數(shù)學(xué)建模視角下解決一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的爭(zhēng)議題*

廣東仲元中學(xué)(511400) 許鮪潮

廣東番禺中學(xué)附屬學(xué)校(511400) 麥桂崧

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),將學(xué)生的核心素養(yǎng)定義為“學(xué)生應(yīng)具備的,能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”[1].數(shù)學(xué)建模是六大核心素養(yǎng)之一,指對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題,即在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題,分析問(wèn)題、建立模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問(wèn)題[2].本文以2020年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽一道有爭(zhēng)議的題目為起點(diǎn),從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)出發(fā),利用數(shù)學(xué)建模的思想和方法解決這道題并提出建議與改編.

一、問(wèn)題的提出

題目某竹竿長(zhǎng)為24 米,一端靠在墻上,另一端靠在地面上.若竹竿上某一節(jié)點(diǎn)到墻的垂直距離和到地面的垂直距離都是7 米,則此時(shí)竹竿靠在墻上的端點(diǎn)到地面的垂直距離為_(kāi)___米,或____米.

圖1

本題是2020年6月21日舉辦的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽第3 題,分值8 分是一道中檔題,但根據(jù)某學(xué)校學(xué)生的答題調(diào)查,只有10%左右的學(xué)生寫(xiě)出參考答案.

二、模型假設(shè)

(一)假定竹竿是正放,即竹竿在地面上的射影與墻面垂直;

(二)墻面及地面摩擦系數(shù)足夠大,并且竹竿不會(huì)下滑;

(三)不考慮竹竿大小,重量及彈性形變等物理因素.

三、模型建立與求解

在模型假設(shè)的情況下,本題為平面幾何問(wèn)題,可建立如圖1 的平面直角三角形模型,將題目抽象為: 己知ΔAOB為直角三角形,P點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn),PM⊥OB于M點(diǎn),PN⊥OA于N點(diǎn),且PM=PN=7,AB=24,求OA的長(zhǎng)度.不妨設(shè)OA=a,OB=b,依題意可得ΔANP與ΔAOB相似,可得化簡(jiǎn)可得

根據(jù)AB=24 可得a2+b2=242,可化為

由①,②可得a+b=25+7=32,ab=7×32,從而a,b為方程λ2?32λ+32×7=0 的兩根,即16±由對(duì)稱性可知OA的長(zhǎng)度可能為a也可能為b,所以答案就是16+或16?

這個(gè)答案引發(fā)了不少質(zhì)疑: 根據(jù)上面的模型假設(shè)竹竿是要正放,但題目中沒(méi)有提及,是否還有其它的情況呢? 因?yàn)楸绢}有較強(qiáng)的物理背景,我們嘗試用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證,通過(guò)立體幾何建模的方法對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行優(yōu)化分析.

四、模型的驗(yàn)證及優(yōu)化

(一)實(shí)驗(yàn)我們通過(guò)實(shí)物實(shí)驗(yàn)和計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.分別以吸管,普通2B 鉛筆,質(zhì)地均勻的木棍,鐵棍以及計(jì)算機(jī)軟件SolidWords 仿真模擬進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)設(shè)定及原理如下:

1.地面材料分別選擇瓷磚(摩擦系數(shù)小),木地板(摩擦系數(shù)中等)和水泥地(摩擦系數(shù)大);

2.SolidWords 仿真模擬為了得到區(qū)分度較大的數(shù)據(jù),我們將材料設(shè)置為超高密度的金屬材料;

圖2

3.利用手機(jī)軟件“AR 測(cè)量”,通過(guò)如圖2 中測(cè)量|AD|和|BD|的長(zhǎng)度,計(jì)算出sin ∠ABD=所以(只取整數(shù)度數(shù)的角度).

在同一面墻壁上,多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)得到如下實(shí)驗(yàn)結(jié)果:

_地面材料___吸管___鉛筆___木棍___鐵棍___SolidWords___瓷磚__________17° 22° 23° 13° 7°__木地板________22° 22° 24° 17° 9°__水泥地________35° 27° 27° 27° 14°

實(shí)驗(yàn)的結(jié)果顯示存在穩(wěn)定的傾斜放置.而且最大傾斜角度與物體的質(zhì)量成負(fù)相關(guān),與地面及墻面摩擦系數(shù)成正相關(guān).

(二)模型拓展分析對(duì)竹竿進(jìn)行受力分析如圖2,竹竿B點(diǎn)處受到地面垂直向上的支持力及摩擦力其中可以分解為兩個(gè)互相垂直的力同理,竹竿D′點(diǎn)處受到墻面垂直向外的支持力及摩擦力其中可以分解為兩個(gè)互相垂直的力

(三)模型優(yōu)化通過(guò)實(shí)驗(yàn)和竹竿受力分析,我們將模型優(yōu)化為立體幾何長(zhǎng)方體模型,將竹竿理想化為長(zhǎng)方體ABCD ?A′B′C′D′的對(duì)角線BD′,竹竿上的點(diǎn)P到底面ABCD的距離為PM=7,點(diǎn)P到墻面ADD′A′的距離為PN′=7,竹竿的長(zhǎng)度為BD′=24.以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC為x軸,BA為y軸,BB′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=a,BA=b,BB′=c,BS=t則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(0,0,0),C(a,0,0),A(0,b,0),B′(0,0,c),D′(a,b,c),P(t,b ?7,7),則有由向量可得

由③式的第二個(gè)等號(hào)可得bc=7(b+c),聯(lián)立a2+b2+c2=242可得a2+(b+c)2=242+14(b+c)化簡(jiǎn)可得a2+(b+c ?7)2=252.

令a=25 cosθ≥0,而b ＞7,c ＞7 則b+c ?7=25 sinθ ＞0,即b+c=7+25 sinθ,bc=7(7+25 sinθ)所以b,c為一元二次方程λ2?(7+25 sinθ)λ+7(7+25 sinθ)=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

結(jié)合判別式(7+25 sinθ)2?4×7(7+25 sinθ)≥0,解得sinθ∈,此時(shí)b,c有解.不妨設(shè)b ＜c則有

根據(jù)對(duì)稱性,竹竿到地面的距離可以為c也可以為b,所以b,c兩值就是題目的兩解.所以符合題目的解有無(wú)數(shù)個(gè),其中當(dāng)a=25 cosθ=0 時(shí),sinθ=1 則有b=16?c=16+這就是原模型的解答.

圖3

圖4

五、題目的優(yōu)化與改編

(一)直接說(shuō)明“正放”.例如: 某竹竿長(zhǎng)為24 米,一端靠在墻上,另一端靠在地面上.使得竹竿在地面上的投影垂直于墻面.這樣的說(shuō)明可以讓學(xué)生直接進(jìn)入題目情景.

(二)與物理知識(shí)的結(jié)合.例如: 某竹竿長(zhǎng)為24 米,一端靠在光滑的墻上,另一端靠在粗糙的地面上.這樣的題設(shè)有一定的物理背景,由圖2 受力分析可以知道,如果墻壁光滑沒(méi)有摩擦力,則只有正放才能保持平衡.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì),是描述一個(gè)人經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)教育后應(yīng)當(dāng)具有數(shù)學(xué)特質(zhì),大體可以歸納為: 會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界,簡(jiǎn)稱“三會(huì)”[3].所以跨知識(shí)體系甚至跨學(xué)科的知識(shí)結(jié)合,也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).

(三)構(gòu)思新試題.原創(chuàng)題: 有一個(gè)長(zhǎng)方體模型己知各邊都為整數(shù),對(duì)角線長(zhǎng)度為39,且對(duì)角線上存在一點(diǎn)P到交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面的距離分別為3,8,12,求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積.

分析本題入手簡(jiǎn)單,但錯(cuò)誤率很高,主要原因是沒(méi)有進(jìn)行準(zhǔn)確的分類討論,對(duì)空間想象力和抽象邏輯要求較高.

解因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體對(duì)角線恒定,如圖4,不妨設(shè)點(diǎn)P在對(duì)角線BD′上,設(shè)P到面ABB′A′的距離為3,P到面ABCD的距離為12,這時(shí)有兩種情況:

(1)P到面BCC′B′的距離為8.

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BC,BA,BB′為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=a,BA=b,BB′=c,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(3,8,12),根據(jù)共線,所以D′(a,b,c)的坐標(biāo)可設(shè)為D′(3θ,8θ,12θ),故|BD′|2=a2+b2+c2=217θ2,即θ2=不符合邊長(zhǎng)為整數(shù)的條件.

(2)P到面ADD′A′的距離為8.

點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(3,b ?8,12),由向量可得可得c=4a,b=所以有

解得唯一整數(shù)解為a=9,故D′(a,b,c)=D′(9,12,36),VBD′=abc=3888.

同理,確定b,c討論a,以及確定a,b討論c,均無(wú)整數(shù)解.

故這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為3888.