簡(jiǎn)析中考題探索線段長(zhǎng)度問(wèn)題的求解策略

趙福

【摘要】在初中的數(shù)學(xué)學(xué)科中，關(guān)于幾何部分，學(xué)生主要學(xué)習(xí)平面圖形，而線段是構(gòu)成平面圖形的要素，因此解析初中幾何時(shí)，學(xué)生必須熟練掌握線段長(zhǎng)度的解決方法.在中考中，幾何計(jì)算占比較大，屬于重點(diǎn)得分項(xiàng).本文就中考題中解析線段長(zhǎng)度的方法進(jìn)行分析，旨在為今后的教學(xué)提供幫助.

【關(guān)鍵詞】中考題;線段;求解

在初中階段，平面幾何為數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，在考試中占比較大.而解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)最常見(jiàn)的是求解線段長(zhǎng)度.因此，本文就線段長(zhǎng)度的求解方式總結(jié)出以下方法.

一、在一條線段上同時(shí)存在多條線段

例1如圖1所示，已知線段AB的長(zhǎng)度為20，AC的長(zhǎng)度為7，求BC的長(zhǎng)度.

分析這道題屬于平面幾何中最簡(jiǎn)單的求線段長(zhǎng)度問(wèn)題.通過(guò)觀察線段，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)C在AB上，AC+BC=AB，因此BC=AB-AC.解這類(lèi)題的關(guān)鍵就在于讀圖，確定點(diǎn)與線段的位置[1].

二、求解三角形的邊長(zhǎng)或高

例2如圖2所示，在直角三角形ABC中，已知AB長(zhǎng)度為10，AC長(zhǎng)度為8，求BC的長(zhǎng)度.

分析在直角三角形中，已知斜邊長(zhǎng)與一條直角邊長(zhǎng)，求另一條直角邊長(zhǎng)，學(xué)生可以果斷利用勾股定理進(jìn)行求解.這類(lèi)題的解析思路是依據(jù)圖形的性質(zhì).

例3如圖3所示，在等腰三角形中，AC長(zhǎng)度為6，AB長(zhǎng)度為10，求三角形AB邊上的高.

分析解析這道題需要根據(jù)圖形性質(zhì).因?yàn)樗堑妊切?，所以AC=BC=6，且AB上的高將三角形ABC分為兩個(gè)完全一樣的直角三角形.因此，AB2是分割后小直角三角形的一條直角邊.因?yàn)橐阎边呴L(zhǎng)，所以學(xué)生可以利用勾股定理算出高.

三、將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形求解

例4如圖4所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB=13，BC=10，求AB的長(zhǎng).

解過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，這樣就構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形.在△BCD中，tanB=CDBD，所以DB=3CD.由勾股定理，得CD=1，BD=3，在△ACD中，易求AD=3，所以AB=3+3.

此題為作輔助線引出直角三角形的線段長(zhǎng)度問(wèn)題，在中考中十分常見(jiàn)，如學(xué)生不能有效利用轉(zhuǎn)換思維，將無(wú)法求得這道題的答案，因此教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)給予學(xué)生引導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握輔助線應(yīng)如何建立.

四、利用基本圖形定理求出結(jié)果

例5如圖5所示，已知四邊形ABCD為正方形，DF垂直于CE，且DF=10，求CE.

分析解決這類(lèi)題時(shí)，學(xué)生如果對(duì)基本圖形定理的知識(shí)掌握不清晰，就無(wú)從下手，因?yàn)轭}目表面所給出的數(shù)據(jù)少得可憐.在掌握定理后，解題要容易很多.本題中，已知三角形BCE與三角形CDF為直角三角形，且DF垂直于CE，因此可以利用“AAS”定理證明這兩個(gè)三角形全等，那么CE的長(zhǎng)度就可以輕松求出了.

通過(guò)這道題我們可以看出基本圖形定理對(duì)于線段的長(zhǎng)度的求解有至關(guān)重要的幫助，如果掌握不清，就難以下手[2].

五、利用幾何直觀性確定已知量關(guān)系

幾何直觀性是將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言通過(guò)直觀圖形進(jìn)行展示.幾何直觀性的具體應(yīng)用在于將幾何圖形與代數(shù)問(wèn)題相結(jié)合，從而使數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，讓線段長(zhǎng)度的抽象問(wèn)題變得清晰化，進(jìn)而使問(wèn)題更容易解決.幾何直觀性思想的應(yīng)用可以有效提高學(xué)生對(duì)線段知識(shí)的理解能力，可以幫助學(xué)生

熟練掌握

課堂教學(xué)中有關(guān)線段長(zhǎng)度的重點(diǎn)知識(shí).

例6如圖6所示，點(diǎn)C分線段AB為5∶7，點(diǎn)D分線段AB為5∶11，若CD=10cm，求AB.

分析觀察圖形可知DC=AC-AD，根據(jù)已知的線段比的關(guān)系，AC，AD均可用所求量AB表示，這樣通過(guò)已知量DC，即可求出AB.

解因?yàn)辄c(diǎn)C分線段AB為5∶7，點(diǎn)D分線段AB為5∶11，

所以AC=512AB，AD=516AB，

所以DC=AC-AD=512

AB-516AB=548AB，

又因?yàn)镃D=10cm，所以AB=96cm.

在教學(xué)中遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，教師可以通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行幾何直觀性的引導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)會(huì)利用幾何直觀性的思想將線段視為圖像與代數(shù)的組合，這樣解題會(huì)變得更加簡(jiǎn)便.因此，利用幾何直觀性可以有效提高學(xué)生的圖形拼接解題能力，使學(xué)生形成固定的解題規(guī)律.通過(guò)在解題中有效應(yīng)用幾何直觀性思想，學(xué)生對(duì)線段長(zhǎng)度知識(shí)的掌握得到了有效提高.

六、利用線段中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行長(zhǎng)度變換

傳統(tǒng)初中數(shù)學(xué)線段長(zhǎng)度問(wèn)題整體教學(xué)內(nèi)容較為“抽象”，且整體概括性較強(qiáng)，學(xué)生難以通過(guò)傳統(tǒng)的教學(xué)深入理解教學(xué)內(nèi)容.學(xué)生習(xí)慣于用慣性思維來(lái)思考所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣導(dǎo)致了學(xué)生逐漸出現(xiàn)“數(shù)學(xué)思維障礙”.而且初中數(shù)學(xué)線段長(zhǎng)度問(wèn)題的內(nèi)容通?；逎y懂，學(xué)生更習(xí)慣從問(wèn)題的表面理解問(wèn)題，以習(xí)慣的認(rèn)知來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣的情況導(dǎo)致學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)思維能力.學(xué)生在接受新知識(shí)的過(guò)程中，長(zhǎng)期缺乏系統(tǒng)性認(rèn)知，從而導(dǎo)致存在知識(shí)認(rèn)知差異，這樣給提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維帶來(lái)了影響.因此，教師在中考線段長(zhǎng)度習(xí)題教學(xué)中應(yīng)利用線段中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行長(zhǎng)度變換，以此使抽象的線段知識(shí)變得更加直觀.

例7如圖7所示，已知線段AB=80cm，M為AB的中點(diǎn)，P在MB上，N為PB的中點(diǎn)，且NB=14cm，求PA的長(zhǎng).

分析從圖形可以看出，線段AP等于線段AM與MP的和，也等于線段AB與PB的差，所以，欲求線段PA的長(zhǎng)，只要能求出線段AM與MP的長(zhǎng)或者求出線段PB的長(zhǎng)即可.

解因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，NB=14cm，

所以PB=2NB=2×14=28（cm），

又因?yàn)锳P=AB-PB，AB=80cm，

所以AP=80-28=52（cm）.

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是當(dāng)前時(shí)期教學(xué)改革的整體目標(biāo)，因此在例題解答和課堂教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供相關(guān)的數(shù)學(xué)示例，然后讓學(xué)生分組或獨(dú)立分析這些示例以找出所需的數(shù)學(xué)元素，學(xué)生可以通過(guò)分析示例獲得相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和定律.在此類(lèi)線段問(wèn)題的幾何計(jì)算中，教師的解答和教學(xué)必須要結(jié)合圖形中已知線段和所求線段的位置關(guān)系，且習(xí)題解答必須按照步驟進(jìn)行.

七、利用方程求解線段長(zhǎng)度

例8如圖8所示，O為弧CD所在圓的圓心，CD長(zhǎng)度為600，E在弧CD上，OE垂直于CD，垂足為F，EF的長(zhǎng)度為90，求CO.

分析已知三角形OCF為直角三角形，CD=600，F(xiàn)點(diǎn)為垂足，則CF=DF=300，OF=CO-90.有了這些數(shù)據(jù)就可以列出方程了，設(shè)CO為x，則OF=x-90.根據(jù)勾股定理可得x2=3002+（x-90）2，解出x的值即可.

八、利用相似三角形求解線段長(zhǎng)度

相似三角形擁有對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)特征，所求線段是其中一個(gè)三角形的一條邊，然后在另一三角形中找到相似的邊元素，依此羅列出計(jì)算等式，最后求出線段的具體長(zhǎng)度.

例9如圖9所示，AB為圓的直徑，BC為圓的切線，D是圓上一點(diǎn)，并且AD平行于CO，AB=6，BC=4，求線段AD的長(zhǎng)度.

分析在本題中，所求線段AD為三角形ABD的一條邊，已知三角形ABD一條邊AB長(zhǎng)度為6，三角形OBC一條邊BC長(zhǎng)度為4，AB為圓的直徑，因此可得：OB=12AB=3，∠ADB=90°.由BC是圓的切線，可得∠OBC=90°，利用勾股定理可以得出OC的長(zhǎng)度：OC2=OB2+BC2=32+42=25，OC=5.由AD平行于OC，可知∠DAB=∠BOC，因此可得三角形ABD∽三角形OCB，可以得出ADOB=ABOC，在這個(gè)等式中，其他三項(xiàng)都是已知元素，只有AD一個(gè)未知元素，運(yùn)算即可得出AD=3.6.

利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求解線段長(zhǎng)度，這是很常見(jiàn)的方法之一，難點(diǎn)在于找到所求線段和已知線段是屬于哪兩個(gè)三角形的邊，再找出證明這兩個(gè)三角形相似的條件，即可求出線段的長(zhǎng)度.

九、根據(jù)圖形已知條件，利用方程方法求解

興趣是最好的老師，興趣同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的基本動(dòng)力，因此教師可以利用這一點(diǎn)在課前首先提出問(wèn)題讓學(xué)生思考，建立相關(guān)的教學(xué)活動(dòng)吸引學(xué)生的注意力，利用活動(dòng)內(nèi)容的豐富性提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這樣可以使學(xué)生伴著愉快的心情參與到數(shù)學(xué)課堂中來(lái).

例10如圖10，C，D，E將線段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N分別是AC，CD，DE，EB的中點(diǎn)，且MN=21，求PQ的長(zhǎng).

分析教師可以根據(jù)學(xué)生的興趣將線段想象為其他事物，如尺子等進(jìn)行解題.根據(jù)線段比及中點(diǎn)性質(zhì)，可以設(shè)AC=2x，則AB上每一條短線段都可以用含x的代數(shù)式表示.觀察圖形，MN=MC+CD+DE+EN，學(xué)生可以將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的方程，先求出x，再求PQ的長(zhǎng).

解若設(shè)AC=2x，則CD=3x，DE=4x，EB=5x，MC=x，EN=52x，于是根據(jù)MN=MC+CD+DE+EN得到21=x+3x+4x+52x，解得x=2.所以PQ=PD+DQ=12（CD+DE）=72x=7.

在習(xí)題解答完成后，教師可以為學(xué)生講授方程法的由來(lái)，使學(xué)生加深對(duì)方程法的印象，進(jìn)而有效掌握此類(lèi)習(xí)題的解答方式.

由于初中學(xué)生年齡較小且自控能力差，天生活潑好動(dòng)，因此如何集中學(xué)生注意力是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)問(wèn)題.在線段長(zhǎng)度教學(xué)的準(zhǔn)備上，教師需要多費(fèi)心思，努力提升學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而使學(xué)生可以將注意力全部放在課堂學(xué)習(xí)中.

結(jié)語(yǔ)

求解線段的長(zhǎng)度其實(shí)有很多方法，以上只是筆者歸納總結(jié)的常見(jiàn)的幾種方法.對(duì)于一些中考常見(jiàn)的重點(diǎn)題型，老師務(wù)必引導(dǎo)學(xué)生去練習(xí).學(xué)生只有掌握越來(lái)越多的技巧，對(duì)于幾何學(xué)習(xí)的邏輯思維程度才會(huì)越來(lái)越高，解題的靈活性也會(huì)越來(lái)越好.

【參考文獻(xiàn)】

[1]周麗芳.建立數(shù)學(xué)模型思想，提升問(wèn)題解決能力——以初中數(shù)學(xué)線段和的最值問(wèn)題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（16）：88-90.

[2]王霞.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中一類(lèi)線段最值問(wèn)題的快速求解方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（17）：79-80.