阿波羅尼斯圓的逆向探究及其應(yīng)用

佛山市南海區(qū)黃岐高級中學(xué)(528248) 熊向前

我們知道,到兩個定點(diǎn)的距離之和、之差為定值的點(diǎn)的軌跡分別為橢圓、雙曲線,那么到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是什么呢? 很多文章對此進(jìn)行了研究,并得出了阿波羅尼斯圓的相關(guān)結(jié)論.本文在阿波羅尼斯圓的基礎(chǔ)上進(jìn)行逆向探究,得出了幾個結(jié)論,并結(jié)合各地的高考題及模擬題給出相關(guān)應(yīng)用.現(xiàn)整理成文,不當(dāng)之處敬請批評指正.

一、問題的提出

題目(人教A 版必修二第124 頁B 組第2 題)已知點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離之比為求M的軌跡方程.(答案是(x+1)2+y2=4.)

該題反映了到兩個定點(diǎn)的距離之比等于定值的點(diǎn)的軌跡問題,聯(lián)想到橢圓、雙曲線的定義,我們不禁會問: 平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是否都是圓呢? 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(公元前約262-190年)對這個問題進(jìn)行了研究,并得出了阿波羅尼斯圓的相關(guān)結(jié)論.

阿波羅尼斯圓的定義: 設(shè)A、B是平面內(nèi)兩個定點(diǎn),平面內(nèi)動點(diǎn)P到A點(diǎn)與到B點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ(λ ＞0 且λ /=1),則點(diǎn)P的軌跡為圓,這個圓被稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓,這兩個定點(diǎn)我們稱之為阿波羅尼斯圓對應(yīng)的定點(diǎn).

圖1

證明如圖1 所示,以直線AB為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2a(a ＞0),則A(?a,0),B(a,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y),則由定義得=λ,即所以P點(diǎn)的軌跡為以為圓心,以為半徑的圓.

通過上述證明可以發(fā)現(xiàn)阿波羅尼斯圓有以下幾個性質(zhì):

(1)阿波羅尼斯圓上任意一點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之比為常數(shù);

(3)阿波羅尼斯圓對應(yīng)的兩個定點(diǎn)與圓心在同一條直線上,且一個定點(diǎn)在圓內(nèi),一個定點(diǎn)在圓外.當(dāng)λ ＞1 時,圓心在線段AB的延長線上,A點(diǎn)在圓外,B點(diǎn)在圓內(nèi); 當(dāng)0＜λ ＜1 時,圓心在線段AB的反向延長線上,B點(diǎn)在圓外,A點(diǎn)在圓內(nèi).

由阿波羅尼斯圓的定義可知,由兩個定點(diǎn)及常數(shù)λ可確定一個圓,那么,對上述問題進(jìn)行逆向思考,是否又有相關(guān)的結(jié)論呢? 筆者對此進(jìn)行了探究.

二、阿波羅尼斯圓的逆向探究

探究一已知一個半徑為r的圓O及常數(shù)λ(λ ＞0 且λ /=1),是否存在兩點(diǎn)A、B,使得對圓上任意一點(diǎn)P都有=λ呢?A、B兩點(diǎn)有何位置關(guān)系?

分析假設(shè)存在滿足條件的兩點(diǎn)A、B,以圓心O為原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.則圓O的方程為x2+y2=r2,設(shè)A(m,0),B(n,s),設(shè)P(x0,y0)是圓O上任意一點(diǎn),則有

由(1)(2)得

聯(lián)立(4)(5)得m=λr,n=所以存在兩個定點(diǎn)使得對圓上任意一點(diǎn)P都有=λ,由這兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知,它們都在過圓心O的一條射線上,且一個在圓內(nèi),一個在圓外.

忽略坐標(biāo)系,我們可以得到以下結(jié)論:

定理1已知半徑為r的圓O及常數(shù)λ(λ ＞0 且λ/=1),在過圓心O的任意一條射線上必存在唯一兩定點(diǎn)A、B,使得對圓上任意一點(diǎn)P都有=λ,其中A、B兩點(diǎn)滿足OA=λr,OB=

探究二已知一個半徑為r的圓O及圓內(nèi)(或圓外)任意一定點(diǎn)A,在圓外(或圓內(nèi))是否存在一點(diǎn)B,使得等于常數(shù)呢? 此常數(shù)為多少?

由阿波羅尼斯圓的性質(zhì)知,兩定點(diǎn)與圓心三點(diǎn)共線,而由探究一的分析知,在阿波羅尼斯圓中,兩定點(diǎn)A、B到圓心的距離滿足OA·OB=r2,所以若存在滿足條件的點(diǎn)B,則B必在射線OA上且OB=下面證明當(dāng)A點(diǎn)在圓內(nèi)時這樣的點(diǎn)B滿足條件.

圖2

證明因?yàn)镺B=所以當(dāng)A點(diǎn)在圓內(nèi)時,B點(diǎn)在圓外.如圖2 所示,設(shè)P為圓O上任意一點(diǎn),當(dāng)P點(diǎn)不在直線OA上時,連接PO、PA、PB,因?yàn)镺B=所以

又由∠POA=∠BOP得ΔPOA∽ΔBOP,所以

當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時,

當(dāng)P點(diǎn)在AB的反向延長線上時,

所以,對圓O上任意一點(diǎn)P都有等于常數(shù),此常數(shù)為

同理可證,當(dāng)A點(diǎn)在圓外時,線段OA上必存在一定點(diǎn)B且OB=使得對圓O上任意一點(diǎn)P都有為常數(shù),且此常數(shù)等于由此我們可以得出以下結(jié)論:

定理2已知半徑為r的圓O及圓O內(nèi)(圓O外)一定點(diǎn)A,在OA的延長線(線段OA)上必存在一定點(diǎn)B且OB=使得對圓O上任意一點(diǎn)P都有為常數(shù),此常數(shù)等于

聯(lián)想到圓中極點(diǎn)與極線理論的知識,容易發(fā)現(xiàn)B點(diǎn)可看成是A點(diǎn)關(guān)于圓O對應(yīng)的極線與直線OA的交點(diǎn),因此B點(diǎn)也可以由以下幾何方法作圖得到: 若A點(diǎn)在圓內(nèi),則連接OA,過A點(diǎn)作OA的垂線交圓O于M、N兩點(diǎn),再過分別過M、N兩點(diǎn)作圓O的切線,兩切線的交點(diǎn)即為B點(diǎn);若A點(diǎn)在圓外,則過A點(diǎn)作圓的切線得到兩個切點(diǎn),兩切點(diǎn)的連線與直線OA的交點(diǎn)即為B點(diǎn).

通過探究二的分析容易得到以下判定定理:

定理3對于半徑為r的圓O及兩定點(diǎn)A、B,若A、B兩點(diǎn)在以圓心O為端點(diǎn)的射線上,且滿足OA·OB=r2,則圓O為以A、B為定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓,即: 對圓上任意一點(diǎn)P都有為常數(shù),且此常數(shù)等于(證明過程同定理2 的證明基本一樣,此處不再贅述)

三、阿波羅尼斯圓的應(yīng)用舉例

例1(2008年高考江蘇卷)若AB=2,AC=則SΔABC的最大值是_____.

簡析因?yàn)锳C=所以從而C點(diǎn)的軌跡是以A、B為定點(diǎn)且比值λ=的阿波羅尼斯圓,此圓圓心在AB的延長線上,設(shè)其半徑為r,則r=×2=所以SΔABC的最大值是

評析此題常規(guī)方法是以BC為變量,結(jié)合余弦定理及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系或直接利用海倫公式將SΔABC表示成變量BC的函數(shù),再轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題,但運(yùn)算量大,不易得出正確的答案,而結(jié)合阿波羅尼斯圓的概念,數(shù)形結(jié)合地去解決則大大減小了計(jì)算量,省時高效,形象直觀,凸顯問題的本質(zhì).

例2(2012年全國高中聯(lián)賽福建預(yù)賽)已知圓C:(x ?2)2+(y ?2)2=m,點(diǎn)A(4,6),B(s,t);(1)略;(2)若s、t為正整數(shù),且圓C上任意一點(diǎn)到A的距離與到B的距離之比為定值λ(λ ＞1),求m的值.

簡析(2)由題意可知圓C可以看成是以A、B為定點(diǎn)以λ為比值對應(yīng)的阿波羅尼斯圓,由阿波羅尼斯圓的性質(zhì)可知,A、B兩點(diǎn)及圓心C(2,2)三點(diǎn)共線,由于λ ＞1,故A在圓外,B在圓內(nèi),圓心C在線段AB的延長線上,所以有又因?yàn)閟、t為正整數(shù),解得s=3,t=4,從而得m=r2=CA·CB=10.

例3(2014年高考湖北文科卷)已知圓O:x2+y2=1和點(diǎn)A(?2,0),若點(diǎn)B(b,0)(b /=?2)和常數(shù)λ滿足: 對圓O上任意一點(diǎn)M,都有|MB|=λ|MA|,則(1)b=____;(2)λ=____.

簡析由題意可得圓O是以A、B為定點(diǎn),以λ為比值對應(yīng)的阿波羅尼斯圓,由阿波羅尼斯圓的性質(zhì)可知:OA · OB=r2,所以O(shè)B=

評析例2、例3 用常規(guī)的解析方法不易得出正確答案,而利用阿波羅尼斯圓的相關(guān)性質(zhì)去思考則可以將問題迅速“秒殺”.

例4已知點(diǎn)P在邊長為2 的等邊ΔABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動,則AP+2PB的最小值是_______.

圖3

分析該題最容易想到的方法是解析法,即建立平面直角坐標(biāo)系,求出內(nèi)切圓的方程,通過圓的參數(shù)方程形式將所求目標(biāo)式表示成角度的函數(shù),再通過導(dǎo)數(shù)知識求出最小值.這樣做思路簡單,但計(jì)算非常繁瑣.

如圖3 所示,由于P點(diǎn)是圓上一動點(diǎn),A、B為圓外的兩定點(diǎn),故可考慮將圓O看成是點(diǎn)A或點(diǎn)B對應(yīng)的阿波羅尼斯圓,因此可將AP或PB進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合目標(biāo)式AP+2PB中的系數(shù)2 可知,應(yīng)將圓O看成是點(diǎn)A對應(yīng)的阿波羅尼斯圓.

由阿波羅尼斯圓的性質(zhì)可知,在OA上存在一點(diǎn)D使得為定值,此時,所以PA=2PD,則AP+2PB=2PD+2PB=2(PD+PB),由圖像可知,當(dāng)P、B、D三點(diǎn)共線時,PD+PB最小,故

例5(2019年蘇北七市三模)在平面四邊形ABCD中,∠BAD=900,AB=2,AD=1.若=的最小值是____.

解析以A為原點(diǎn)建立如圖4 所示的坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),D(0,1),設(shè)C(x,y),則由可得C點(diǎn)的軌跡方程為(x ?1)2+y2=4,故C點(diǎn)在以E(1,0)為圓心,2 為半徑的圓上運(yùn)動,根據(jù)所求目標(biāo)式,考慮將圓E看成是點(diǎn)B對應(yīng)的阿氏圓,則在EB的延長線上存在一點(diǎn)F,使得為定值,此時,所以CB=則故所求最小值為

評注例4、例5 可以歸結(jié)為: 已知圓外或圓內(nèi)的兩個定點(diǎn)及圓上一動點(diǎn),求a+λb的最小值問題,根據(jù)以上結(jié)論,實(shí)質(zhì)上是已知阿波羅尼斯圓及對應(yīng)的一個定點(diǎn),要確定另外一個定點(diǎn)的問題,λ的值實(shí)際上是阿波羅尼斯圓中對應(yīng)的比例常數(shù).解決此類題目的方法是利用阿波羅尼斯圓的性質(zhì)將a+λb轉(zhuǎn)化成圓上動點(diǎn)與圓內(nèi)外兩定點(diǎn)的距離之和,再利用兩點(diǎn)之間線段最短的幾何性質(zhì)來解決.

圖4

圖5

例6(2015年高考湖北理科卷)如圖5,圓C與x軸相切與點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過A作一條直線與圓O:x2+y2=1 相交于M,N兩點(diǎn),下列三個結(jié)論:其中正確的序號的____.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

解析(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x ?1)2+=2;(2)易求A(0,√?1),B(0,+1),因?yàn)閳AC與x軸相切,由切割定理可得OT2=OA·OB,即OA·OB=r2(r為圓O的半徑),故由本文定理3 可知,圓O為A、B兩定點(diǎn)對應(yīng)的阿波羅尼斯圓,由阿波羅尼斯圓的性質(zhì)可得

所以①②③均正確.

評注本題的命題背景實(shí)質(zhì)上是阿波羅尼斯圓的相關(guān)性質(zhì),它將阿波羅尼斯圓藏得比較深,需利用圓中的切割定理來找到OA、OB與圓O半徑的關(guān)系,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圓O實(shí)際上是A、B兩定點(diǎn)對應(yīng)的阿波羅尼斯圓.相對于官方提供的解析法,本文的方法起到了四兩撥千斤的效果.

四、結(jié)束語

許多高考試題都是課本例題、習(xí)題的變形、深化或拓展,體現(xiàn)了“高考題源于課本而又高于課本”的特點(diǎn),因此,我們要重視引導(dǎo)學(xué)生對課本例題、習(xí)題的探究與推廣,鼓勵他們深入挖掘其內(nèi)涵,這樣不僅能理解問題的本質(zhì),還能幫助他們找到解決問題的通性通法,形成自己的“秒殺技巧”,提高探究問題的能力.