指數(shù)與對數(shù)搭臺(tái) 同構(gòu)來唱戲

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

數(shù)學(xué)中的同構(gòu)式是指除了變量不同,而結(jié)構(gòu)相同的兩個(gè)表達(dá)式.數(shù)學(xué)中的同構(gòu)式,它不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱和諧美,而且運(yùn)用同構(gòu)式的思想解題能夠培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸的思維能力.同時(shí)含有指數(shù)和對數(shù)的函數(shù)的問題是高考中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)問題,此類問題常常在壓軸題的位置出現(xiàn),難度較大,而且直接求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)往往比較復(fù)雜,只有少部分簡單類型能夠直接利用求導(dǎo)求解,其思考角度比較獨(dú)特,由于x=logaax和x=alogax(a ＞0 且a /=1),因此,指數(shù)和對數(shù)之間往往可以相互轉(zhuǎn)化,通過適當(dāng)?shù)淖冃瓮瑯?gòu),可以很方便的解決一些同時(shí)含指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的問題.

一、同構(gòu)體系下的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)體系

首先,我們給出本文將會(huì)用到的一些常見的指數(shù)式和對數(shù)式的同構(gòu)類型.

類型1函數(shù)y=xex與函數(shù)y=xlnx,它們可以從以下三個(gè)角度同構(gòu):

(1)將函數(shù)y=xex變形為y=exln ex,與函數(shù)y=xlnx同構(gòu);

(2)將函數(shù)y=xlnx變形為y=(lnx)elnx,與函數(shù)y=xex同構(gòu);

(3)將函數(shù)y=xex與函數(shù)y=xlnx分別取對數(shù)得:y=x+lnx和y=lnx+ln(lnx),與函數(shù)y=x+lnx同構(gòu).

類型2函數(shù)y=與函數(shù)y=它可以從以下三個(gè)角度同構(gòu):

(1)將函數(shù)y=變形為y=與函數(shù)y=同構(gòu);

(2)將函數(shù)y=變形為y=,與函數(shù)y=同構(gòu);

類型3y=ex±x與函數(shù)y=x±lnx,它可以從以下兩個(gè)角度同構(gòu):

(1)將函數(shù)y=ex ±x變形為y=ex ±ln ex,與函數(shù)y=x±lnx同構(gòu);

(2)將函數(shù)y=x±lnx變形為y=elnx ±lnx,與函數(shù)y=ex±x同構(gòu).

除此以外,有時(shí)我們還需要對所求代數(shù)式兩邊適當(dāng)添項(xiàng)或者同乘以某一個(gè)變量從而達(dá)到同構(gòu),下面舉例說明同構(gòu)式的應(yīng)用.

二、利用同構(gòu)求值和化簡

例1若x1滿足方程xex=1,x2滿足方程xlnx=1,則x1x2=____.

解由題意x2lnx2=lnx2elnx2=1,且x2＞1,又x1ex1=1,令f(x)=xex,則有f(x1)=f(lnx2).顯然f(x)在(0,+∞)上遞增,故x1=lnx2,代入x2lnx2=1 得x1x2=1.

例2若x1滿足x+2x=5,x2滿足x+log2x=5,則x1+x2=____.

解x2+ log2x2?5=2log2x2+ log2x2?5=0,x1+ 2x1?5=0,令f(x)=2x+x ?5,則f(x1)=f(log2x2)=0,顯然f(x)遞增,故x1=log2x2,于是x2+log2x2?5=x1+x2?5=0,即x1+x2=5.

例3若x0滿足2e2x0+=0,證明:x0e2x0=1.

證明由2e2x0+=0 得即令h(x)=xex,則h(2x0)=h顯然h(x)在(0,+∞)上遞增,可得即于是x0e2x0=1.

三、利用同構(gòu)證明不等式

例4(2014年高考全國新課標(biāo)Ⅰ卷)證明: exlnx+

證明易見,待證式等價(jià)于

設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則(?x)e?x=e?xln e?x=g(e?x),于是待證式為:g(x)+g(e?x)+＞0.由于g′(x)=1 + lnx.所以當(dāng)x∈時(shí),g′(x)＜0; 當(dāng)時(shí),g′(x)＞0.故g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為因?yàn)閑?x∈(0,+∞),故當(dāng)x=1 時(shí),gmin(e?x)=從而g(x)+g(e?x)＞即g(x)+g(e?x)+＞0.

評注本題常見的解法是將變形為然后證明左邊函數(shù)的最小值大于等于右邊函數(shù)的最大值,需要分別研究左右兩邊的函數(shù),這里我們采用同構(gòu)的做法,書寫和運(yùn)算更為簡單,頗具新意.

例5(2015年高考全國Ⅰ卷文科第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x ?alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(ⅠⅠ)證明: 當(dāng)a ＞0 時(shí)f(x)≥2a+

解(1)略. (2)要證:f(x)≥ 2a+即e2x ?alnx≥將其變形為?lnx≥2+進(jìn)一步有: e2x?lna≥ 2 + ln 2x ?lna,繼續(xù)變形同構(gòu):[e2x?lna ?(2x ?lna)?1]+[eln2x ?ln 2x ?1]≥ 0,令g(x)=ex ?x ?1,所證即為g(2x ?lna)+g(ln 2x)≥0,顯然g(x)≥0 恒成立,故g(2x ?lna)+g(ln 2x)≥0 成立,等號成立條件為2x ?lna=ln 2x=0,即

評注本題常見的解法是采用零點(diǎn)的設(shè)而不求或者是變換主元法,仔細(xì)觀察后適當(dāng)變形是同構(gòu)的關(guān)鍵.

例6(2018年高考全國Ⅰ卷文科第21 題)已知函數(shù)f(x)=aex ?lnx ?1.

(1)設(shè)x=2 是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解(1)略.(2)待證式為aex≥lnx+1,由于當(dāng)時(shí),aex≥只需證:≥lnx+ 1,即ex≥elnex,兩邊同乘以x得:xex≥exlnex,即exln ex≥exln ex.令g(x)=xlnx,于是所證為g(ex)≥g(ex),由例4 知g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當(dāng)x∈時(shí),g(ex)＜0＜g(ex); 當(dāng)x∈時(shí),根據(jù)g(x)遞增知待證式為: ex≥ex.令h(x)=ex ?exh′(x)=ex ?e,可知h(x)在遞減,在(1,+∞)遞增,故h(x)≥h(1)=0,從而原不等式成立.

四、利用同構(gòu)解決恒成立求參數(shù)范圍問題

例7當(dāng)x ＞0 時(shí),不等式ex ?x?1≥a[x ?ln(x+1)]恒成立,求a的取值范圍.

解令f(x)=ex ?x ?1,顯然當(dāng)x ＞0 時(shí),f(x)＞0且f(x)遞增.x ?ln(x+1)=x+ 1?ln(x+1)?1=eln(x+1)?ln(x+1)?1=f(ln(x+1)),于是不 等式ex ?x ?1≥a[x ?ln(x+1)]即為:f(x)≥af(ln(x+1)).因?yàn)閤 ＞0,故ln(x+1)＞0 且x ＞ln(x+1),根據(jù)f(x)遞增知,f(x)＞f(ln(x+1)),從而＞1,于是a≤1.

評注本題若是采用一般求導(dǎo)求最值來求解,不勝其煩,而采用同構(gòu)法則十分簡便,值得我們細(xì)細(xì)品味!

例8已知函數(shù)f(x)=axex ?1,g(x)=lnx+kx.

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若k=1,f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(1)略.(2)當(dāng)k=1 時(shí),f(x)≥g(x)恒成立,即axex ?1≥lnx+x恒成立,aex+lnx ?1≥lnx+x,令t=x+lnx,從而aet ?1≥t ?a≥由于et≥t+1,故≤1,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1.

評注本題也可以采用分離參數(shù)后虛設(shè)零點(diǎn),然后用零點(diǎn)代換解決,做法也十分巧妙,讀者不妨一試!

五、利用同構(gòu)解決零點(diǎn)問題

例9試討論函數(shù)f(x)=xex ?a(x+lnx)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解f(x)=ex+lnx ?a(x+lnx),令t=x+ lnx,顯然t遞增且t∈(?∞,+∞),故t與x一一對應(yīng),于是f(x)=xex ?a(x+lnx)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為f(t)=et ?at的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).也為直線y=a與y=的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),結(jié)合函數(shù)y=的圖像不難得出函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況: 當(dāng)a∈(?∞,0)∪{e}時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a∈[0,e)時(shí),f(x)無零點(diǎn);當(dāng)a∈(e,+∞)時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評本題也可以采用分離參數(shù)然后數(shù)形結(jié)合解決,這里利用同構(gòu)法轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題,提供了另外一個(gè)思考角度!

從以上問題可以看出,對于同時(shí)含有指數(shù)和對數(shù)的函數(shù)問題,我們可以根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)式的特點(diǎn),采用同構(gòu)的思想來求解,這樣能避免復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算以及對函數(shù)單調(diào)性的討論與分析,求解簡潔快速,值得我們學(xué)習(xí)和研究.