如何提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益

林祖燦

【摘要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的.教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行思考的過(guò)程中，師生可以互相討論，互相交流，互相切磋，產(chǎn)生思維碰撞，共同探究知識(shí)間的來(lái)龍去脈以及知識(shí)的形成過(guò)程，學(xué)生從中構(gòu)建自己的知識(shí)體系，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想、方法，掌握解題思路、技巧，總結(jié)解題規(guī)律，舉一反三，融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用，達(dá)到“做一題通一類”的目的，進(jìn)而提高課堂教學(xué)效益.

【關(guān)鍵詞】主體;主導(dǎo);思考;運(yùn)用;提高;效益

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要以高考考點(diǎn)為主線，以數(shù)學(xué)問(wèn)題為導(dǎo)向，以問(wèn)題形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生及形成過(guò)程.教師通過(guò)對(duì)同一考點(diǎn)的考題進(jìn)行變式講解，

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題積極思考，

有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握.師生可以互相討論，互相交流，促學(xué)促進(jìn)，共同提高，共同探究知識(shí)間的來(lái)龍去脈，學(xué)生從中形成自己的知識(shí)體系，從而掌握所學(xué)的知識(shí)及方法.下面，結(jié)合下面教學(xué)實(shí)際談?wù)勅绾翁岣邤?shù)學(xué)課堂教學(xué)效益.

一、加強(qiáng)“雙基”教學(xué)，進(jìn)行變式訓(xùn)練

教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，加強(qiáng)“雙基”教學(xué)，進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)把已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)論，再把數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)化為求解問(wèn)題，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)解題方法與技巧，并對(duì)題目的已知條件與求解問(wèn)題中產(chǎn)生的一些可能變化情況進(jìn)行探究，一題多變，一題多解，變式訓(xùn)練，從而達(dá)到“做一題通一類”的目的，這樣可以勝過(guò)做大量習(xí)題，并可以使學(xué)生更好地掌握知識(shí)點(diǎn)，熟練解題方法，達(dá)到意想不到的效果.

例1（2003年河南高考題第20題改編）已知c>0，設(shè)命題A：函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減，命題B：不等式x2-x+12c>0的解集為R，如果命題A和B都正確，求c的取值范圍.

解析由已知可得，命題A為真，則012.畫出數(shù)軸可知，如果命題A和B都是真命題，那么12

例2（2013江西高考題理科第17題改編）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn2-（n2-1）Sn-n2=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.

解析由已知Sn2-（n2-1）Sn-n2=0得，（Sn-n2）（Sn+1）=0.由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，Sn>0，Sn=n2.于是a1=S1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1.綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n-1.如果把已知條件進(jìn)行變換，見(jiàn)例3.

例3已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：an2-（n2-1）an-n2=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.

解析根據(jù)題意得，（an-n2）（an+1）=0，

∵an>0，∴an=n2.

例4（2019全國(guó)1高考題理科第21題改編）為了治療某種傳染病，研制了A，B兩種新藥.要了解哪種新藥更有效，進(jìn)行了果蠅動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只果蠅對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只果蠅，隨機(jī)選一只施以A藥，另一只施以B藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的果蠅比另一種藥治愈的果蠅多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便說(shuō)明問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以A藥的果蠅治愈且施以B藥的果蠅未治愈，則A藥得1分，B藥得-1分;若施以B藥的果蠅治愈且施以A藥的果蠅未治愈，則B藥得1分，A藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.A，B兩種藥的治愈率分別記為m和n，一輪試驗(yàn)中A藥的得分記為ξ.求ξ的分布列.

解析ξ的所有可能取值為-1，0，1，P（ξ=1）=m（1-n），P（ξ=0）=（1-m）（1-n）+mn，P（ξ=-1）=（1-m）n.如果把題設(shè)與結(jié)論進(jìn)行變換，進(jìn)行一題多變，一題多練，變式訓(xùn)練，那么能達(dá)到靈活應(yīng)變的目的.

例5（2008全國(guó)1高考題理科第20題改編）已知5只果蠅動(dòng)物中有1只患有某種傳染病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的果蠅動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病果蠅動(dòng)物，呈陰性的即沒(méi)患病.下面是兩種化驗(yàn)方法：方案A：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病果蠅動(dòng)物為止.方案B：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽(yáng)性，則表明患病果蠅動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病果蠅動(dòng)物為止;若結(jié)果呈陰性，則在另外2只中任取1只化驗(yàn).X表示依方案B所需化驗(yàn)次數(shù)，求X的分布列.

解析X的可能取值為2，3.P（B1）=C34C35+C24C35·C13=35，P（B2）=25，P（X=2）=P（B1）=35，P（X=3）=P（B2）=25，

所以EX=2×35+3×25=125=2.4（次）.對(duì)于同一類題的解題套路是完全相同的.教師在課堂教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，運(yùn)用類比的方法，弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系，以一變應(yīng)萬(wàn)變，舉一反三，融會(huì)貫通.抓基礎(chǔ)知識(shí)就是抓好數(shù)學(xué)課本習(xí)題的變式訓(xùn)練，抓基本技能就是抓好將數(shù)學(xué)已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)論.在課堂教學(xué)中，要讓學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)解題方法與技巧，這對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是至關(guān)重要的.

二、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，滲透數(shù)學(xué)思想

教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要抓住教材中的知識(shí)點(diǎn)，將新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)去解題，總結(jié)解題規(guī)律，掌握解題套路，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈，從而形成自己的知識(shí)體系，學(xué)會(huì)在面對(duì)不同的題型時(shí)采用不同的解題方法.

例1若函數(shù)f（x）=sin2x+mcos2x的圖像關(guān)于直線x=-π8對(duì)稱，則m=.

解析依題意得，取f（0）=f-π4，則m=-1.本題利用對(duì)稱的知識(shí)選擇特殊值進(jìn)行解題，避免了煩瑣的計(jì)算，而且不容易出錯(cuò).解題時(shí)，學(xué)生應(yīng)根據(jù)題目的已知條件選擇合適的特殊值，因題而異，舉一反三，觸類旁通，達(dá)到“豁然開(kāi)朗”的目的.

例2（陜西高考12改編）設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（）.

A.x+23=[x]B.[-x]=-[x]

C.[x]+x+23=[3x]

D.[3x]=3[x]

解析取特殊數(shù)值x=13，排除A，B，D，故選C.

例3（北京高考6改編）已知{an}為等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是（）.

A.若a1=a3，則a1=a2

B.若a3>a2，則a4>a3

C.a1+a3≥2a2

D.a21+a23≥2a22

解析取特殊數(shù)列-1，1，-1，1，…，排除A，C，取特殊數(shù)列1，-2，4，-8，…，排除B，故選D.

例4過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AF，BF的長(zhǎng)分別為a，b，則1a+1b=（）.

A.14pB.4p

C.2pD.2p

解析取特殊位置線段AB為通徑時(shí)，則a=b=p，故選D.

例5（湖南高考6改編）已知e1，e2是單位向量，e1·e2=0，若向量a滿足|a-e1-e2|=1，則|a|的取值范圍是（）.

A.[1，2+2]

B.[1，2+1]

C.[2-1，2+2]

D.[2-1，2+1]

解析取特殊向量e1=（0，1），e2=（1，0），則|a-（1，1）|=1，轉(zhuǎn)化為a=（x，y）在以（1，1）為圓心，以1為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，而|a|表示圓周上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，故選D.

高考試題具有設(shè)置巧妙、計(jì)算量不大、“秒殺”時(shí)易錯(cuò)的特點(diǎn).對(duì)于容易題可以用直接法;對(duì)于與幾何圖形有關(guān)的題，應(yīng)先畫出圖形，再用數(shù)形結(jié)合的方法或者幾何法;對(duì)于難度比較大的題，經(jīng)常使用一些解題技巧，同時(shí)注意結(jié)合圖形，多思少算.高考試題減少了計(jì)算量，增加了學(xué)生的邏輯思維與推理能力的考查，考查學(xué)生觀察、分析、判斷、比較的能力.這類題采用特殊值法比較容易計(jì)算，如果用一般解法就要通過(guò)繁雜計(jì)算.但采用特殊值法解題時(shí)應(yīng)注意：（1）所采用的特殊值要方便計(jì)算，而且要符合題目的已知條件;（2）特殊只能用于否定一般，不能用于肯定一般;（3）用特殊值法解選擇題時(shí)，當(dāng)選取某一特殊值出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的答案都正確時(shí)，要根據(jù)已知條件再選一個(gè)特殊值代入驗(yàn)證，直到找到正確唯一的答案為止.解答選擇題、填空題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目的已知條件與求解問(wèn)題，選擇合適的特殊值，這是解答選擇題、填空題的基本方法.在課堂教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)有意識(shí)地根據(jù)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)編寫題目，進(jìn)行有的放矢的訓(xùn)練，這樣學(xué)生不僅鞏固了知識(shí)點(diǎn)，而且掌握了方法，從而有效提高課堂教學(xué)效益.

三、倡導(dǎo)通性通法，淡化解題技巧

高考試題一般有多種解題方法，但千變?nèi)f化都離不開(kāi)通性通法.教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)立足于通性通法，淡化解題技巧.高考試題最大的特點(diǎn)是靈活且新穎，可適當(dāng)選擇分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等來(lái)解題.在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生應(yīng)根據(jù)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)題型，歸納解題方法，進(jìn)行一題多變，一題多練，變式訓(xùn)練，從而掌握不同題型的不同解題套路.

例1（湘教版高中數(shù)學(xué)選修1-1課本第79頁(yè)19題改編）設(shè)直線l與拋物線y2=mx（m>0）交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，其中y1>y2，（1）若OM·ON=0，MN·Ox=0，求l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)l經(jīng)過(guò)P時(shí)，總有OM·ON=0成立？

解析（1）根據(jù)對(duì)稱性，M，N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，由題意得，x1=x2，y1=-y2，x1=y1=m，l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），（2）存在定點(diǎn)P（m，0），使得當(dāng)l經(jīng)過(guò)P時(shí)，總有OM·ON=0成立，設(shè)l：x=ty+m，與拋物線y2=mx（m>0）聯(lián)立得：y2-mty-m2=0，由韋達(dá)定理得：y1+y2=mt，y1y2=-m2，

∴OM·ON=x1x2+y1y2=（ty1+m）（ty2+m）+y1y2=（t2+1）y1y2+mt（y1+y2）+m2=0.因此存在P點(diǎn).學(xué)生通過(guò)對(duì)同一類題的變式訓(xùn)練，不僅掌握了知識(shí)點(diǎn)，而且還明白了解題套路.

例2（2004重慶高考題21改編）設(shè)直線my=x-4與拋物線y2=4x交于相異兩點(diǎn)M，N，以線段MN為直徑作圓C（C為圓心），試證：拋物線頂點(diǎn)在圓C的圓周上，并求m的值，使圓C的面積最小.

例3（2005北京高考題18改編）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（4，0）且斜率為k的直線l交拋物線y2=4x于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，（1）寫出直線l的方程，（2）求x1x2與y1y2的值，（3）求證：OM⊥ON.

這類題解題思路完全相同，都運(yùn)用了拋物線的重要結(jié)論：設(shè)直線l與拋物線y2=2px（p>0）交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，若直線l過(guò)點(diǎn)（2p，0），則OM⊥ON.其逆命題也成立.因此，在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生應(yīng)多留心課本中的一些重要結(jié)論，這樣解題時(shí)就能得心應(yīng)手，穩(wěn)操勝券.同時(shí)，學(xué)生平時(shí)應(yīng)多閱讀高考試題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，做到推理有據(jù)，環(huán)環(huán)相扣，規(guī)范書寫過(guò)程，避免“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”的情形，做到“顆粒歸倉(cāng)”，達(dá)到“會(huì)而全對(duì)，對(duì)而得滿分”的目的.

總之，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)“雙基”教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的訓(xùn)練.學(xué)生通過(guò)一題多變，一題多練，變式訓(xùn)練，鞏固所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，弄清知識(shí)間的來(lái)龍去脈，形成自己的知識(shí)體系，總結(jié)不同題型的不同套路，歸納解題方法，從而達(dá)到熟練的程度.教師要提倡通性通法，淡化解題技巧，引導(dǎo)學(xué)生把已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)論，再把數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)化為求解問(wèn)題，這樣題目就迎刃而解了.教師要有目的地講解，給學(xué)生講明如何將題目的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，再把數(shù)學(xué)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為所求結(jié)論，從而達(dá)到求解目的，起到舉一反三，融會(huì)貫通的作用，做到考試時(shí)能夠快速而準(zhǔn)確的答題，從而提高課堂教學(xué)效益.

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