化動(dòng)為靜 以靜御動(dòng)
——一類“多動(dòng)態(tài)向量”綜合題的解題策略

上海南匯中學(xué)(201399) 宋 磊

1 引言

高考對(duì)向量的考查主要有三個(gè)層面: 知識(shí)層面,直接考查向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、垂直或平行關(guān)系、基底、模與夾角等;方法層面,重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、函數(shù)與方程等思想方法;素養(yǎng)層面,主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

由于向量是溝通代數(shù)與幾何的有力工具,因此向量問(wèn)題的解決途徑一般有兩個(gè): 一是幾何法,通過(guò)向量的幾何意義以及向量的基本運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題;二是代數(shù)法,從向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、平面向量基本定理以及坐標(biāo)表示等方面思考,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題解決.筆者認(rèn)為,平面向量對(duì)學(xué)生而言之所以難,是難在向量的本質(zhì): 向量是自由的,可以隨意移動(dòng),動(dòng)態(tài)性很強(qiáng).當(dāng)題目中出現(xiàn)動(dòng)態(tài)向量較多或動(dòng)點(diǎn)較多時(shí),“化動(dòng)為靜、以靜御動(dòng)”才是解決此類向量問(wèn)題最關(guān)鍵的一步,本文將剖析這類問(wèn)題,探究解題策略.

2 典例分析

例1設(shè)a,b,c是同一平面上的三個(gè)兩兩不同的單位向量.若(a·b):(b·c):(c·a)=1:1:2,則a·b的值為____.

解方法1: 設(shè)a=(1,0),b=(cosα,sinα),c=(cosβ,sinβ),由a·b=b·c得cosα=cos(α?β),由a,b,c互不相同,不妨取?α=α?β,故β=2α,c=(cos 2α,sin 2α),由a·c=2b·c,得cos 2α=2 cosα,即2cos2α ?1=2 cosα,故cosα=即a·b=

方法2: 設(shè)b=(1,0),則由a·b=b·c得b⊥(a ?c),從而a與c關(guān)于x軸對(duì)稱,設(shè)a=(cosα,sinα),則c=(cosα,?sinα),a·c=cos2α ?sin2α=cos 2α=2b·c=2 cosα,故cosα=即a·b=

評(píng)析a,b,c是三個(gè)動(dòng)向量,同學(xué)們對(duì)此感到暈頭轉(zhuǎn)向.現(xiàn)考慮將其中一個(gè)動(dòng)向量固定,則使題目難度大大降低.方法1中,將a固定,根據(jù)單位圓設(shè)出b,c,通過(guò)坐標(biāo)法運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算找出b與c的關(guān)系,從而得解.解法2 將b固定,通過(guò)幾何特征找出a與c的關(guān)系,從而得解.兩種方法都是化動(dòng)為靜,用坐標(biāo)法加以解決.

例2設(shè)P是雙曲線x2?=1 上的動(dòng)點(diǎn),直線(t為參數(shù))與圓C:(x ?3)2+y2=1 相交于A、B兩點(diǎn),則的最小值是____.

解將直線參數(shù)方程化為普通方程后得知,該直線表示恒過(guò)M(3,0)的一條直線.雙曲線

圖1

的焦點(diǎn)及圓C的圓心都是M(3,0),如圖1.

因此,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為雙曲線上任一點(diǎn)P到焦點(diǎn)M(3,0)的最短距離,根據(jù)雙曲線的性質(zhì),=2,由 此 可 得

評(píng)析本題P,A,B均是動(dòng)點(diǎn),通過(guò)中點(diǎn)向量將動(dòng)點(diǎn)A,B轉(zhuǎn)化為靜點(diǎn)M,從而減少了動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù),再結(jié)合幾何背景將問(wèn)題解決.本題利用中點(diǎn)向量的轉(zhuǎn)化過(guò)程也稱為極化恒等式.在解決向量問(wèn)題時(shí),我們甚至可以將題設(shè)背景固定,如例3.

例3已知A,B,C是半徑為5 的圓Q上的點(diǎn),若的取值范圍是____.

解方法1: 如圖2,將圓心固定在原點(diǎn),設(shè)圓方程為x2+y2=25.由=6,半徑r=5,取BC中點(diǎn)M,連結(jié)OM,則|OM|=4,因此點(diǎn)M的軌跡是以(0,0)為圓心,4 為半徑的圓.同例2,利用極化恒等式,得

圖2

圖3

方法2: 如圖3,將點(diǎn)B,C固定,設(shè)B(?3,4),C(3,4),圓Q:x2+y2=25.設(shè)點(diǎn)A(5 cosα,5 sinα),則

由sinα∈[?1,1],得

評(píng)析本題將圓Q的圓心固定在原點(diǎn)O增加了同學(xué)們的解題信心.在方法2 中,根據(jù)=6,化兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)為兩個(gè)定點(diǎn),使問(wèn)題變得更加容易.

例4設(shè)ΔABC的內(nèi)角為A,B,C,其中G為ΔABC的重心,且則cosC的最小值是____.

解方法1: 采用坐標(biāo)法.將點(diǎn)A固定,如圖4.

設(shè)點(diǎn)A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),則重心得,

化簡(jiǎn)得bccosA=b2?2c2,由此可得cosA==所以a2+b2=5c2,從而cosC=當(dāng)且僅當(dāng)a=b取等號(hào).

評(píng)析方法1 將點(diǎn)A固定后,采用坐標(biāo)法,利用三角形的重心坐標(biāo)公式,結(jié)合余弦定理和基本不等式使問(wèn)題得以解決;方法2 采用了平面向量基本定理,采用轉(zhuǎn)化基底法達(dá)到目的.

例5已知A,B,C是邊長(zhǎng)為1 的正方形邊上任意三點(diǎn),則的取值范圍是______.

解如圖5,易得

當(dāng)A為正方形的頂點(diǎn)時(shí),最小值僅能取到0; 當(dāng)A在正方形的邊上時(shí),顯然當(dāng)B在A所在邊頂點(diǎn)時(shí),才會(huì)取得更小的值.如圖6,將點(diǎn)A定在正方形的底邊位置上,根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義(投影)得到故=?x(1?x)=x(x?1)=當(dāng)即A為底邊中點(diǎn)時(shí),

圖5

圖6

評(píng)析本題主要難度在于動(dòng)點(diǎn)較多,思路是先定點(diǎn)A(注意分類標(biāo)準(zhǔn)的建立),再考慮另外兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化情況.不失一般性,將動(dòng)點(diǎn)A定在正方形底邊位置考慮大大減少了討論的情況.

例6已知平面向量a、b、c滿足|a|=|b|=1,a·b=0,則|a+b ?c|+2|c ?b|的最小值為____.

解設(shè)a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),由得,

表示點(diǎn)C(x,y)到點(diǎn)D(1,1)距離與C(x,y)到點(diǎn)B(0,1)的距離的兩倍之和.故本題轉(zhuǎn)化為求|CD|+2|CB|的最小值.如圖7,連結(jié)AC、AD,取點(diǎn)連結(jié)CE,則

圖7

ΔCEA與ΔDCA相似,所以

當(dāng)B,C,E三點(diǎn)共線時(shí)取到等號(hào).

評(píng)析本題動(dòng)態(tài)向量太多,令人眼花繚亂.根據(jù)條件,將a,b設(shè)為基本單位向量后,求得c表示的運(yùn)動(dòng)軌跡,利用所求值的幾何意義,通過(guò)構(gòu)造阿波羅尼斯圓求出.本題將向量所具有的“數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性”與“形的直觀性”展現(xiàn)的淋漓盡致.

結(jié)語(yǔ)以上幾例向量問(wèn)題除了都具有一定的綜合性、靈活性和解法的發(fā)散性等特點(diǎn)外,還有一個(gè)共同的特點(diǎn): 動(dòng)態(tài)向量較多.通過(guò)“化動(dòng)為靜、以靜御動(dòng)”的解題策略,再依據(jù)代數(shù)運(yùn)算與幾何推理相結(jié)合,直接運(yùn)算和轉(zhuǎn)化運(yùn)算相結(jié)合,坐標(biāo)形式與符號(hào)形式相結(jié)合,基底分解與向量合成相結(jié)合等處理方式,問(wèn)題從而迎刃而解.