià)格為75元，買(mǎi)4副跳棋的價(jià)格為48元，1副圍棋比1副跳棋貴多少元？教師在課堂上問(wèn)道：“哪名同學(xué)可以說(shuō)一說(shuō)這道題的數(shù)量關(guān)系式？”同學(xué)們積極踴躍地發(fā)言，教師在黑板上板書(shū)其數(shù)量關(guān)系式：圍棋的單價(jià)-跳棋的單價(jià)=1副圍棋比1副跳棋貴的錢(qián).教師進(jìn)一步問(wèn)道：“同學(xué)們是否可以列出這一道題的綜合算式？”同學(xué)們主動(dòng)思考和計(jì)算，教師可以在同學(xué)們計(jì)算的過(guò)程中進(jìn)行指導(dǎo)，用恰當(dāng)?shù)脑捳Z(yǔ)幫助同學(xué)們確定先算什么，再算什么，圍棋的單價(jià)不會(huì)對(duì)跳棋的單價(jià)產(chǎn)生影響，先進(jìn)行各自單價(jià)的計(jì)算，再進(jìn)行綜合計(jì)算.計(jì)算過(guò)程表現(xiàn)為：

75÷5-48÷4=15-12=3（元）

同時(shí)，教師可以提問(wèn)：“如果只買(mǎi)1副圍棋和1副跳棋，一共需要花多少元錢(qián)？”計(jì)算過(guò)程表現(xiàn)為：

75÷5+48÷4=15+12=27（元）

教師讓同學(xué)們仔細(xì)觀察計(jì)算過(guò)程，計(jì)算過(guò)程中先算除法，再算加、減法和四則混合運(yùn)算的算理相吻合.生活案例的運(yùn)用，能夠?qū)⒊橄蟮闹R(shí)具象化，如張景中院士所說(shuō)，推理是抽象的計(jì)算，計(jì)算是具體的推理，只有學(xué)生多根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行加減、乘除算法練習(xí)，才能在生活案例中掌握四則混合運(yùn)算的順序.數(shù)學(xué)教師需要做好正確的引導(dǎo)工作，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)推理對(duì)四則混合運(yùn)算的算理、規(guī)則等進(jìn)行歸納和總結(jié)，對(duì)于沒(méi)有括號(hào)的四則混合運(yùn)算算式，如果只有乘法、除法或只有加法、減法，就按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算;如果算式中既有加、減法，又有乘、除法，就需要先進(jìn)行乘、除法計(jì)算，再進(jìn)行加、減法計(jì)算.教師在引導(dǎo)和講解的過(guò)程中需要有耐心，部分學(xué)生可能在自己練習(xí)的過(guò)程中出現(xiàn)計(jì)算順序錯(cuò)誤的情況，教師需要及時(shí)進(jìn)行講解和辨析，重點(diǎn)滲透算理和規(guī)則意識(shí)，保證所有學(xué)生都能夠準(zhǔn)確、完整地掌握四則混合運(yùn)算的算理.如果要解答好四則混合運(yùn)算，那么學(xué)生必須對(duì)運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)有深刻的理解，認(rèn)識(shí)其結(jié)構(gòu)（也就是字母公式），理解其本質(zhì)，明確其適用范圍.以此判斷一道四則混合運(yùn)算是否滿足某一定律、性質(zhì)，如果滿足，就進(jìn)一步思考下一步怎么算，是否能達(dá)到簡(jiǎn)便的目的.有些計(jì)算題可能滿足某一定律，但不能使計(jì)算簡(jiǎn)便，因?yàn)闆](méi)有運(yùn)用運(yùn)算律的必要.簡(jiǎn)便運(yùn)算必須以運(yùn)算律為依據(jù)，只有滿足運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)便運(yùn)算才是講理的，計(jì)算才可能正確，否則違反了規(guī)則，計(jì)算過(guò)程再簡(jiǎn)單，速度再快，也只能得出錯(cuò)誤的結(jié)果，沒(méi)有任何價(jià)值.

數(shù)感需要在計(jì)算過(guò)程中逐步培養(yǎng)，數(shù)感能進(jìn)一步提升計(jì)算能力，兩者相互關(guān)聯(lián)、相互促進(jìn)，只有在數(shù)理和算理的指導(dǎo)和規(guī)范下形成的數(shù)感意識(shí)才經(jīng)得起推敲，才能有效提升學(xué)生的計(jì)算效率.

【參考文獻(xiàn)】

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