用擴(kuò)展的試探函數(shù)法求解非線性演化方程組

謝元喜

(湖南理工學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 岳陽414006)

0 引言

隨著人類社會的不斷進(jìn)步和計(jì)算技術(shù)的飛速發(fā)展，許多現(xiàn)代科學(xué)研究的核心已逐步從線性問題轉(zhuǎn)向非線性問題，而非線性科學(xué)問題的解決很大程度上取決于如何求解那些反映非線性問題本質(zhì)的非線性演化方程.于是許多學(xué)者在如何求解非線性演化方程方面產(chǎn)生了濃厚的興趣，并提出了一些求非線性演化方程顯式精確解的方法[1～7]，但這些方法大多只能用來求解非線性演化方程.受限于數(shù)學(xué)理論和方法的缺乏，目前涉及到如何求解非線性演化方程組的研究很少.

文[8]中提出一種求非線性演化方程精確解的新方法.作為一種嘗試和探索，本文對文[8]進(jìn)行一定程度的改進(jìn)，并將它擴(kuò)展到求解非線性演化方程組上，進(jìn)而求得變形Boussinesp 方程組和 Whitham-Broer-Kaup 方程組的顯式精確解.

1 方法描述

本文探討如何求解非線性演化方程組

的顯式精確解.為方便求解上述方程組，引入變換

其中U0和H0為待定常數(shù)，u(w)、h(w) 和w(x，t) 均為試探函數(shù).這里w(x，t) 仍采用與文[8]相類似的形式，即為

試探函數(shù)u(w) 和h(w) 必須根據(jù)具體的方程組靈活選擇.選好試探函數(shù)后，再進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，即可求得非線性演化方程組的顯式精確解.下面利用該方法求出變形Boussinesp 方程組和 Whitham-Broer-Kaup方程組的顯式精確解.

2 方法應(yīng)用

2.1 變形Boussinesq 方程組

變形Boussinesp 方程組在許多物理理論以及工程實(shí)際中有著重要應(yīng)用，其一般形式為

為方便求解方程組(4)，選取試探函數(shù)為

其中a、b、d、e為待定常數(shù).

由式(2)、(3)、(5)容易求得

將式(6)代入式(4)，得到關(guān)于w的多項(xiàng)式，然后令各w j(j=0，1，2，…)的系數(shù)等于零，可得如下一組超定非線性代數(shù)方程

用Mathematic 解上述非線性代數(shù)方程組，得

將上述常數(shù)代入式(6)，并考慮式(3)，可得

取b=d=1，并利用等式

由式(7)可得變形Boussinesq 方程組(4)的精確解為

取b=d=-1，并利用等式

由式(7)可得變形Boussinesq 方程組(4)的精確解為

顯然，解(9)和解(11)與文[9]求得的解完全等價(jià).

2.2 Whitham-Broer-Kaup 方程組

Whitham-Broer-Kaup 方程組在研究淺水波的色散上具有極其重要的意義，其一般形式為

其中α、β為表征不同色散程度的常數(shù).

為方便求解方程組(12)，考慮選取試探函數(shù)

其中a、b、d、e為待定常數(shù).

由式(2)、(3)、(13)不難求得

將式(14)代入式(12)，得到一關(guān)于w的多項(xiàng)式，然后令各w j(j=0，1，2，…)的系數(shù)等于零，可得如下一組超定非線性代數(shù)方程

用Mathematica 解上述非線性代數(shù)方程組，得

將上述常數(shù)代入式(14)，并考慮式(3)，可得

取b=d=1，并考慮式(8)，由式(15)可求得Whitham-Broer-Kaup 方程組(12)的精確解為

取b=d=-1，并考慮式(10)，由式(15)可求得Whitham-Broer-Kaup 方程組(14)的精確解為

顯然，解(16)和解(17)與文[10]求得的解完全相同.

3 結(jié)論

本文對文[8]中所提出的求非線性演化方程精確解的方法進(jìn)行了改進(jìn)，并將它擴(kuò)展到求解非線性演化方程組上，從而便捷求得變形Boussinesp 方程組和Whitham-Broer-Kaup 方程組的顯式精確解，所得結(jié)果與已有結(jié)果完全等價(jià).理論上來說，只要選取合適的試探函數(shù)，就可應(yīng)用本文的方法求得其他非線性演化方程組的顯式精確解.