巧妙分類 破解困局
——以含參高考導(dǎo)數(shù)題的分析求解為例

劉安美 沈茵芝

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,225002) (江蘇省昆山市柏廬高級中學(xué),215300)

含參導(dǎo)數(shù)題常涉及分類討論思想的綜合運(yùn)用,能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的深度.在實(shí)際應(yīng)用時,學(xué)生易出現(xiàn)對分類對象和標(biāo)準(zhǔn)不明確、對問題的本質(zhì)理解不到位,對壓軸題難度有畏懼心理,主觀意識上放棄進(jìn)一步思考等現(xiàn)象.本文介紹分類討論“三步曲”:選擇分類對象—探索分類誘因—確定分類標(biāo)準(zhǔn),找準(zhǔn)切入點(diǎn),合理討論參數(shù)取值范圍,化繁為簡.通過含參高考導(dǎo)數(shù)題的分析，討論函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)、恒成立等問題,破解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用困局.

一、按導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)大小分類討論

例1已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x,討論f(x)單調(diào)性.

解f′(x)=2e2x-aex-a2

=(2ex+a)(ex-a).

若a=0,則f(x)=e2x在(-∞,+∞)單調(diào)增.

若a>0,則f′(x)有唯一零點(diǎn)x=lna.當(dāng)x∈(-∞,lna)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)減;當(dāng)x∈(lna,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)增.

評注由本題可見,求函數(shù)f(x)的單調(diào)性一般可按如下步驟進(jìn)行:

求定義域→求導(dǎo)數(shù)f′(x)→求f′(x)=0在

定義域內(nèi)的根→

用求得的根

劃分區(qū)間→確定f′(x)在各個

開區(qū)間內(nèi)的符號→得相應(yīng)開區(qū)

間上的單調(diào)性

二、按導(dǎo)函數(shù)的類型分類討論

當(dāng)a≥0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)增.

當(dāng)a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,則其判別式Δ=4(2a+1).

三、按函數(shù)最值大小分類討論

例3已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,若f(x)有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍.

解f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

當(dāng)a≤0時,f′(x)<0,f(x)在R上單調(diào)減,f(x)至多有一個零點(diǎn),不合題意.

若a=1,由f(-lna)=0,知f(x)有唯一零點(diǎn),不合題意.

若a∈(1,+∞),則易見f(-lna)>0,f(x)沒有零點(diǎn),不合題意.

綜上,a的取值范圍為(0,1).

四、按含參絕對值分類討論

例4已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|(a>0)，若f(x)在[-1,1]上的最小值記為g(a)，證明：當(dāng)x∈[-1,1]時，恒有f(x)≤g(a)+4.

解當(dāng)00,f(x)在(a,1)單調(diào)減.所以，g(a)=f(a)=a3.

若a≥1，則x≤a,f(x)=x3-3x+3a，f′(x)=3x2-3<0,f(x)在(-1,1)單調(diào)減，所以g(a)=f(1)=-2+3a.

令h(x)=f(x)-g(a).當(dāng)00,h(x)在(a,1)單調(diào)增，h(x)在[a,1]上的最大值為h(1)≤4,故f(x)≤g(a)+4.

若x∈[-1,a]，則h(x)=x3-3x+3a-a3,h′(x)=3x2-3<0,h(x)在(-1,a)單調(diào)減，h(x)在[-1,a]的最大值為h(-1)=2+3a-a3.令t(a)=2+3a-a3,則t′(a)=3-3a2>0,t(a)在(0,1)單調(diào)增，有t(a)

當(dāng)a≥1時，h(x)=x3-3x+2,h′(x)=3x2-3≤0，h(x)在[-1,1]單調(diào)減，h(x)≤h(-1)=4,故f(x)≤g(a)+4.

綜上，當(dāng)x∈[-1,1]時，恒有f(x)≤g(a)+4.

本文通過含參導(dǎo)數(shù)題幾種常見類型，介紹了分類討論的三步曲，分類標(biāo)準(zhǔn)并不是孤立的.參數(shù)問題形式多樣,解題時不一定局限于一種方法,只有抓住隱藏在題目的哪些信息,就能找到分類討論的切入點(diǎn),使問題獲解.