例談三棱錐的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用

司政君

本文結(jié)合幾道高考試題，對(duì)三棱錐的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)在求錐體體積問(wèn)題中的運(yùn)用予以介紹.

預(yù)備知識(shí)

三角形一邊的中線將原三角形分成的兩個(gè)三角形的面積相等.

如圖，已知點(diǎn)D是△ABC的邊BC上的中點(diǎn)，則由三角形的面積公式易知S△ABD=S△ACD.

定理經(jīng)過(guò)一個(gè)三棱錐中沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條棱中一條棱的中點(diǎn)和另外一條棱的平面，將該三棱錐截成體積相等的兩部分.

如圖，已知在三棱錐S-ABC中，點(diǎn)D是SA的中點(diǎn)，所以由預(yù)備知識(shí)得：S△ABD=S△BDS.設(shè)C到平面SAB的距離為h，則VS-BCD=VC-BDS=13S△BDSh，VA-BCD=VC-ABD=13S△ABDh，所以VS-BCD=VA-BCD.

下面就舉例來(lái)談?wù)勥@一性質(zhì)在求三棱錐的體積中的運(yùn)用.

例1（2010陜西文18）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）求三棱錐E-ABC的體積V.

（Ⅰ）證明略 ；

（Ⅱ） 分析：如圖，連接AC，AE，CE，由矩形ABCD知三棱錐P-ABC的體積是四棱錐P-ABCD體積的12.由E為PB的中點(diǎn)知三棱錐E-ABC的體積是三棱錐P-ABC體積的12.于是，三棱錐E-ABC的體積V是四棱錐P-ABCD的體積的14.

解連接AC，AE，CE.由PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2， 知：AP=AB=2.

所以VP-ABCD=13SABCD·AP=13·22·2=43.

由矩形ABCD知VP-ABC=12VP-ABCD.又E為PB的中點(diǎn)，

所以VE-ABC=12VP-ABC=14VP-ABCD=14·43=13.

例2（2012全國(guó)課標(biāo)理11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（ ）.

A.26B.36C.23D.22

分析如圖，連接AO，BO.因?yàn)镺是SC的中點(diǎn)，所以三棱錐S-ABC的體積是三棱錐O-ABC體積的2倍，于是求出三棱錐O-ABC的體積即可知道三棱錐S-ABC的體積.

解連接AO，BO，取AB的中點(diǎn)D，連接OD，CD，作OO′⊥CD，垂足為O′.

因?yàn)镺A=OB=OC=1，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，

所以CO′=2312-（12）2=33.

所以O(shè)O′=12-（33）2=63.

又S△ABC=12·1·1·sin60°=34，

所以VS-ABC=2VO-ABC=2·13·34·63=26.

例3（2012遼寧文18）如圖，直三棱柱ABC=A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA′=1，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：MN∥平面A′ACC′；

（Ⅱ）求三棱錐A′-MNC的體積.

（Ⅰ）證明略 ；

（Ⅱ） 分析：如圖，連接BN，由M為A′B的中點(diǎn)知三棱錐A′-MNC的體積是棱錐A′-BNC 體積的12.

解連接BN.因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC=2，AA′=1，所以BC=（2）2+（2）2=2.

又N為B′C′的中點(diǎn)，所以S△ABC=12·2·1=1，A′N=1，

因三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，

所以A′N⊥平面A′ACC′.所以由M為A′B的中點(diǎn)知

VA′-MNC=12VA′-BCN=12·13·1·1=16.

例4（2013年高考安徽（文））如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA=6.

（Ⅰ）證明： PC⊥BD.

（Ⅱ）若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐P-BCE的體積.

（Ⅰ）證明略.

（Ⅱ）分析：如圖，E為PA的中點(diǎn)，所以三棱錐P-BCE的體積是三棱錐P-ABC的體積的12.連接AC，則三棱錐P-ABC的體積是四棱錐P-ABCD的體積的12，于是三棱錐P-BCE的體積是四棱錐P-ABCD的體積的14.

解連接AC交BD于O，連接PO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BD⊥AC，BO=DO.又PB=PD，所以BD⊥PO.又AB=AD=2，∠BAD=60°，所以BO=1.所以PO2=3，AO2=3.又PA2=6，所以PA2=PO2+AO2.所以AC⊥PO.所以PO⊥底面ABCD.又SABCD=AB·AD·sin∠BAD=2·2sin60°=23，E為PA的中點(diǎn)，所以VP-BCE=14VP-ABCD=14·13SABCD·PO=14·13·23·3=12.