研讀新課標(biāo)的變化 提高高三復(fù)習(xí)效率
——“空間幾何體的體積”一輪復(fù)習(xí)與反思

方立新 (江蘇省揚中市第二高級中學(xué) 212200)

1 學(xué)情分析

本節(jié)課教學(xué)對象是四星級高中的高三物生地組合普通班學(xué)生，有一定的自主學(xué)習(xí)能力、運算能力和運用知識解決問題的能力．

2 考點解讀

求幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，是綜合運用空間中點、線、面的位置關(guān)系，空間角和距離的數(shù)量關(guān)系等知識交匯點解決問題，培養(yǎng)空間想象能力、邏輯推理能力、綜合分析問題能力、數(shù)學(xué)運算能力等的重要載體，也是高考考查的熱點問題之一．

教學(xué)目標(biāo) (1)通過復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺體及球的體積公式，學(xué)會用運動、變化、聯(lián)系的觀點分析理解空間幾何體體積公式中各個量之間的內(nèi)在關(guān)系；(2)通過探究多種形式幾何體的體積，掌握解決空間幾何體體積計算的分析思路和常用方法，培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化的意識，逐步提高直觀想象素養(yǎng)，積累數(shù)學(xué)解題活動經(jīng)驗．

教學(xué)重點 空間幾何體體積的計算．

教學(xué)難點 空間幾何體中高的確定．

3 過程實錄

3.1 基礎(chǔ)知識梳理

用導(dǎo)學(xué)案輔助教學(xué)，課前以表格填空的形式印發(fā)，由學(xué)生自主完成．

幾何體名稱體積公式柱體(棱柱、圓柱)錐體(棱錐、圓錐)臺體(棱臺、圓臺)球

師：同學(xué)們好！課前大家都已經(jīng)完成了表格填空，請觀察這些公式有什么聯(lián)系？

學(xué)生對照幾何體示意圖(圖1)，討論發(fā)現(xiàn)：若將棱臺的上底面擴大成與下底面全等時，就是棱柱；若將棱臺的上底面縮成一點時，就是棱錐．同樣，若將圓臺的上底面擴大成與下底面一樣大小時，就是圓柱；若將圓臺的上底面縮成一點時，就是圓錐．

圖1

因此，在臺體體積計算公式中，若令S′=S，即得到柱體的體積計算公式；若令S′=0，即得到錐體的體積計算公式．

設(shè)計意圖通過表格填空和幾何體示意圖，喚醒學(xué)生的舊知，并通過運動、變化、聯(lián)系的觀點來理解、記憶幾何體體積的計算公式，發(fā)現(xiàn)它們之間內(nèi)在的聯(lián)系．

3.2 典型例題講解

例1把長、寬分別為4和2的矩形卷成一個圓柱的側(cè)面，求這個圓柱的體積．

師：大家可以動手感受一下，拿出課前發(fā)的矩形紙(其長和寬分別為4和2)，將它卷成一個圓柱，可以怎么操作？其體積如何求解？

師：在動手操作中，我們發(fā)現(xiàn)有2種不同的情形，要進(jìn)行分類討論．而這種直接利用體積計算公式求幾何體體積的方法稱之為公式法．

(教師板書“方法1：公式法”)

訓(xùn)練1如圖2，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm3．

圖2

設(shè)計意圖讓學(xué)生在操作實踐中體驗解決問題的過程，并提煉解題方法，形成解題經(jīng)驗，最后通過訓(xùn)練題與例題形成題組，進(jìn)一步加深對公式法的理解與應(yīng)用．

例2如圖3，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是邊長為a的等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點，EC與平面ABCD成30°．求三棱錐F-CDE的體積．

圖3

生3：三棱錐F-CDE的體積計算需要求得底面面積和高，其中△CDE的面積易求，但點F到面CDE的距離解決不了．

師：很好！生3利用轉(zhuǎn)化與化歸，通過“等體積性”進(jìn)行變換，將不易于求高的三棱錐轉(zhuǎn)化成易于求高的三棱錐，這種方法稱為等積法．

(教師板書“方法2：等積法”)

師：等積法求三棱錐體積，適用于四棱錐、五棱錐等其他棱錐嗎？

(學(xué)生思考片刻)

生5：只適用于三棱錐，其他棱錐不行，因為換頂點后，其他頂點不共面．

師：所以等體積法一般適用于三棱錐，轉(zhuǎn)換時可以用任意一個面作為三棱錐的底面.實際解題時我們一般都選擇高和底面積容易求的來計算，這也是一般與特殊思想方法的體現(xiàn)．

師：(追問)再看例2，如何求點F到平面CDE的距離？

生6：由于三棱錐F-CDE與三棱錐E-CDF的體積相等，上一問已求出三棱錐F-CDE的體積，只要再求出△CDE的面積，即可根據(jù)體積計算公式求出點F到平面CDE的距離．

師：等積法不僅是我們計算三棱錐體積的一把利器，也是求點到面距離的又一重要方法，尤其是點到面的垂線不好作時，往往使用此法．

設(shè)計意圖通過追問，在本題基礎(chǔ)上再次讓學(xué)生思考，挖掘了等積法的另一功效，拓寬了例題的廣度，發(fā)揮出例題的最大功效．

訓(xùn)練2如圖4，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為a，E,F分別是棱AA1和CC1的中點，求四棱錐A1-EBFD1的體積．

圖4

師：生7通過補形的方法將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，而長方體的外接球易于處理，這樣就實現(xiàn)了化歸.這種計算體積的方法稱之為補體法．

(教師板書“方法3：補體法”)

設(shè)計意圖通過計算旋轉(zhuǎn)體(球)的體積，讓學(xué)生理解并掌握通過補形的方法解決球的體積問題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸意識和空間想象能力，提升直觀想象素養(yǎng)．

例4已知三棱錐P-ABC中，棱AC長為6，其余各棱長均為5，求三棱錐的體積．

(學(xué)生交流討論，教師巡視)

師：哪位同學(xué)說說自己的解題思路？

圖5

師：對！生8給出了此題最基本的解法——公式法，而且解題過程思路清晰、嚴(yán)密，非常好！此解法的關(guān)鍵是利用側(cè)棱長相等找到了頂點在底面射影的位置，確定了三棱錐的高所在的線段，所以體積計算時高的確定很關(guān)鍵．除了直接利用公式，還有其他想法嗎？

師：生9將原三棱錐分割成兩個易于求高的三棱錐，使得問題化繁為簡．在求幾何體體積的計算題中常常通過分割幾何體將不易求長度的幾何體轉(zhuǎn)化為易求長度的幾何體，這種方法我們稱為分割法．

(教師板書“方法4：分割法”)

設(shè)計意圖通過解法1與解法2的交流，既回顧了公式法求體積，又讓學(xué)生理解與掌握如何進(jìn)行“恰當(dāng)”的分割，培養(yǎng)學(xué)生的靈活應(yīng)變能力．

3.3 課堂小結(jié)

師：回顧今天所學(xué)內(nèi)容，我們復(fù)習(xí)了什么知識？收獲了什么方法？

生10：本節(jié)課復(fù)習(xí)了多面體的體積計算，梳理了多面體體積的四種求解方法：公式法、等積法、補體法、分割法．

師：看來，求體積的方法是靈活多樣的，真可謂“若把體積比美錦，橫裁豎剪總相宜”!希望同學(xué)們在解題中能正確預(yù)判，選擇最為優(yōu)化的方法，從而解決問題．

4 教學(xué)感悟

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，我們往往關(guān)注知識再現(xiàn)和解題技巧，容易忽視在復(fù)習(xí)過程中如何幫助學(xué)生掌握積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗的方法，獲得數(shù)學(xué)解題活動經(jīng)驗.在本節(jié)課中，筆者進(jìn)行了以下嘗試：

首先，創(chuàng)設(shè)讓每一個學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動的機會．引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識理解數(shù)學(xué)知識，堅持復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識時先由學(xué)生獨立思考、再師生相互討論，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，總結(jié)規(guī)律，豐富體驗．在復(fù)習(xí)多面體和旋轉(zhuǎn)體的體積公式過程中，首先讓學(xué)生課前進(jìn)行知識再現(xiàn)，課堂上研究柱體、椎體、臺體

三種幾何體的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)形狀變化與表示體積的數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系規(guī)律，讓學(xué)生能夠整體記憶理解各種體積公式．指導(dǎo)學(xué)生動手操作，制作圓柱模型，比較熟練地畫出各種簡單的幾何體圖形，猜想點、線、面的位置關(guān)系，通過圖形提高空間想象能力，樹立空間觀點．

第二，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)解題活動中嘗試、體驗、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．解題時教師指導(dǎo)學(xué)生自主審題，弄清題意，通過畫圖、觀察、比較、歸納、猜想、類比、聯(lián)想、運算、建模、討論、反思等活動發(fā)現(xiàn)立體幾何知識與問題中的條件、結(jié)論之間的聯(lián)系，借助原有經(jīng)驗和解決問題的一般策略發(fā)現(xiàn)解題思路，掌握解題方法，總結(jié)解題規(guī)律，積累解題經(jīng)驗．針對學(xué)生實際，對于求解幾何體體積的每一種方法教師注重實效，難度適當(dāng)，及時鞏固，力求讓學(xué)生一題一得，不貪多求快．

第三，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，反思活動過程，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗尤其是數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗．一是總結(jié)知識形成的本質(zhì)規(guī)律和應(yīng)用契機，為什么有的學(xué)生公式倒背如流就是不會用，就在于學(xué)生不知道公式用在哪里、怎樣用；缺乏用公式的經(jīng)驗．二是探究問題形成的內(nèi)在聯(lián)系規(guī)律，問題的條件、結(jié)論和數(shù)學(xué)知識、方法、思想存在著必然的聯(lián)系，弄清內(nèi)在聯(lián)系就容易發(fā)現(xiàn)解決思路與方案．三是探究解決問題的基本策略與方法，比較不同方法之間的聯(lián)系與優(yōu)劣，尋求應(yīng)用各種方法解決問題的時機.例如求幾何體的體積關(guān)鍵是求高，哪些情況下直接求高、哪些情況下要進(jìn)行轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)化有哪些策略和技巧，經(jīng)驗需要總結(jié)，總結(jié)離不開反思、回顧、頓悟，必須給學(xué)生留有自主總結(jié)的時間．

本節(jié)課還有一些需要改進(jìn)的地方：(1)本節(jié)課要求學(xué)生有較強的空間想象和思維能力，對于空間感較差的學(xué)生普遍存在學(xué)習(xí)障礙．在本節(jié)課教學(xué)中如何培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)方面缺少行之有效的針對性措施，在平時的復(fù)習(xí)教學(xué)中也缺乏一整套成熟的訓(xùn)練方法．(2)本節(jié)課試圖貫徹以學(xué)生為主體的理念，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，加深理解，主動探究，但在具體活動過程中缺乏章法，特別是如何指導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高分析問題解決問題的能力，從而提升高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益還未形成成熟的做法．