巧用辯證思維 提升解題能力

馮建國 (江蘇省淮安市教學(xué)研究室 223000)

辯證思維方法是人們正確認識世界的媒介，是人們正確進行理性思維的方法．辯證思維方法是一個整體，它是由一系列既相區(qū)別又相聯(lián)系的方法所組成的．數(shù)學(xué)解題既需要邏輯思維也需要辯證思維．歸納演繹、分析綜合、具體抽象、歷史和邏輯等辯證思維方法對數(shù)學(xué)解題有重要的指導(dǎo)作用．本文結(jié)合教學(xué)實踐，對用辯證思維的方法培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力作一探討．

1 歸納和演繹：尋找解題的方向——到何處去？

歸納和演繹是最基本的思維方法．歸納是從個別上升到一般的方法，即從個別事實中概括出一般的原理；演繹是從一般到個別的方法，即從一般原理推導(dǎo)出個別結(jié)論．歸納和演繹的客觀基礎(chǔ)是事物本身固有的特殊和一般、個性和共性的關(guān)系．歸納和演繹是方向相反的兩種思維方法，但兩者又是互相依賴、互相滲透、互相促進的．

一般與特殊是對立統(tǒng)一的關(guān)系．解數(shù)學(xué)題時，有時會從特殊情況出發(fā)，通過推理解決一般問題；有時會從一般情況出發(fā)，通過一般結(jié)論來解決特殊問題．

例1在等差數(shù)列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110的值．

評析多數(shù)情況下特殊要比一般簡單．但事物是辯證的，就本題而言，先考慮一般再考慮特殊反而是走了捷徑．這是因為有時具體數(shù)的聯(lián)系看起來并不比用字母表示來得清晰和簡單．

2 分析和綜合：尋找解題的路徑——從何處來？

在數(shù)學(xué)解題過程中，分析一般是從目標出發(fā)，執(zhí)果索因；綜合一般是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч治雠c綜合的關(guān)系既相互區(qū)別又相互聯(lián)系，二者是對立統(tǒng)一關(guān)系．解數(shù)學(xué)題時，有時可以用綜合法，有時可以用分析法，有時還可以將兩者結(jié)合起來使用．

例2已知函數(shù)f(x)=lnx-x+1，g(x)=xex-2x(x∈(0, +∞))，求證：f(x)≤g(x)．

辯證思維告訴我們，在解數(shù)學(xué)題時既要關(guān)注問題的一般性，也要關(guān)注問題的特殊性，堅持具體問題具體分析，不能照搬照抄．

分析和綜合是兩種常見的思維方法．對一些較難的題目，往往會先分析后綜合．又由于一些學(xué)生在使用分析法時會將執(zhí)果索因?qū)懗捎梢驅(qū)Ч?，故提倡用分析法尋找思路，用綜合法表述解題過程，有時也會將執(zhí)果索因和由因?qū)Ч竭M行，在中間尋找交匯點．總之，無論是分析還是綜合，都是尋找解題路徑的有效手段．

3 具體和抽象：尋找解題的策略——怎么做？

在數(shù)學(xué)教與學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要經(jīng)歷具體表象抽象的過程，教學(xué)時要在直觀物體和抽象概念之間構(gòu)建橋梁，從而引導(dǎo)學(xué)生把握事物最主要、最本質(zhì)的數(shù)學(xué)屬性． 抽象應(yīng)有一個學(xué)生經(jīng)歷的過程，而不是直接告訴學(xué)生抽象的結(jié)果．數(shù)學(xué)抽象本身又是一個不斷提高的過程，這一過程永無止境．

例3“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規(guī)則是：在石頭、剪子和布中，二人各隨機選出一種，若相同則平局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭．甲、乙兩人玩一次該游戲，則甲不輸?shù)母怕适牵?/p>

評析具體和抽象是兩種常見的思維方法，決定解題的策略．在解決應(yīng)用問題，特別是關(guān)于概率與統(tǒng)計的有關(guān)問題時，首先需要將實際的、具體的問題抽象為數(shù)學(xué)問題，然后再思考數(shù)學(xué)問題的解決辦法.本題采用的方法是枚舉法，體現(xiàn)具體本身也是解決問題的一種很好的思維方法．

4 歷史和邏輯：尋找解題的原則——為什么？

邏輯指的是理性思維或抽象思維，它以理論的形態(tài)反映客觀事物的規(guī)律性．歷史包括兩層意思：一是指客觀事物的歷史發(fā)展過程，二是指人類認識的歷史發(fā)展過程．真正科學(xué)的認識是現(xiàn)實是歷史發(fā)展的反映，要求思維的邏輯與歷史的進程相一致．歷史是邏輯的基礎(chǔ)和內(nèi)容，邏輯是歷史在理論上的再現(xiàn)，是“修正過”的歷史．邏輯和歷史的一致是辯證思維的一個根本原則．

(1)聯(lián)系法：就是運用普遍聯(lián)系的觀點來考察思維對象的一種觀點方法，是從空間上來考察思維對象的橫向聯(lián)系的一種觀點．

通常像遞增與遞減、升維與降維、有限與無限、連續(xù)與離散、運動與靜止、正數(shù)與負數(shù)、展開與化簡等都讓人聯(lián)想到某種聯(lián)系．張景中院士認為：“一個事物的性質(zhì)最終可以用一串數(shù)描述，它可以看成是一個有窮維或無窮維的以時間為自變量的向量值函數(shù)．事物的變化，無非是向量的各個分量的變化——增加與減少．”[1]增加與減少既相互區(qū)別又相互聯(lián)系，二者是對立統(tǒng)一關(guān)系．在解數(shù)學(xué)題時，有時會從增加的角度來考慮，有時又會從減少的角度來考慮．

思路探求 原式中的三項都是正弦的2次冪形式，可以考慮降冪．

解題時通常采用的取導(dǎo)數(shù)法、取對數(shù)法、平面化法、坐標化法等都體現(xiàn)了聯(lián)系的觀點，而數(shù)形結(jié)合更是典型的代表．

(2) 發(fā)展法：就是運用辯證思維的發(fā)展觀來考察思維對象的一種方法，是從時間上來考察思維對象的過去、現(xiàn)在和將來的縱向發(fā)展過程的一種方式．

評析此類問題被稱為結(jié)構(gòu)不良問題，其特點是問題所給條件不全，解決問題必須另外補充條件，使得問題和解法均存在變數(shù)，問題是否有解與選擇的條件密切相關(guān)．

(3)全面法：就是運用全面的觀點去考察思維對象的一種觀點或方法，即從時空整體上全面地考察思維對象的橫向聯(lián)系和縱向發(fā)展過程．換言之，就是對思維對象作多方面、多角度、多側(cè)面、多方位的考察的一種觀點或方法．

通常所說的直接與間接、分類討論等是全面法的典型代表．解數(shù)學(xué)題時，有時要用直接法，有時要用間接法．解題的原則一般是正難則反，避實就虛．分類討論就是將復(fù)雜問題進行分類，要求科學(xué)準確、不重不漏．

例6用2n(n∈N*，且n>1)個相同的元件組成一個系統(tǒng)N，前面n個元件串聯(lián)成一個子系統(tǒng)A，后面n個元件并聯(lián)成一個子系統(tǒng)B，再將兩個子系統(tǒng)串聯(lián)起來．各個元件能否正常工作是相互獨立的，每個元件能正常工作的概率均為r(0

思路探求 對于子系統(tǒng)A，由于是串聯(lián)，只要每一個元件都能正常工作方可，故系統(tǒng)A能正常工作的概率為rn．對于子系統(tǒng)B，正面考慮比較困難，可以采用間接法：不能正常工作的概率為(1-r)n，故能正常工作的概率為1-(1-r)n．于是整個系統(tǒng)N能正常工作的概率為P=rn[1-(1-r)n]．

評析求子系統(tǒng)A,B的概率時分別用了直接法和間接法．如果我們將子系統(tǒng)B中的n個元件也串聯(lián)，然后再將A,B兩個子系統(tǒng)并聯(lián)，那么每個子系統(tǒng)能正常工作的概率都是rn．于是系統(tǒng)N能正常工作的概率為P=rn(2-rn)．這里用直接法和間接法都可以．若用直接法，需要考慮3種情況；若用間接法，則需考慮1種情況．其本質(zhì)就是不重不漏的分類討論，前者體現(xiàn)不同思維角度的全面，后者體現(xiàn)同一種方法的全面．

總之，辯證思維蘊含的對立統(tǒng)一規(guī)律對數(shù)學(xué)解題具有很強的指導(dǎo)作用，無論是解題的方向、路徑，還是解題的策略、原則．為了適應(yīng)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的新高考，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)勢在必行，而通過辯證思維提高學(xué)生的數(shù)學(xué)批判質(zhì)疑能力，也是體現(xiàn)突出核心素養(yǎng)導(dǎo)向的重要策略之一．為此，教師需要在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生多用辯證的思維方法解決問題．