仿射空間中的拋物型螺旋面

于延華，彭蘭蘭，賈 琨

(東北大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110819)

存在性問題是微分幾何研究的重要問題之一，因此確定具有某種特征的曲面或子流形是一項(xiàng)非常有意義的工作.在三維歐氏空間中，學(xué)者們對曲線及曲面進(jìn)行了廣泛研究.仿射微分幾何是微分幾何的一個(gè)重要分支, 它主要研究仿射空間中非退化的超曲面在幺模仿射變換下不變的性質(zhì).螺旋面是微分幾何中一類重要的曲面，文獻(xiàn)[1-2]在三維閔可夫空間中研究了橢圓型、雙曲型、拋物型的螺旋面，并對具有常高斯曲率和常平均曲率的螺旋面進(jìn)行分類，最后給出了拋物型螺旋面的幾何意義.

本文利用Blaschke度量研究三維仿射空間中的拋物型螺旋面，對平坦的和極小的拋物型螺旋面進(jìn)行了分類.更進(jìn)一步對符距為零的螺旋運(yùn)動(dòng)下極小的和平坦的拋物型旋轉(zhuǎn)曲面進(jìn)行了分類.

1 預(yù)備知識

在仿射變換下，Berwald-Blaschke度量是一種與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)的、不變的二次形式. 令Φ(u,v):Ω→R3為三維仿射空間中的一個(gè)正則曲面，則Berwald-Blaschke度量可定義為

其中:

本文假定LN-M2≠0且曲面為非退化的. 曲面上滿足LN-M2>0的點(diǎn)稱為橢圓點(diǎn)，滿足LN-M2<0的點(diǎn)稱為雙曲點(diǎn). 不失一般性，本文只研究橢圓點(diǎn)的情況[3-4].

本文選取如下繞類光軸旋轉(zhuǎn)的拋物型旋轉(zhuǎn)矩陣：

2 基本概念

主要介紹仿射空間中的余法向量、法向量、高斯曲率、平均曲率[5-8]等基本概念.

定義1已知X是由Φ:Ω?R2→X?R3所確定的正則曲面，則X的仿射余法向量場定義為

定義 2已知X是由Φ:Ω?R2→X?R3所確定的正則曲面，則X的仿射法向量場定義為

其中:η·ζ=1；ζ·ηu=0；ηv·ζ=0.

定義 3已知P為正則曲面X上的一點(diǎn)，則P點(diǎn)的形狀算子S:TPX→TPX，定義為SP(V)=-DVζ，其中TPX表示P點(diǎn)的切空間，V∈TPX.

由ηu,ηv∈TPX可知，ηu,ηv可由Φu,Φv線性表示：

其中：

則曲面X的仿射高斯曲率、仿射平均曲率可表示為

定義 4設(shè)Φ(u,v):Ω?R2→R3為三維仿射空間中的螺旋面，則拋物型螺旋面有如下表示[9-10]：

(1)

當(dāng)符距h=0時(shí)，螺旋運(yùn)動(dòng)退化為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，可得如下拋物型旋轉(zhuǎn)曲面：

(2)

下文中Ci,i=1,2,… 表示實(shí)常數(shù).

3 主要內(nèi)容

3.1 平坦和極小的拋物型螺旋面

定理 1設(shè)Φ為三維仿射空間中具有式(1)的拋物型螺旋面，則其仿射高斯曲率、仿射平均曲率分別為

證明 直接計(jì)算可得

度量系數(shù)為

曲面的余法向量為

曲面的法向量為

進(jìn)一步計(jì)算可得

即可得

化簡可得仿射平均曲率.同理可得仿射高斯曲率的表達(dá)式，定理即得證.

定理 2設(shè)Φ為三維仿射空間中具有表達(dá)式(1)的拋物型螺旋面，則仿射高斯曲率為零時(shí)，曲面為以下三種形式之一:

C4u+hv+C5).

③ 曲面表達(dá)式中φ(u)的數(shù)值解如圖1所示.

圖1 曲面③中φ(u)的數(shù)值解

此時(shí)曲面的數(shù)值解圖像如圖2所示.

證明 令K=0，則

(5u6φ″2+52h2u3φ″+2u7φ″φ?-44h2u4φ?-
7u8φ?2-16h4-4h2u5φ(4)+4u8φ″φ(4))×
(u3φ″-u4φ?-4h2)(4u6φ″2-8u3h2φ″+4h4)=0.

圖2 曲面③的數(shù)值解圖像

即

u3φ″-u4φ?-4h2=0,

(3)

或

4u6φ″2-8u3h2φ″+4h4=0,

(4)

或

5u6φ″2+52h2u3φ″+2u7φ″φ?-16h4-44h2u4φ?-
7u8φ?2-4h2u5φ(4)+4u8φ″φ(4)=0.

(5)

令m=φ″，則式(3)可以降階為一階常微分方程：u3m-u4m′-4h2=0，可得到解析解：

m=h2u-3+C1u.

(6)

將式(6)兩次積分可以得到式(3)的解. 其他方程同理可以解得(其中方程(5)只可解得數(shù)值解)即可得定理.

對Ci和h取特殊常數(shù)，可得如圖3和圖4所示曲面的圖像.

圖3 曲面

u+v+1)

圖4 曲面

u+v+1)

定理 3設(shè)Φ為三維仿射空間中的拋物型螺旋面，且其表達(dá)式為(1)，則平均曲率為零時(shí)，曲面表達(dá)式中的φ(u)的數(shù)值解如圖5所示.

圖5 極小曲面中的數(shù)值解

此時(shí)可得曲面的數(shù)值解圖像如圖6所示.

圖6 極小的拋物型螺旋面

利用Matlab可求出函數(shù)φ(u)的數(shù)值解滿足的圖像.

3.2 平坦和極小的拋物型旋轉(zhuǎn)曲面

定理 4設(shè)ψ為三維仿射空間中的拋物型旋轉(zhuǎn)面，且其表達(dá)式為式(2)，則仿射高斯曲率為零時(shí)，曲面為以下幾種形式之一.

證明 直接計(jì)算可得

當(dāng)常數(shù)Ci取特殊值時(shí)，可得相應(yīng)的曲面(圖7和圖8).

圖7 曲面

u+v+u3+1)

圖8 曲面

定理 5設(shè)ψ為三維仿射空間中的拋物型旋轉(zhuǎn)面，且其表達(dá)為式(2)，則仿射平均曲率為零時(shí)，曲面表達(dá)式為

令H=0，則

-φ″2+7u2φ?2-2uφ″(3φ?+2uφ(4))=0.

求解該微分方程，定理即得證.

當(dāng)常數(shù)Ci取特殊值時(shí)，可得相應(yīng)的曲面(圖9).

圖9 曲面

4 結(jié) 語

本文在三維仿射空間中，研究了Blaschke度量下的拋物型螺旋面，并得到以下結(jié)論：當(dāng)符距h≠0時(shí)，分別得到平坦的和極小的拋物型螺旋面所滿足的方程；當(dāng)符距h=0時(shí)，分別得到平坦的和極小的拋物型旋轉(zhuǎn)曲面所滿足的方程.