基于水平集方法的共軸流型液滴形態(tài)關鍵參數研究

胡 晟，劉鑫琦，呂曉永，吳東旭

(東北大學秦皇島分校 控制工程學院, 河北 秦皇島 066004)

液滴粒徑一般在10～100 μm之間，體積約為10-18～10-9L.由于液滴具有較大的體表面積比，分子熱擴散時間較短，有利于生化反應實驗，可加快微觀研究和傳感分析[1-3].當前液滴生成芯片結構主要分為交叉型(如：T型、V型、Y型、L-L型)、共軸型、流動聚焦型和膜孔滲透型[4]等.以上結構在液滴的生成過程中各有優(yōu)劣，例如：交叉型T溝道制作簡單，但是液滴的生成速率較慢、粒徑調節(jié)較為復雜，需要不?？刂齐x散相和連續(xù)相之間的速度比.流動聚焦型也存在上述問題.膜孔滲透型的生成速率較高，然而膜孔的參數已經制備完成，后期難以調節(jié).

與上述液滴生成方法不同，目前還有一種共軸型液滴法，離散相液體進樣口流向和連續(xù)相流速方向相同，根據離散相流速大小實現液滴的生成.目前國內學者進行了相關實驗[5]和仿真工作[6-7].因其制備簡單，僅需毛細管即可進行微尺度液滴顆粒的大量生成.上述國內學者對共軸液滴生成相關控制參數進行了實驗報告，但是在共軸液滴模型的理論研究方面，采用水平集方法(level set method, LSM)研究進樣速度、黏度、進樣孔徑尺寸以及生成頻率卻較少報道.

因為公式簡單、編程容易、精度較好，水平集方法已經廣泛使用在液滴微流控的多種結構研究當中.同時該方法也衍生出自適應網格LSM，雙分辨率LSM，明銳界面LSM，保守LSM，都改善了該方法在微流兩相系統研究中的理論預測能力[8].因此本文采用LSM方法對單一離散相流體進樣速度、黏度、孔徑大小進行分析和研究.

1 理論模型

研究液滴生成必須先求解流場分布，兩相流體都屬于不可壓縮流體(incompressible fluid).因此流場分布滿足體積守恒原理：

·u=0 .

(1)

式中：u代表流體速度矢量.水平集方法采用變量Φ表征兩相流不同液體，變量的數值變化區(qū)間為[0,1].當Φ=0.5時，表示離散相與連續(xù)相的分界.數值模型必須約束兩相分界面之間具有一定空間厚度，以滿足計算的連續(xù)性，采用變量2ε表示.此數值與離散網格點的間距成正比(2ε=3Δx).變量Φ描述的水平集函數滿足質量守恒定律，如式(2)所示：

?Φ/?t+u·Φ=0 .

(2)

離散相和連續(xù)相應滿足動量守恒定律，即Navier-Stokes方程：

(3)

(4)

(5)

通過上述δε(Φ)和Hε(Φ)對分離界面的數學平滑作用，連續(xù)相和離散相混合后的液體密度和黏度可線性表示如下：

(6)

(7)

式中密度與黏度下標c和d分別表示連續(xù)相(continuous phase)和離散相(dispersed phase).

針對式(3)，Re，Fr和We為無量綱數，函數關系式如下：

(8)

式中：d為微溝道特征長度；g為重力加速度；σ為兩相流與固體墻壁的表面張力系數.根據上述數學形式的說明，進行相關的物理與幾何建模，共軸流場幾何模型如圖1所示.本文構建圓柱形管壁進行理論建模，為了降低3D網格單元的數量，選擇2D軸對稱坐標進行計算和分析.圓柱管半徑R和高度H分別為19和60 mm.下方具有和圓管對稱軸重合的錐形噴孔.錐孔底部向上噴射離散相流體進入上方圓管.本文的上、下孔徑Rh1，Rh2分別為1和3 mm.

圖1 共軸流體的幾何模型與邊界條件

右方虛線代表管壁，其邊界條件為非滑移邊界.底部為離散相液滴流體入口(ud=-U0n)，頂部為兩相流液體的出口通道，它的邊界條件為Lexitt·[-pI+η(tu+(tu)T)]=-pexitn，t·u=0，其中Lexit和pexit分別為出口長度與出口壓強.本文采用COMSOL有限元軟件進行共軸兩相流體建模和仿真分析.

2 仿真結果與分析

首先進行液滴離散相的流速研究，離散相為70%石蠟和30%庚烷的混合物，連續(xù)相為純凈水溶液，密度ρd和ρc分別為882，996 kg/m3，黏度ηd和ηc分別為6.71，0.958 mPa·s.墻壁固相和兩相流體之間表面張力系數σ為44.8 mN/m.對模型進行仿真求解，設定離散相初始速度ud=15 mm/s，求解結果如圖2a～圖2f所示.由圖可得，隨著下方錐孔不斷地注入離散相流體，液體逐漸進入圓柱體內部.此時液滴受到下方離散相液體推力和上方連續(xù)相液體重力的共同作用發(fā)生形狀變化.初始條件，連續(xù)相對液滴的拖曳力較小，表面張力占主導，液滴在出口慢慢隆起形成半弧形.液滴不斷生長，它受到連續(xù)相的拖曳力將逐漸增強，并且液滴上、下速度差造成表面張力不平衡而發(fā)生撕裂.最終撕裂的液滴脫離離散相，進入上方連續(xù)相溶液.根據圖2的液相分布，可以提取z軸方向的兩相流相位關系曲線，方便求解液滴形成過程的尺寸變化和具體位置，如圖3所示.

分析兩相液體的液滴形成，本文考慮在z軸(r=0)，固定點Hd探點位置提取水平集變量Φ的數值.Hd為液滴形成過程噴射的最大高度.根據上述的相位可計算出ud=15 mm/s時，Hd=18.6 mm，結果如圖4所示.從圖中的相位變化可說明，速度為15 mm/s的液滴成形還不夠穩(wěn)定，周期特性不十分明顯.仿真過程也發(fā)現液滴逐漸向上運動中會發(fā)生分解，其尺寸均勻性較差.主要由于離散相液體向上運動克服重力降低了液滴的動能所致.

對離散相進樣口流速進行研究，當速度降低為4 mm/s時，分離液滴并未形成.主要由于兩相流之間張力過大，進口液體無法克服重力與張力作用順利進入圓柱管道內部.反之，提高進樣速度ud分別為26，37，48 mm/s，形成的液滴形狀如圖5所示.可見，隨著離散相進口速度不斷提高，液滴流逐漸變成射流流形.離散相速度的增加，使單分散相液滴破碎程度加劇，尺寸變小.

噴射高度Hd變大.對它們各自Hd位置點的相位進行研究，如圖6所示，進樣速度為26 mm/s時具有較好的液滴生成周期性，并且液滴的成形較為均勻.但此速度下的液滴生成頻率遠低于進樣速度為37 mm/s的情況.然而，48 mm/s 的速度使液滴生成頻率更快，液滴單分散性較差，且穩(wěn)定性不如前者.調節(jié)石蠟和庚烷百分比，可得不同的黏度，如表1所示.隨連續(xù)相水溶液參數變化，研究黏度的影響.

圖2 不同時刻的液滴成形過程

圖3 不同時刻r=0的兩相流相位分布曲線

圖4 Hd位置處隨時間變化的相位關系曲線

與70%石蠟+30%庚烷的離散相液體進行對比，且連續(xù)相和輸入速度保持不變，兩種液體各自的Hd值隨時間變化的相位如圖7和圖8所示.為了更直觀表達曲線特征，本文僅顯示液滴分離處8～16 s的時間變化曲線.從圖7和圖8可發(fā)現，隨著黏度增大，在速度不變的條件下，液滴的生成周期增大，頻率變慢.該現象主要由于黏度數值增大，離散相和連續(xù)相液體之間的表面張力增強，需要更多的時間克服表面張力作用才能撕裂成固定尺寸的液滴.但是速度不斷增大至48 mm/s，原本呈非周期性的噴射流形，也逐漸還原為周期性的液滴流.形成的液滴具有較好的均勻性，然而嘗試將速度提高到89 mm/s，90%石蠟+10%庚烷的結果顯示生成液滴的周期性降低，與圖5g～5i類似.

圖5 不同流速條件下液滴隨時間變化相位圖

圖6 不同Hd位置隨時間的相位關系曲線

表1 不同石蠟與庚烷百分比仿真參數

圖7 80%石蠟+20%庚烷對不同速度的Hd位置相位曲線

最后對入射孔徑HR1進行研究，計算結果如圖9所示.本文以離散相90%石蠟+10%庚烷為研究對象，初始速度為48 mm/s.設置孔徑HR1分別為3 mm和2 mm，且其余參數保持不變.與圖8d相比，縮小孔徑能夠增大分離界面處的層流速度，進而增加液滴的生成頻率.但是因為孔徑的降低，相應生成液滴的尺寸也受到限制.另外也證實了液滴生成頻率與輸入孔徑有間接關系，對液滴尺寸與均勻特性具有較大的影響.上述仿真研究與文獻[9-10]仿真結果一致.

圖8 90%石蠟+10%庚烷對不同速度的Hd位置相位曲線

圖9 90%石蠟+10%庚烷的孔徑對比

3 結 論

1) 共軸流體離散相輸入速度越快，流形逐漸由液滴流過渡為射流，且噴射長度加長，周期性降低.

2) 離散相比連續(xù)相的黏度值相差越大，液滴生成的周期性越好.

3) 孔徑越大，液滴的生成尺寸越大，但周期變長，均勻性降低.