數(shù)學(xué)分析方法在現(xiàn)代控制理論中的應(yīng)用

劉帥 王立成

摘 要 數(shù)學(xué)分析是高校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門基礎(chǔ)專業(yè)課，其蘊涵的豐富內(nèi)容和精深的思想方法為后續(xù)各學(xué)科理論學(xué)習(xí)提供了堅實的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)分析教材中，言語精煉、概念抽象、推理嚴(yán)密的理論證明和繁雜的計算無處不在，在證明和計算過程中使用到的思想、方法和知識為其他自然科學(xué)和工程科學(xué)提供了研究方法和手段，也在理論和應(yīng)用之間架起了橋梁。數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)既有助于加深對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容本質(zhì)的規(guī)律性認(rèn)識，又對將數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于實際工業(yè)生產(chǎn)生活中起到了促進(jìn)作用。此外，現(xiàn)代控制理論是利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法和計算機(jī)來分析、綜合復(fù)雜控制系統(tǒng)的新理論，其發(fā)展離不開數(shù)學(xué)理論的推動，多種數(shù)學(xué)工具結(jié)合來解決控制與系統(tǒng)科學(xué)中的一些問題已成為一種規(guī)律。本文將著重探討數(shù)學(xué)分析方法在現(xiàn)代控制理論中的相關(guān)應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)分析 現(xiàn)代控制理論 泰勒級數(shù) 極值原理 多重積分 函數(shù)一致收斂性

中圖分類號：O17?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2020.09.034

Abstract Mathematical analysis is a basic professional course for students majoring in Mathematics in Colleges and universities. Its rich contents and profound thinking methods provide a solid foundation for the follow-up theoretical study of various disciplines. In the teaching materials of mathematical analysis， theoretical proof and complicated calculation with refined language， abstract concept and strict reasoning are everywhere. The ideas， methods and knowledge used in the process of proof and calculation provide research methods and means for other natural and engineering sciences， and also build a bridge between theory and application. The study of mathematical analysis not only helps to deepen the understanding of the regularity of mathematical theory and content essence， but also promotes the application of mathematical theory in actual industrial production and life. In addition， modern control theory is a new theory that uses modern mathematical methods and computers to analyze and synthesize complex control systems. Its development is inseparable from the promotion of mathematical theory. It has become a rule to solve some problems in control and system science by combining various mathematical tools. This paper will focus on the application of mathematical analysis method in modern control theory.

Keywords mathematical analysis; modern control theory; taylor series; extremum principle; multiple integral; uniform convergence of functions

0 引言

“數(shù)學(xué)分析”[1]是分析學(xué)中最古老、最基本的分支，它以微積分學(xué)和無窮級數(shù)一般理論為主要內(nèi)容，并包括它們的理論基礎(chǔ)（實數(shù)、函數(shù)和極限的基本理論）的一個較為完整的數(shù)學(xué)學(xué)科。它的發(fā)展由微積分開始，并擴(kuò)展到函數(shù)的連續(xù)性、可微分及可積分等各種特性。這些特性，有助于我們應(yīng)用在對物理世界的研究，發(fā)現(xiàn)自然界的規(guī)律。此外，數(shù)學(xué)分析中的極限理論、函數(shù)連續(xù)理論以及積分理論等滲透于理論研究的方方面面，為各專業(yè)理論研究的發(fā)展起到了重要的橋梁作用。

現(xiàn)代控制理論[2]形成于20世紀(jì)50年代末，是建立在狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上的，其兩大核心分別是最優(yōu)控制理論和最優(yōu)估計理論（Kalman濾波理論）。特別地，狀態(tài)空間模型的建立為接下來現(xiàn)代控制理論的發(fā)展和繁榮奠定了堅實的基礎(chǔ)。由于狀態(tài)空間模型可能是線性的、非線性的、定常的、時變的、連續(xù)的、離散的，因此，在分析這些模型的過程中，數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、矩陣論等數(shù)學(xué)工具發(fā)揮著巨大的作用。

1 主要結(jié)果

在這一部分，我們將著重討論幾類數(shù)學(xué)分析方法對現(xiàn)代控制理論發(fā)展中起到的重要作用。具體地包括：泰勒展開技術(shù)在擴(kuò)展卡爾曼濾波問題中的應(yīng)用;極值原理在最優(yōu)控制問題中的應(yīng)用;多重積分在時滯系統(tǒng)中的應(yīng)用以及函數(shù)的一致收斂性在李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定概念中的應(yīng)用。

1.1 泰勒級數(shù)展開在擴(kuò)展卡爾曼濾波問題中的應(yīng)用

Kalman濾波算法[3]是在1960年由Rudolf E. Kalman第一次提出的，隨后他發(fā)現(xiàn)這一算法對預(yù)測阿波羅計劃的軌道非常有用，從此，卡爾曼濾波在航空航天、現(xiàn)代通信以及計算機(jī)視覺等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。Kalman濾波的主要思想是：利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程以及一段時間內(nèi)一系列受噪聲污染的觀測值，來對未知狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計的算法。眾所周知，對于線性高斯系統(tǒng)，傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法可以在最小均方意義下獲得最優(yōu)的濾波器增益。

然而，實際的工程系統(tǒng)經(jīng)常受到外部環(huán)境中一些不確定因素的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)呈現(xiàn)非線性特性，針對非線性高斯系統(tǒng)，處理方法有擴(kuò)展卡爾曼濾波算法、無跡卡爾曼濾波算法和粒子濾波算法等。特別地，擴(kuò)展卡爾曼濾波算法核心思想是：對非線性函數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行一階線性化截斷，忽略其余高階項，從而將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，繼而可以用傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法進(jìn)行處理。而線性化過程用到的主要數(shù)學(xué)方法就是數(shù)學(xué)分析教材中的泰勒公式。具體地，考慮如下離散時間非線性高斯系統(tǒng)：

其中，和分別是待估計的狀態(tài)向量和傳感器的測量輸出，表示維歐式空間;過程噪聲和測量噪聲分別是零均值的高斯白噪聲序列。

根據(jù)方程（1）中的測量輸出，可以構(gòu)造兩階段卡爾曼濾波器，其具體結(jié)構(gòu)此處省略。定義是時刻的狀態(tài)估計值，是時刻對時刻的狀態(tài)的預(yù)測值。在計算濾波誤差協(xié)方差矩陣的過程中會遇到如下兩項：和，而這兩項的處理需要用到泰勒展開公式。

具體地，對在估計值處進(jìn)行泰勒展開并忽略高階項可得以及對在預(yù)測值處進(jìn)行泰勒展開并忽略高階項可得進(jìn)行線性化處理之后，接下來就可以采用傳統(tǒng)地卡爾曼濾波算法進(jìn)行計算。

由此可見，泰勒展開技術(shù)的使用可以將難以處理的非線性濾波問題轉(zhuǎn)化成為經(jīng)典的卡爾曼濾波問題，大大簡化了計算的復(fù)雜度。

1.2 極值原理在最優(yōu)控制問題中的應(yīng)用

線性二次最優(yōu)控制問題[4]是控制理論的一類經(jīng)典問題，早在20世紀(jì)50年代就有專家學(xué)者進(jìn)行了研究，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展的非常成熟，也取得了非常豐碩的成果。該類問題的受控對象為線性系統(tǒng)，目的是獲得最優(yōu)的容許控制，使得性能指標(biāo)泛函最小。在求解最優(yōu)容許控制律的過程中，經(jīng)常會使用的一種方法就是數(shù)學(xué)分析教材中的極值原理。具體地，考慮如下連續(xù)時間線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：

其中，為維狀態(tài)向量和為維控制輸入，為初始狀態(tài)，和是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

接下來構(gòu)造如下性能指標(biāo)，其是關(guān)于狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分形式：

由此可見，利用極值原理可以獲得線性二次最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制率，而且該控制率是一個反饋控制律，能方便地實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制，這在工程應(yīng)用上具有十分重要的實際意義。

1.3 多重積分在時滯系統(tǒng)中的應(yīng)用

所謂時滯是指系統(tǒng)的狀態(tài)變化不僅取決于當(dāng)前時刻的狀態(tài)還受過去狀態(tài)的影響，時滯的存在對系統(tǒng)性能會產(chǎn)生極大的影響，甚至可能造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。在實際工程系統(tǒng)中，時滯可能是系統(tǒng)本身的特性也可能是網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中發(fā)生的通訊時滯，而常見的時滯通常包括：常時滯、時變時滯、分布式時滯以及它們之間相互組合而成的混合時滯。在分析時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時，常用的是采用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，即構(gòu)造時滯依賴的Lyapunov函數(shù)，[5-7]然后結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)，可以獲得使系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。具體地，對于帶有時變時滯的連續(xù)時間系統(tǒng)，其時變時滯滿足，我們通常構(gòu)造如下的Lyapunov泛函：

其中，，以及，這里P，Q，R是待求的正定矩陣。通過讓的關(guān)于時刻的一階導(dǎo)數(shù)小于零，可以獲得一系列線性矩陣不等式條件使系統(tǒng)穩(wěn)定。

由此可見，多重積分引入可以有效地構(gòu)造時滯依賴的Lyapunov泛函，接下來，在對多重積分關(guān)于時間求導(dǎo)的過程中，多重積分的求導(dǎo)法則也將被利用來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1.4 函數(shù)的一致收斂性在李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)分析教材中，一致收斂性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，具體地，函數(shù)一致收斂[1]的定義為：對于任意給定的正標(biāo)量，存在，使得對于任意的以及任意的，有成立，則稱函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)族在集合上關(guān)于基一致收斂到函數(shù)。該性質(zhì)對今后無論是數(shù)學(xué)理論的發(fā)展還是控制理論的發(fā)展都起到了重要的作用。

1892年俄國學(xué)者李雅普諾夫在其發(fā)表的著名文章《論運動穩(wěn)定性的一般問題》中第一次提出了用于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論，即若一個動力系統(tǒng)從任何初始條件出發(fā)的軌線均能維持在平衡態(tài)附近，那么可以稱為李雅普諾夫穩(wěn)定。（下轉(zhuǎn)第81頁）（上接第70頁）具體的李雅普諾夫穩(wěn)定又可以分為：漸近穩(wěn)定、指數(shù)穩(wěn)定、大范圍穩(wěn)定以及一致穩(wěn)定。特別地，李雅普諾夫意義下的一致穩(wěn)定意味著，若系統(tǒng)在初始時刻為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，那么系統(tǒng)在取自時間定義區(qū)間上的所有初始時刻均為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，[8]該定義主要利用了函數(shù)一致收斂的概念。

2 結(jié)論

俗話說“工欲善其事，必先利其器”，數(shù)學(xué)分析相關(guān)知識在控制理論的發(fā)展和研究過程中發(fā)揮著重要作用，這些知識的靈活運用為豐富控制理論的研究內(nèi)容、研究方法以及應(yīng)用場景提供了可能。從列舉的幾個應(yīng)用場景來看，用數(shù)學(xué)分析的思想和方法來處理或解釋控制理論中的相關(guān)問題，往往描述簡單準(zhǔn)確且便于抓住實質(zhì)。因此可以斷言，數(shù)學(xué)分析的理論和方法是現(xiàn)在控制理論的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而在今后的研究中，我們將進(jìn)一步深入探究數(shù)學(xué)分析的理論和方法，拓展其在控制理論研究中的應(yīng)用范圍。

參考文獻(xiàn)

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