一道求期望問題的解法探究與思考
——用遞推思想求整數(shù)值隨機變量的數(shù)學(xué)期望

安徽省淮南第二中學(xué)(232000) 趙 帥

概率一直是高中數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容,其題目的設(shè)計背景大多與日常生活息息相關(guān),下面就一道簡潔有趣的求期望問題與大家探討,以供參考.

一、問題再現(xiàn)與分析

題目5 位高矮各不同的小朋友隨機地站成一列,較矮的會被較高的小朋友擋住.問不被擋住的小朋友人數(shù)的期望值為多少.

分析顯然隨機變量X可取1,2,3,4,5 這5 個數(shù).由期望的計算公式:E(X)=可知解題的關(guān)鍵在于求出X取不同值時對應(yīng)的概率.而各自對應(yīng)的概率可由古典概型概率公式來計算.所以解題的關(guān)鍵在于求出對應(yīng)的X取值情況下正確的排法數(shù).為了簡便,用數(shù)字1,2,3,4,5 分別指代身高由矮到高的5 個小朋友.則此時問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)字的排列問題.易知所有的排法數(shù)為.

當(dāng)X=1 時,顯然5 必須在第一位,剩下的4 個數(shù)字進行全排列.排法數(shù)為,概率為

當(dāng)X=2 時,按照5 的前后數(shù)字個數(shù)進行分類,則有:

(1)前1 后3,則需要從1-4 數(shù)字中選1 個放至5 的前面,剩下3 個數(shù)字放至5 的后面進行全排列.則排法數(shù)為:

(2)前2 后2,則需要從1-4 數(shù)字中選2 個放至5 的前面(前大后小),剩下2 個數(shù)字放至5 的后面進行全排列.則排法數(shù)為:

(3)前3 后1,則需要從1-4 數(shù)字中選3 個放至5 的前面(3 個數(shù)中最大的數(shù)字在前,剩下2 個數(shù)進行全排列),剩下1 個數(shù)字放至5 的后面進行全排列.則排法數(shù)為:

(4)前4 后0,即5 在最后一位,必有4 在第一位,剩下三個

故當(dāng)X=2 時,概率為

當(dāng)X=3 時,按照5 的前后數(shù)字個數(shù)進行分類,則有:

(1)前2 后2,則需要從1-4 數(shù)字中選2 個放至5 的前面(前小后大),剩下2 個數(shù)字放至5 的后面進行全排列.則排法數(shù)為:

(2)前3 后1,則需要從1-4 數(shù)字中選3 個放至5 的前面(3個數(shù)中有1 個數(shù)字被擋住,有3 種排法),剩下1 個數(shù)字放至5 的后面進行全排列.則排法數(shù)為:3=12.

(3)前4 后0,即1-4 數(shù)字放至5 的前面.這4 個數(shù)中有2 個數(shù)字被擋住,若4 在第2 位,則對應(yīng)的排法數(shù)為:若4 在第3 位,則對應(yīng)的排法數(shù)為:若4 在第4 位,則對應(yīng)的排法數(shù)為故這4 個數(shù)滿足情況的排法數(shù)為: 6+3+2=11.

故當(dāng)X=3 時,概率為

當(dāng)X=4 時,按照5 的前后數(shù)字個數(shù)進行分類,則有:

(1)前3 后1,則需要從1-4 數(shù)字中選3 個放至5 的前面(前小后大),剩下1 個數(shù)字放至5 的后面進行全排列.則排法數(shù)為:=4.

(2)前4 后0,即1-4 數(shù)字放至5 的前面.這4 個數(shù)中有1 個數(shù)字被擋住,若4 在第3 位,則對應(yīng)的排法數(shù)為:=3;若4 在第4 位,則對應(yīng)的排法數(shù)為:+1=3,故這4 個數(shù)滿足的排法數(shù)為6.

故當(dāng)X=4 時,概率為

當(dāng)X=5 時,顯然是按照12345 的順序進行排列,排法數(shù)為1.概率為

二、問題研究

根據(jù)題目條件雖然可以依次求出X=1,2,3,4,5 時對應(yīng)的排列數(shù),但其計算過程是極其繁瑣的,也很容易出錯.在計算期望過程中,可以感受到里面有一種比較隱蔽的遞推關(guān)系,下面我們可將問題進行一般化推廣并列舉幾種利用遞推求期望的方法.

推廣大小不同的n個數(shù)排列成數(shù)列:a1,a2,a3,··· ,an.令bk=max{a1,a2,··· ,ak}(k=1,2,··· ,n),以bk的不同取值作為元素組成集合A.如數(shù)列1,3,2,1,4,5 中,bk為1,3,3,3,4,5,對應(yīng)的集合A為{1,3,4,5}.求集合A元素個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

為了解決這個問題,我們先找出期望的遞推關(guān)系.

思路1(概率遞推)當(dāng)項數(shù)為n時,設(shè)集合A中的元素為Xn.則分布列如下:

Xn 1 2 3···n P P1 P2 P3···Pn

則有E(Xn)=1×P1+2×P2+3×P3+···+n×Pn且P1+P2+P3+···+Pn=1.

當(dāng)項數(shù)為(n+1)時,集合A中元素個數(shù)為Xn+1.此時相當(dāng)于在n個數(shù)字中再插入一個數(shù)字.為了簡便,無妨設(shè)插入的這個數(shù)字比之前n個數(shù)都要小.現(xiàn)考慮一般情況,當(dāng)Xn+1=k時,則有兩種可能使得Xn+1=k,一是Xn=k時,n個數(shù)字產(chǎn)生(n+1)個空,要使得Xn+1=k,則此時將最小數(shù)插入到第1 位數(shù)字后的n個空中的某一個空; 二是Xn=k ?1 時,n個數(shù)產(chǎn)生(n+1)個空,要使得Xn+1=k,則此時只能將最小數(shù)插入到第1 位數(shù)字前的位置.則此時可得遞推關(guān)系:P(Xn+1=k)=×Pk.

此時分布列為:

Xn+1 1 2 3···n n+1 P nP1 n+1 P1 n+1+ nP2 n+1 P2(n+1)+ nP3 n+1···Pn?1 n+1+ nPn n+1 1 n+1Pn

利用待定系數(shù)法,設(shè):

解得:x=1,y=,故E(Xn+1)=E(Xn)+

思路2(隨機變量遞推)此時相當(dāng)于在n個數(shù)字中再插入一個數(shù)字,為了簡便,無妨設(shè)插入的這個數(shù)字比之前n個數(shù)都要小,注意到n個數(shù)產(chǎn)生(n+1)個空.則Xn+1的值可能為Xn或Xn+1.若Xn+1=Xn,則相當(dāng)于插入的最小數(shù)字放至第1 位數(shù)字后的n個空中的一個,對應(yīng)的概率為:若Xn+1=Xn+1,則相當(dāng)于插入的最小數(shù)字放至第1 位數(shù)字前的空里,對應(yīng)的概率為:故可得分布列如下:

Xn+1 Xn Xn+1 P n n+1 1 n+1

因此,E(Xn+1)=Xn+則E(E(Xn+1))=E(Xn)+即E(Xn+1)=E(Xn)+

思路3(排列數(shù)遞推)設(shè)N(n,k)為n個數(shù)排列使得集合A中元素個數(shù)為k時的排列數(shù),N(n+1,k)為(n+1)個數(shù)排列使得集合A中元素個數(shù)為k時的排列數(shù)的排列數(shù).要得到N(n+1,k),有兩種構(gòu)成方法.一是由N(n,k)構(gòu)成,此時數(shù)字個數(shù)要從原本的n變?yōu)?n+1),但A中元素個數(shù)不變,即將最小數(shù)字放至第1 位數(shù)字后的n個空中的某一個位置;或由N(n,k?1)構(gòu)成,此時數(shù)字加1 個且A中元素個數(shù)增加1,即將最小數(shù)字放至第1 位數(shù)字前的空里.則可得遞推關(guān)系:N(n+1,k)=nN(n,k)+N(n,k?1).由于

綜上結(jié)合思路1,2,3 可以得到期望遞推關(guān)系:E(Xn+1)=E(Xn)+利用累加法可得:E(Xn)=由E(X0)=0,故故A中元素個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為:當(dāng)n=5 時,不被擋住人數(shù)的數(shù)學(xué)期望是:

三、對于結(jié)果的一點思考

求此類期望的難點在于求得遞推關(guān)系,需要解題者具有一定的遞推思想,而遞推思想的本質(zhì)在于從有限的事件關(guān)系從中找到事件發(fā)展的規(guī)律,進而將有限推向無限,而遞推思想本身也是我們認(rèn)識問題和解決問題的一個重要工具.在我們的平時教學(xué)中,可以通過一些有趣且有內(nèi)涵的如切蛋糕問題,集齊卡片問題,擊鼓傳花等現(xiàn)實世界學(xué)生熟知的問題,有意向滲透遞推思想,進而開拓學(xué)生視野,提升解決問題的能力,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的眼光看世界.

四、練習(xí)

不難看出,得出的期望結(jié)果很巧合的為著名的調(diào)和級數(shù),事實上很多有意思的求期望問題其結(jié)果都為調(diào)和級數(shù).下面提供兩道所求期望形式為調(diào)和級數(shù)的練習(xí)供讀者參考.

練習(xí)1小賣部出售一種外包裝都一樣的卡片,且每個包裝只有一張卡片.這種卡片共有108 種樣式,如果能湊齊這108 種樣式的卡片即可獲得獎品.問為了得到獎品平均要買多少張卡片? (答案: 108×

練習(xí)2100 人坐飛機,他們分別拿到了從1 號到100 號的座位,這些乘客會按照號碼順序登機并對號入座,如果他們發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的座位被人坐了,就會在剩余的空座位隨便挑一個坐.現(xiàn)在假設(shè)1 號乘客隨便選一個座位坐下,問平均有多少人沒有坐到自己的位置? (答案: