新課標(biāo)視角下概率的教學(xué)
——以“古典概型”為例

徐咪咪 (江蘇省蘇州市第五中學(xué)校 215008)

概率的教學(xué)歷來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)．概率內(nèi)容看似簡單，但如何讓教師教好概率、學(xué)生學(xué)好概率并不是一件很容易的事情．作為一種“不確定性數(shù)學(xué)”的內(nèi)容，概率與傳統(tǒng)的“確定性數(shù)學(xué)”內(nèi)容有較大區(qū)別．在概率教學(xué)過程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)意識、應(yīng)用意識和對不確定事件的決策和判斷能力．但是現(xiàn)階段概率教學(xué)中，由于抱著以考試為中心的思想，很多教師在概率教學(xué)中仍以講題為主，學(xué)生學(xué)習(xí)概率卻不知如何用概率知識去思考問題、處理問題．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》(簡稱“17標(biāo)準(zhǔn)”)在概率的教學(xué)方面，從廣度和深度上都提出了更高的要求．在課程設(shè)置上，將概率與統(tǒng)計(jì)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動作為課程結(jié)構(gòu)的四條主線，貫穿必修課程、選擇性必修課程和選修課程．在教學(xué)要求上，更強(qiáng)調(diào)概率概念的嚴(yán)謹(jǐn)性和概率教學(xué)的實(shí)用性．相信這將一定程度上改變目前概率教學(xué)的現(xiàn)狀．

古典概型是人們最早研究的一個(gè)模型，是最簡單又最常用的一個(gè)數(shù)學(xué)模型．對比《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(簡稱“03標(biāo)準(zhǔn)”)與“17標(biāo)準(zhǔn)”中與此相關(guān)的內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，古典概型是“17標(biāo)準(zhǔn)”必修課程中隨機(jī)事件和樣本空間教學(xué)的重要模型，也為后續(xù)選擇性必修課程中概率的深入學(xué)習(xí)提供了范例．

內(nèi)容“03標(biāo)準(zhǔn)”目標(biāo)表述“17標(biāo)準(zhǔn)”目標(biāo)表述隨機(jī)事件了解隨機(jī)事件發(fā)生的不穩(wěn)定性理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系古典概型理解古典概型及其概率計(jì)算公式,會用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件數(shù)及事件發(fā)生的概率理解古典概型,能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率事件獨(dú)立性了解兩個(gè)事件獨(dú)立性的概念結(jié)合有限樣本空間,了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義,結(jié)合古典概型,利用獨(dú)立性計(jì)算概率條件概率了解條件概率的概念結(jié)合古典概型了解條件概率,能計(jì)算簡單隨機(jī)事件的條件概率全概率無結(jié)合古典概型,會利用全概率公式計(jì)算概率

本文以“古典概型”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，以“17標(biāo)準(zhǔn)”為指導(dǎo)，參考人教版新教材，對高中概率的教學(xué)設(shè)計(jì)提出自己的一些看法．

1 教學(xué)過程

1.1 情境引入，提出問題

師：俗話說,“龍生龍，鳳生鳳，老鼠生兒會打洞！”可見基因的強(qiáng)大性.關(guān)于遺傳，這里有個(gè)問題：一對雙眼皮的夫婦生了一個(gè)單眼皮的男孩，于是丈夫怨妻子不忠而提出離婚．如果你是法官，你會怎么判定？

生1(笑著搶答)：有這種可能??！我們家就是．

生2：根據(jù)生物學(xué)知識，這對夫婦如果攜帶了隱性遺傳因子，那孩子就可能會出現(xiàn)這種情況．

師：從兩位同學(xué)的回答，我們可以看出這是一個(gè)“可能”會發(fā)生的問題．今天我們就來研究這個(gè)可能性的大?。鋵?shí)，同學(xué)們在初中就學(xué)習(xí)過概率，這節(jié)課我們就從初中教材中的兩個(gè)問題說起！

師：請問這種說法正確嗎？

生3：這不對的!只投一次不能說明問題．

生4：是啊，就算姚明，你讓他投一次，他也不一定會投中??！

生5：這個(gè)就像拋硬幣試驗(yàn)，要多投幾次．

師：是的，我們需要通過多次投籃，用投中的頻率來近似地估計(jì)．但是這樣不僅工作量太大，而且結(jié)果具有一定的擺動性，有些試驗(yàn)甚至還具有破壞性．

師：那這種說法正確嗎？

生6：感覺不對，不同顏色球的個(gè)數(shù)不一樣，不可能摸到的概率一樣?。?/p>

師：如何求摸出一個(gè)球是白球的概率呢？

師：為什么呢？

生7：說不清楚……我覺得是這樣的．

師：如果我們將“從6個(gè)球中任意摸出1個(gè)”看作一次隨機(jī)試驗(yàn)，可能的結(jié)果為(摸到)“白球1”“白球2”“白球3”“黃球1”“黃球2”“紅球1”共6種．每一個(gè)球被摸到的概率是多少呢？

學(xué)生們不由自主地點(diǎn)頭．

設(shè)計(jì)意圖從生物遺傳學(xué)中的具體情境出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．回顧初中教材中的兩個(gè)問題，創(chuàng)設(shè)“惑”境，用問題引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促進(jìn)概念的深度學(xué)習(xí)．其中問題2引出了本節(jié)課的核心問題：不進(jìn)行試驗(yàn)如何求概率？師生共同分析解題過程，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊．

1.2 自主探究，建構(gòu)理論

師：看過了初中教材中的兩個(gè)問題，我們現(xiàn)在來看看今天要研究的新問題．

問題3一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)白球、2個(gè)黃球和1個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)從袋子中摸出2個(gè)球，問摸出的2個(gè)球都是白球的概率是多少？

生8：可以像剛才的問題一樣，給6個(gè)球先進(jìn)行編號．

師：不妨記白球?yàn)?，2，3號，黃球?yàn)?，5號，紅球?yàn)?號，請說說可能的結(jié)果有哪些？

師：一個(gè)是“無順序摸取”，另一個(gè)是“有順序摸取”，都是可以的．解決了問題2和問題3，我們發(fā)現(xiàn)，有一類概率問題可以通過對隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行分析解決．那么請同學(xué)們說說這類問題具有什么共同的特征呢？

生眾：每一個(gè)可能的基本結(jié)果發(fā)生的可能性都相等．

生11(補(bǔ)充)：結(jié)果還得有限多個(gè)，否則列也列不完啊．

師：很好！這樣我們就找到了一個(gè)理想的數(shù)學(xué)模型來解決這類等可能條件下的概率問題——我們稱之為古典概型．我們知道隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間．因此可以從這個(gè)角度去定義古典概型．

數(shù)學(xué)理論1滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型(classical probability model)：

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．

問題4如何求解古典概型的概率呢？

師：我們一起來分析一下前面講述的兩個(gè)問題．對于問題2，用數(shù)字m表示摸到的球號，則該試驗(yàn)的樣本空間是什么呢？符合古典概型嗎？

生12：{1,2,3,4,5,6}，共有6個(gè)樣本點(diǎn)．由于樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，因此是古典概型．

師：很好！我們把上述兩個(gè)問題的結(jié)論一般化，就可以得到以下結(jié)論．

師：數(shù)學(xué)史上，古典概型是最早出現(xiàn)的．概率論這門學(xué)科源于賭博，大量的分賭金問題迫使人們給出一種合理、公平的方式．帕斯卡、費(fèi)馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計(jì)算、公式推導(dǎo)、應(yīng)用等方面做出了貢獻(xiàn)．但直到1812年法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯在《概率分析理論》中才給出了概率的古典定義．

設(shè)計(jì)意圖將問題2進(jìn)一步深入，提出新的問題．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)這些問題具有的共同特點(diǎn)，尋找解決問題的一般方法，建立數(shù)學(xué)模型．?dāng)?shù)學(xué)史的適當(dāng)融入，讓學(xué)生了解概率在人類文明發(fā)展史的應(yīng)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)史的文化魅力．

1.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用，鞏固新知

例1拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為I號和II號)，觀察向上的點(diǎn)數(shù).

(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；

(2)求兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率；

(3)求I號骰子的點(diǎn)數(shù)大于II號骰子的點(diǎn)數(shù)的概率．

思考：如果不給骰子標(biāo)記號，會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中原因嗎？

設(shè)計(jì)意圖以學(xué)生熟悉的拋骰子試驗(yàn)為例，第(1)問是鞏固新學(xué)的概念，第(2)(3)問是在不同情境下考查學(xué)生的抽象能力、應(yīng)用新知解決問題的能力．思考題則是通過對比，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解古典概型中的等可能性．

例2從兩名男生、兩名女生中任意抽取兩人.

(1)分別寫出有放回簡單隨機(jī)抽樣、不放回簡單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間；

(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率．

設(shè)計(jì)意圖例2體現(xiàn)了概率學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)之間的密切聯(lián)系．抽樣方法不同，則樣本空間不同，同一個(gè)事件發(fā)生的概率也可能不同．不同的統(tǒng)計(jì)目的需要選取不同抽樣方法，確保其合理性．

例3人眼的虹膜有褐色的和藍(lán)色的兩種，褐色是有顯性遺傳因子D控制的，藍(lán)色是有隱性遺傳因子d控制的．已知一個(gè)藍(lán)眼男人與一個(gè)褐眼女人(這個(gè)女人的母親是藍(lán)眼)結(jié)婚，求這對夫婦生下藍(lán)眼小孩的概率(只要有基因D就是褐色，只有兩個(gè)基因全是d時(shí)才是藍(lán)色)．

討論：利用概率知識，如何提高優(yōu)生優(yōu)育的概率？

設(shè)計(jì)意圖例3改編自高中生物教材中的一個(gè)練習(xí)題，是概率在生物遺傳中的應(yīng)用，與課題的引入相呼應(yīng)．?dāng)?shù)學(xué)是一種科學(xué)的共同語言，跟其他學(xué)科的交融，進(jìn)一步體現(xiàn)出其科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值．

2 教學(xué)反思

概率教學(xué)的核心是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去研究不確定現(xiàn)象的規(guī)律．本節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從直觀感知、操作確認(rèn)到邏輯論證，從思維的低階向高階遞進(jìn)，既符合知識的形成與發(fā)展規(guī)律，也體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，用于現(xiàn)實(shí)”的理念．結(jié)合這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為，概率教學(xué)中有兩個(gè)方面需要關(guān)注．

(1)注重概念建構(gòu)，加深概念理解

在初中時(shí)學(xué)生對概率就有了初步認(rèn)識，了解事件發(fā)生的可能性．初中的教學(xué)內(nèi)容注重實(shí)例，往往以豐富的例子為載體，讓學(xué)生體會概率的研究內(nèi)容，不追求形式化的數(shù)學(xué)定義．然而高中概率的知識更加注重知識的系統(tǒng)性與完整性，從概率的定義到古典概型，再到隨機(jī)變量，從具體到抽象，學(xué)生對概率的認(rèn)識逐步深入．適度的形式化、符號化有助于學(xué)生理解概念的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識的真正內(nèi)化．

“03標(biāo)準(zhǔn)”出于將抽象概念具體化的目的，用“基本事件”“基本等可能事件”來引出古典概型．然而由于很多版本的教材對基本事件的本質(zhì)屬性解讀不夠，使得學(xué)生對概念的理解往往停留于記憶性理解．在教學(xué)中還發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生甚至對這個(gè)概念產(chǎn)生了偏差，誤以為一個(gè)試驗(yàn)只有一種構(gòu)造基本事件的方式，從而對古典概型的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了負(fù)面影響．

正確地定義一個(gè)數(shù)學(xué)概念，特別是概率中的概念，最佳的途徑是進(jìn)行嚴(yán)格、準(zhǔn)確的描述．在大學(xué)教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章中是以樣本點(diǎn)和樣本空間來描述事件的．“17標(biāo)準(zhǔn)”將大學(xué)部分內(nèi)容下放，明確把“樣本點(diǎn)”“樣本空間”這些作為最基本的概念提出，用集合的觀點(diǎn)來處理事件及事件間的關(guān)系，把事件的運(yùn)算歸結(jié)為集合的運(yùn)算．事實(shí)上，集合語言對高中學(xué)生而言一點(diǎn)也不陌生，學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的第一章就是集合．作為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，用集合論可以簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象．因此“17標(biāo)準(zhǔn)”中這一改變完全符合高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律．

本節(jié)課從兩個(gè)來源于初中教材的實(shí)際生活問題(問題1、問題2)出發(fā)，喚醒學(xué)生對古典概型的直觀認(rèn)識．通過問題3、問題4的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生把對問題的表述，從文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)字語言，最后轉(zhuǎn)化到符號語言，將對古典概率的認(rèn)識逐步提升到一定的理性高度，以期加深學(xué)生對概率論中概念的理解，幫助學(xué)生透過表面的文字看到事物的本質(zhì)．

(2)注重模型建立，發(fā)展應(yīng)用意識

史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的之一是用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)的語言就是模型．無論是自然界的問題還是生活中的問題，提出數(shù)學(xué)模型都是非常重要的．只有通過數(shù)學(xué)模型，人們才可能清晰地刻畫那些規(guī)律性的東西，才能認(rèn)清事物的本質(zhì)．古典概型是概率研究中的一個(gè)重要模型，我們要在教學(xué)過程中加強(qiáng)對隨機(jī)試驗(yàn)的分析，注重挖掘試驗(yàn)的來龍去脈，關(guān)注模型建立的合理性，讓學(xué)生明白對同一現(xiàn)實(shí)對象也可以用不同的模型來描述.比如本文中問題3，既可以是“有順序地摸取”，也可以是“無順序地摸取”．只要是符合古典概型特征的，都可以用古典概型求解．本節(jié)課的設(shè)計(jì)重在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型建立、應(yīng)用的全過程，提高學(xué)生利用隨機(jī)思想的觀念分析現(xiàn)象和解決問題的能力，幫助學(xué)生積累建立數(shù)學(xué)模型的思維經(jīng)驗(yàn)．

概率的研究對象是隨機(jī)現(xiàn)象，在生活中有很多實(shí)例，涉及稅收、機(jī)器人、人口統(tǒng)計(jì)、利息等方方面面．除了貼近生活，它和其他學(xué)科的教學(xué)也存在著一定的聯(lián)系，具有知識的發(fā)散性和滿足事物的普遍聯(lián)系的原理．因此本節(jié)課除了選用投籃、摸球、拋骰子等經(jīng)典古典概型的例子之外，還選擇了兩個(gè)體現(xiàn)概率廣泛應(yīng)用的例子：例2體現(xiàn)的是概率與統(tǒng)計(jì)之間的聯(lián)系——概率為統(tǒng)計(jì)的發(fā)展提供理論基礎(chǔ)；例3則選用了生物中遺傳學(xué)的例子，是數(shù)學(xué)與生物學(xué)科之間的交叉．這兩個(gè)例子符合新課標(biāo)中培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識的理念，有利于學(xué)生形成系統(tǒng)、整合的知識體系，提高綜合解決問題的能力．