逆向推理，重建數(shù)學(xué)思維方向

徐慧慧

摘? 要：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)倡導(dǎo)多向思維，教師有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生逆向思維操作能力，能夠給學(xué)生帶來更多全新的學(xué)習(xí)感知體驗(yàn)。由順而倒、從正及反、執(zhí)果析因、雙向變通，都能夠促進(jìn)逆反推理的進(jìn)行，教師要為學(xué)生做出更多引導(dǎo)，讓學(xué)生在具體推理實(shí)踐中形成學(xué)科認(rèn)知基礎(chǔ)。小學(xué)生數(shù)學(xué)思維認(rèn)知基礎(chǔ)比較有限，逆向思維能力更為缺乏，教師從更多角度展開教學(xué)引導(dǎo)，勢(shì)必能夠順利啟動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，形成嶄新的教學(xué)成長點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：逆向推理;數(shù)學(xué)思維;教學(xué)組織

小學(xué)生認(rèn)知水平有限，他們習(xí)慣順著事物發(fā)展的方向去思考問題，其實(shí)，對(duì)于有些問題來說，從結(jié)論倒推進(jìn)行思考，往往會(huì)使復(fù)雜的問題簡單化，解決問題的過程變得容易，這就是逆向推理。所以，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，我們從由順而倒、從正及反、執(zhí)果析因、雙向變通四個(gè)方面來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向推理，重建他們的數(shù)學(xué)思維方向，提高學(xué)生的認(rèn)知水平。

一、由順而倒，逆還原

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者。數(shù)學(xué)教學(xué)課堂注重過程，在教學(xué)中，教師要提前確定教學(xué)內(nèi)容主要分為幾部分，對(duì)于每一部分，設(shè)置什么步驟，引導(dǎo)學(xué)生跟著教師的思路進(jìn)行思考學(xué)習(xí)。在設(shè)計(jì)步驟時(shí)，教師要抓住重點(diǎn)以及關(guān)鍵內(nèi)容，教學(xué)中思路要清晰，語言要簡練，邏輯要縝密，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中得到一個(gè)符合邏輯的結(jié)論，之后引導(dǎo)學(xué)生完成由順向推理到逆向推理的轉(zhuǎn)變，進(jìn)行知識(shí)的逆還原。

例如，教學(xué)“認(rèn)數(shù)（一）”的時(shí)候，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生在掌握順向推理之后嘗試逆向推理，完成對(duì)知識(shí)的還原過程。一年級(jí)學(xué)生最重要的是學(xué)會(huì)數(shù)數(shù)，在教給學(xué)生從1數(shù)到10之后，學(xué)生慢慢就會(huì)記憶，從而很快完成數(shù)數(shù)任務(wù)。但是在實(shí)際生活之中，雖然需要他們能熟練進(jìn)行順向數(shù)數(shù)，不過有時(shí)候，還需要學(xué)生進(jìn)行倒著數(shù)數(shù)，比如倒計(jì)時(shí)等。所以，在學(xué)生熟悉了順著數(shù)的次序和結(jié)構(gòu)之后，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生倒過來再從10逐次數(shù)到1。經(jīng)過不斷練習(xí)之后，學(xué)生不僅可以熟練從1數(shù)到10，而且還可以反過來從10數(shù)到1，學(xué)會(huì)正著數(shù)，也學(xué)會(huì)反著數(shù)。在這個(gè)反著數(shù)的過程中，學(xué)生可以準(zhǔn)確還原之前學(xué)習(xí)的知識(shí)，而且在數(shù)數(shù)的時(shí)候會(huì)更加多樣化，他們學(xué)習(xí)的知識(shí)不會(huì)太死板，思維也會(huì)更加靈活。

在進(jìn)行由順而倒整體數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生不僅可以從正面來理解數(shù)學(xué)知識(shí)，還能從反面加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，從而對(duì)數(shù)學(xué)有了全面的認(rèn)識(shí)與了解。除此之外，還可以在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的還原意識(shí)，使學(xué)生的思維不會(huì)僅停留在對(duì)知識(shí)的表面認(rèn)知，在解題時(shí)思路還能更加靈活多變。

二、從正及反，逆聯(lián)想

每個(gè)事物都具有兩面性，只有全面地看待問題，才能理解事物的內(nèi)涵，減少錯(cuò)誤的發(fā)生。數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際是教給學(xué)生“思維”的方法，使學(xué)生具有創(chuàng)造性思維的能力。所以，在面對(duì)教學(xué)抽象的定理或者概念的時(shí)候，教師不能僅引用與所教內(nèi)容相一致的例子，也可以選用那些與內(nèi)容相反的事例，特別是一些學(xué)生容易混淆的事例。這樣，學(xué)生才可以更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，并將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)際，做到學(xué)以致用。

例如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”的時(shí)候，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從正反兩方面的事例來分析問題，讓他們進(jìn)行逆聯(lián)想。在教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”的時(shí)候，學(xué)生對(duì)于“小數(shù)末尾的0可添可去”這個(gè)性質(zhì)比較模糊，有的學(xué)生甚至誤將這個(gè)性質(zhì)理解為“小數(shù)點(diǎn)后面的0可添可去”，這兩句話完全是兩種概念，學(xué)生如果認(rèn)識(shí)不清，對(duì)他們后面的做題效率會(huì)產(chǎn)生很大的影響。為了糾正學(xué)生的認(rèn)知誤差，教師可以給學(xué)生舉出反例，比如3.007這個(gè)小數(shù)，如果按照學(xué)生正確的理解，應(yīng)該就是3.007，如果按照學(xué)生錯(cuò)誤的理解，他們就會(huì)認(rèn)為是3.7。很明顯，3.007和3.7存在很大的差別。教師可以讓學(xué)生先根據(jù)自己對(duì)性質(zhì)的理解寫出3.007的化簡，之后再引導(dǎo)學(xué)生比較3.007和3.7這兩個(gè)數(shù)字，這時(shí)學(xué)生才會(huì)發(fā)現(xiàn)自己對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知產(chǎn)生了誤差，并且在教師的引導(dǎo)之下積極改成自己的理解，從而為之后的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)，避免產(chǎn)生不必要的失誤。

由正及反教學(xué)方法可以讓學(xué)生養(yǎng)成逆聯(lián)想的習(xí)慣，而數(shù)學(xué)解題方法并不唯一，學(xué)生在正向解題遇到困難時(shí)，可以不由自主地改變自己思考的方向，從相反的方向來進(jìn)行聯(lián)想猜測(cè)，從而產(chǎn)生新的思路。這可以提高學(xué)生“一題多解”的能力，同時(shí)還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，一舉兩得。讓學(xué)生展開逆聯(lián)想，這對(duì)學(xué)生來說是全新學(xué)習(xí)體驗(yàn)，教師要做好教學(xué)引導(dǎo)，為學(xué)生規(guī)劃清晰操作思路，以提升教學(xué)針對(duì)性。

三、執(zhí)果析因，逆分解

數(shù)學(xué)知識(shí)中間存在很多復(fù)雜的關(guān)系，經(jīng)常會(huì)有幾個(gè)因素產(chǎn)生同一結(jié)果的情況發(fā)生，這些因素有些是統(tǒng)一的，有些是相反的，它們都在不同程度上影響著結(jié)果。對(duì)于這種問題，學(xué)生需要具備一種從結(jié)果出發(fā)來分析解決問題的能力，以此來簡化自己的分析過程，最終找到解決問題的辦法。尤其面對(duì)很復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師更應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用反向思維來找出解題思路和步驟，提高解題效率。

例如，教學(xué)“解決問題的策略”的時(shí)候，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)果出發(fā)來分析各因素之間的聯(lián)系，進(jìn)行逆分解。講完本節(jié)課內(nèi)容之后，有這樣一道題學(xué)生的出錯(cuò)率比較高：小明和小紅分別從A、B兩地出發(fā)，小明每分鐘走60米，小紅每分鐘走50米，他們兩個(gè)經(jīng)過9分鐘之后相遇，那么請(qǐng)問A地和B地兩地相距多少米？這個(gè)問題是典型的相遇問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先從問題出發(fā)，題目要求的是路程，那么學(xué)生都知道“路程=速度×?xí)r間”，從題目中可以看出時(shí)間是4分鐘，速度沒有直接給出，經(jīng)過思考可以知道速度是小明的速度和小紅的速度之和，速度需要學(xué)生進(jìn)行計(jì)算。經(jīng)過逆向分析之后，學(xué)生就可以知道解題的第一步是求出小明和小紅的速度之和，第二步直接運(yùn)用路程的公式就可以得出最終結(jié)果。這樣分析后，學(xué)生瞬間就清楚了解題的方向，也懂得了解題的方法與技巧，一切都是重在分析，只有把題目含義弄懂，學(xué)生在解題時(shí)才會(huì)更加順利。

同一個(gè)問題從不同的方面看會(huì)有不同的結(jié)果，在正面解題比較困難的時(shí)候，學(xué)生可以從結(jié)果出發(fā)進(jìn)行反向分析。這樣，他們?cè)诮忸}時(shí)不會(huì)盲目，具有針對(duì)性，而且條理清晰，步驟明確，邏輯縝密，最終求得題目結(jié)果。所以，教師應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生從反向來分析問題，有效解決數(shù)學(xué)問題，深化學(xué)生思維。學(xué)生順向思維比較發(fā)達(dá)，教師在引導(dǎo)學(xué)生展開逆分析時(shí)，需要充分關(guān)照學(xué)生的思維基礎(chǔ)，在方法上做出更多傳授，幫助學(xué)生順利建立學(xué)習(xí)認(rèn)知起點(diǎn)。

四、雙向變通，逆解題

思維是可以不斷創(chuàng)造的，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生接受兩種或者多種相對(duì)、互不相容的觀點(diǎn)，久而久之，學(xué)生就可以接受兩種完全不同的觀點(diǎn)，最后就可以創(chuàng)造出新的思維。那么，教師在教學(xué)時(shí)，需要精心設(shè)計(jì)自己的教案，不僅讓學(xué)生掌握知識(shí)正面的方法，同時(shí)，還讓他們從反面去解決問題。之后，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，思維就會(huì)更加靈活，也懂得將知識(shí)進(jìn)行變通，使解題方法多樣化。

例如，教學(xué)“正比例和反比例”的時(shí)候，教師就可以積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行雙向變通，指導(dǎo)他們進(jìn)行逆解題。在課后作業(yè)中，有這樣一道題：有一輛小汽車，所行路程如果是15km，耗油量是2L，如果這輛小汽車所行的路程是75km，那么它的耗油量是多少升？這道題研究的是路程、耗油量、每小時(shí)耗油量之間的關(guān)系，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把“每小時(shí)耗油量”看作一定的量，那么就可以得出正比例關(guān)系式，得到最終結(jié)果。之后，再引導(dǎo)學(xué)生逆向思考：1L油可以走多少路程呢？這樣得出的算式是否正確？得出的等式是不是一定的量？通過思考，學(xué)生就可以得出另一種計(jì)算方法，但是取得的結(jié)果是一樣的。那么，通過這種方式，學(xué)生就可以用互逆的兩種方法來解題。除此之外，教師還應(yīng)該讓學(xué)生懂得“出油率”和“榨1kg油需要的豆子的重量”是一對(duì)反對(duì)關(guān)系，同樣，工程問題也應(yīng)該注意反對(duì)關(guān)系。這樣，學(xué)生在解決問題時(shí)就可以從不同方面進(jìn)行著手，使計(jì)算的結(jié)果更加準(zhǔn)確。

經(jīng)常對(duì)學(xué)生進(jìn)行雙向變通思維訓(xùn)練，不僅可以拓寬學(xué)生思維的空間，同時(shí)，還可以讓學(xué)生形成創(chuàng)新性思維。為了讓學(xué)生逆向思維解題的能力不斷提高，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分析法和倒推法進(jìn)行解題。學(xué)生的雙向思維能力越強(qiáng)，解題的思路就會(huì)越寬，解題效率也會(huì)越高。小學(xué)生對(duì)逆解題操作還比較陌生，教師給學(xué)生提供更多示范操作，讓學(xué)生在觀察體驗(yàn)中掌握具體操作步驟，這對(duì)全面提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力有重要幫助。

數(shù)學(xué)教學(xué)主要是教給學(xué)生思維的過程，所以，教師不能將數(shù)學(xué)中的概念、定理或者數(shù)學(xué)解題方法直接出示給學(xué)生，而要暴露學(xué)生的思維過程，將思維貫穿于整個(gè)教與學(xué)之中。在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，這可以使學(xué)生更快地運(yùn)用遷移的規(guī)律去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的知識(shí)，還可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和克服困難的信心，從而更加深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高教學(xué)效果。