關于復合函數(shù)求導教學的思考

黃曉悅

【摘要】高職院校中，高等數(shù)學是公共基礎課，學生學習高等數(shù)學的目的是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，更好地為專業(yè)服務.本文以復合函數(shù)求導為例，從教師教學的視角簡要分析復合函數(shù)求導內容，希望學生在學習中，提高數(shù)學素養(yǎng)，將數(shù)學知識融入專業(yè)課中，為專業(yè)服務.

【關鍵詞】復合函數(shù);求導;教學

在高職院校，部分專業(yè)會開設高等數(shù)學課程.高等數(shù)學是公共基礎課，學生學習高等數(shù)學的目的是

培養(yǎng)學生的數(shù)學思維

，更好地為專業(yè)服務.眾所周知，函數(shù)在數(shù)學中的地位舉足輕重，它涉及的知識點繁多，綜合性強，是數(shù)學教學的核心內容.在微分學中，復合函數(shù)求導的鏈式法則是函數(shù)求導運算的基本工具.下面，本文就以復合函數(shù)為例，簡要闡述關于復合函數(shù)求導教學的思考.

復合函數(shù)求導包括兩個知識點，一個是復合函數(shù)，另一個則是求導.學生只有將這兩個知識點都掌握，才能夠順利地求解復合函數(shù)求導的題目.那么，什么是復合函數(shù)？如何認識復合函數(shù)？怎樣求導復合函數(shù)？

我們先來談談第一個問題：什么是復合函數(shù)？

學生理解和掌握復合函數(shù)概念的前提是充分掌握基本初等函數(shù)，而基本初等函數(shù)又有哪些呢？現(xiàn)在我們來整理一下，基本初等函數(shù)包括指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù).基本初等函數(shù)和復合函數(shù)之間的關系是什么呢？如果基本初等函數(shù)的自變量位置不是自變量自己，而是自變量的一個函數(shù)，那么此函數(shù)必為復合函數(shù).或者說，復合函數(shù)就是一個“函數(shù)的函數(shù)”.接下來，我們來舉一些例子認識一下復合函數(shù).

例1y=（1-x2）5是復合函數(shù)嗎？如果是，請問它由哪些基本初等函數(shù)構成？

例1中的函數(shù)是復合函數(shù)，它是由y=u5和u=1-x2這兩個函數(shù)復合而成的，前者是冪函數(shù)，后者是二次函數(shù).u起到橋梁的作用，稱為中間變量.

例2y=2sin2x是復合函數(shù)嗎？如果是，請問它由哪些基本初等函數(shù)構成？

例2中的函數(shù)也是復合函數(shù)，它是由y=2u，u=v2，v=sinx這三個基本初等函數(shù)復合而成的，其中y=2u是指數(shù)函數(shù)，u=v2是冪函數(shù)，v=sinx是正弦函數(shù).u和v起到橋梁的作用，稱為中間變量.

在以上兩個例子當中，我們介紹了復合函數(shù)和基本初等函數(shù)的關系.教師在講解時，需要幫助學生復習基本初等函數(shù)的類型及表達式等內容，鞏固學生的基礎知識.在學習中，學生要能夠從一個較為復雜的函數(shù)表達式中通過引入中間變量分解出基本初等函數(shù)，并且能說明基本初等函數(shù)的類型及表達式，而且能夠舉一反三，反過來，也能將基本初等函數(shù)組合成復合函數(shù)，從而使逆向思維得到鍛煉.

在學生充分掌握復合函數(shù)概念的基礎上，教師應該怎樣講解復合函數(shù)的求導法則，學生才能容易理解呢？教師在講解復合函數(shù)求導概念之前，可以先給學生下發(fā)一些預習材料，如閱讀材料——《事物的相對性》，這篇閱讀材料從“牛頓力學認為空間是絕對的”出發(fā)，穿插“宇宙中不存在絕對運動，只有相對于另一體系的相對運動概念”，同時列舉了“絕對時間是錯誤的”“愛因斯坦相對論”等材料，最終闡明一個觀點，那就是對于人們的日常工作、生活來講，事物的相對性說明我們看問題、做事情應該因時、因地、因人而異.

有了這篇閱讀材料，教師在講解復合函數(shù)求導概念時，應該著重強調復合函數(shù)求導過程中的相對概念，也就是“誰對誰的求導”，換句話說，誰是自變量，誰是函數(shù)，誰是中間變量.復合函數(shù)求導是函數(shù)y對自變量x求導，而不是函數(shù)y對中間變量u求導，也不是中間變量u對自變量x求導.因此，復合函數(shù)的求導法則是鏈式法則（y′x=y′u·u′x），也就是說，學生在求解復合函數(shù)求導題目時，需要分別求出函數(shù)y對中間變量u的導數(shù)和中間變量u對自變量x的導數(shù)，然后再將兩者相乘，才能夠得到函數(shù)y對自變量x的導數(shù).

接下來，我們簡要證明一下鏈式法則，證明過程如下：dydx=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0（ΔyΔu·ΔuΔx）=limΔx→0ΔyΔu·limΔx→0ΔuΔx=dydu·dudx.在學生理解并掌握鏈式法則的前提下，教師可以列舉幾個例子來引導學生使用鏈式法則.

例3求下列函數(shù)的導數(shù).

（1）y=ex2（2）y=sin（1-2x）（3）y=cos2x

解（1）函數(shù)y=ex2由函數(shù)y=eu和u=x2復合而成.

因此，由鏈式法則可知，

y′=（eu）′·（u）′=（eu）′·（x2）′=eu·2x=ex2·2x=2xex2.

（2）函數(shù)y=sin（1-2x）由函數(shù)y=sinu和u=1-2x復合而成.

因此，由鏈式法則可知，

y′=（sinu）′·（u）′=（sinu）′·（1-2x）′=cosu·（-2）=-2cosu=-2cos（1-2x）.

（3）函數(shù)y=cos2x由函數(shù)y=u2和u=cosx復合而成.

因此，由鏈式法則可知，

y′=（u2）′·（u）′=（u2）′·（cosx）′=2u·（-sinx）=2cosx·（-sinx）=-2sinx·cosx=-sin2x.

在求函數(shù)的導數(shù)時，學生需要仔細觀察復合函數(shù)的結構，學會引入中間變量，首先將復合函數(shù)進行拆分，從外向內逐層拆分.然后，使用鏈式法則對復合函數(shù)進行求導.但學生初學時，在求導過程中，應寫清楚每一步，熟練后則可以省略簡要步驟，由外層向內層逐層求導，直到關于自變量求導.最后，要將求導結果進行化簡還原，結果中不能出現(xiàn)還未化簡的表達式，同時不能出現(xiàn)中間變量.

如果學生對以上三道練習題已經(jīng)充分掌握，那么教師可以嘗試加大難度，將復合次數(shù)增加，或者提高函數(shù)形式的復雜性.

例4求下列函數(shù)的導數(shù).

（1）y=（lnlnx）3（2）y=x·sin1x

解（1）函數(shù)y=（lnlnx）3由y=u3，u=lnv，v=lnx復合而成.

因此，由鏈式法則可知，

y′=（u3）′·（lnv）′·（lnx）′=3u2·1v·1x=3（lnv）2·1v·1x=3（lnlnx）2·1lnx·1x=3（lnlnx）2lnx·x.

（2）在函數(shù)y=x·sin1x中，sin1x是復合形式，我們可以先求出sin1x的導數(shù)，假設f=sin1x，則

f′=sin1x′=cos1x·-1x2=-1x2cos1x

利用導數(shù)的運算公式，可以進一步求出

y′=（x）′·sin1x+xsin1x′=1·sin1x+x-1x2cos1x=sin1x-1xcos1x

相較于之前例3中的三個練習題，例4中的兩個練習題難度明顯增加.第一個題目中復合函數(shù)的復合次數(shù)是三次，因此學生在求解題目時，必須先從外到內，將復合函數(shù)拆分，再進行求導運算;第二個題目是初等函數(shù)的求導運算，需要使用復合函數(shù)的鏈式法則，以及導數(shù)運算公式的乘積運算法則.學生在求解題目時，要把握好函數(shù)的整體結構，分析出哪部分表達式是復合的，并且能靈活運用導數(shù)的運算法則，否則極有可能出錯.

除此之外，還有一類題目非常常見，也是求導題目中的核心內容，我們一起來看一個例子.

例5求曲線y=e2x+x2過點（0，2）的切線方程.

這道例題的形式與之前都不同，之前的例題都是直接告訴函數(shù)表達式，請學生求出對應的導數(shù)，而例5是求曲線的切線方程，那么，切線方程和復合函數(shù)求導之間又有什么聯(lián)系呢？

下面，我們就一起來求解這道例題.

解y′=（e2x+x2）′=（e2x）′+（x2）′=e2x·2+2x=2e2x+2x

切線的斜率為k=y′x=0=2e2x+2x=2.

利用直線的點斜式方程可得，切線的方程為

y-2=2（x-0），化簡可得，y=2x+2.

因此，切線方程為y=2x+2.

在例5中，曲線的表達式是復合函數(shù)，由導數(shù)的幾何意義我們知道，過點（0，2）的切線的斜率就是該復合函數(shù)的導數(shù)，因此教師在講解這道例題時，有必要幫助學生復習一下導數(shù)的幾何意義，但不必長篇大論，這樣學生就可以理解為什么需要先求導，才能求出切線的斜率.另外，由題目的已知條件可判斷出利用直線的點斜式方程可以順利求出過點（0，2）的切線方程，因此教師需要帶領學生分析題目已知條件.當然，這個教學過程應該在第一步進行.題目中已經(jīng)告訴切線上一點的坐標，就是（0，2），并且切線的斜率也是可以求出來的，因此使用直線的點斜式方程來求解題目最合適不過，這個步驟可以讓學生自己思考，得出求解切線方程最恰當?shù)姆椒?

教師在講解時，可以帶領學生參照例5的分析過程，鼓勵學生獨立思考，踴躍提出自己的想法和見解.教師對獨到的見解應加以鼓勵，對不正確的想法應加以糾正，逐步地引導學生完成題目，并總結同類型題目的求解方法和解題過程.學生在獨立完成題目后，自信心會大大增強，學習熱情也會高漲，對今后學習數(shù)學大有幫助.

最后，總結一下關于復合函數(shù)求導教學的思路.

一、學情分析.教師需要提前了解學生對復合函數(shù)概念的掌握情況，不同院系、不同專業(yè)的學生數(shù)學基礎存在差異，因此教師充分分析學生基礎是進行復合函數(shù)求導教學的前提條件之一.

二、復合函數(shù)概念復習.在學情分析過后，教師對學生基礎有了整體把握，并發(fā)現(xiàn)這時能夠掌握復合函數(shù)概念的學生占全部學生的一少部分，因此教師有必要帶領學生共同復習復合函數(shù)的概念，并加以練習，鞏固學生對復合函數(shù)概念的理解.

三、教師通過材料引入，引導學生發(fā)現(xiàn)復合函數(shù)求導法則.在這一環(huán)節(jié)，教師需要提前將課外閱讀材料下發(fā)給學生，學生在課前學習材料，討論交流，體會事物的相對性這一概念，為后續(xù)學習復合函數(shù)求導法則打下基礎.課堂上，教師可以根據(jù)學生課前的閱讀心得，引導學生探討復合函數(shù)求導運算中的相對性概念，即函數(shù)y對自變量x求導.在相對性概念中，學生能夠理解復合函數(shù)求導中使用鏈式法則的原因.

四、學習例題，完成練習，鞏固鏈式法則.學生學習鏈式法則后，需要趁熱打鐵，學習例題，掌握鏈式法則的解題格式，并在練習題中加以運用，這樣學生對鏈式法則的認識會更加透徹.

五、增加難度，鍛煉學生的數(shù)學思維和解題能力.學生在學會簡單使用鏈式法則后，教師可以適當增加難度，幫助學生進一步認識鏈式法則.在整個運算過程中，學生的解題能力、分析能力都會得到鍛煉和培養(yǎng)，學習數(shù)學的信心也會增強.

復合函數(shù)求導的題目千變萬化，本文無法一一列舉，僅列舉了一些具有代表性的例題，但萬變不離其宗，教師在講授復合函數(shù)求導題目時，應當準確把握復合函數(shù)求導題目的類型，選擇典型例題進行主要分析和講解，在講解時需要注重學生在課堂中的主體性，帶領學生分析題目，把握重點，規(guī)范解題格式.教師在課堂上適當穿插練習，循序漸進地引導學生自主發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題，及時鞏固新知，最后達到舉一反三的目的.學生在學習過程中，通過獨立思考、類比歸納、合作交流等方式，學習例題，完成隨堂練習，大大提升學習效率，有效激發(fā)數(shù)學學習興趣，提高數(shù)學素養(yǎng)，同時學生的情感世界獲得發(fā)展和提升，并為專業(yè)課的學習打下堅實的數(shù)學基礎.

【參考文獻】

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