用實(shí)變函數(shù)理論透視數(shù)學(xué)分析

霍美睿

[關(guān)鍵詞]實(shí)變函數(shù)理論；數(shù)學(xué)分析；勒貝格積分理論

我們在數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)的微積分是普通微積分，它是由牛頓和萊布尼茨所建立的，存在著明顯的缺陷主要有三個方面：

第一，黎曼意義下可積的 函數(shù)類的范圍太小。例如，定義在上的狄利克雷函數(shù)，在黎曼積分（也稱積分）意義下不是可積函數(shù)，這一點(diǎn)實(shí)在遺憾！因?yàn)閱螐男问缴峡此莻€非?！昂唵巍钡暮瘮?shù)，函數(shù)值只有兩個值，卻居然黎曼不可積，這說明黎曼可積函數(shù)類的范圍太小。深入研究可知，黎曼可積函數(shù)空間是不完備的，即黎曼可積函數(shù)列的極限函數(shù)未必黎曼可積。空間的不完備使得泛函分析等近代數(shù)學(xué)方法和技巧無法應(yīng)用。

第二，積分與極限可交換順序的條件太嚴(yán)。在數(shù)學(xué)分析中，經(jīng)常遇到的重要問題是兩種極限過程的交換順序問題，尤其是積分與函數(shù)列的極限的交換問題在那里一般都是用函數(shù)列的一致收斂的條件來保證極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序可以交換，但是“一致收斂”這個條件是過于苛刻了，而且檢驗(yàn)起來也不方便。由于積分與極限交換順序這個問題不能順利解決，就大大降低了積分的效果。

第三，積分運(yùn)算不完全是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。我們知道任一個黎曼可積函數(shù)的變上限積分

在的所有連續(xù)點(diǎn)都有，換言之，就是積分后再微分可以還原。

然而，伏爾泰拉在1881年就構(gòu)造了一個可微函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是有界的，但導(dǎo)函數(shù)不是黎曼可積的，從而對這個函數(shù)來說，積分運(yùn)算并不是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，這就大大限制了微積分學(xué)基本定理的應(yīng)用范圍。鑒于積分的上述缺陷，人們長期以來就致力于改進(jìn)的嘗試，直1902年法國數(shù)學(xué)家勒貝格才成功地引入了一種新積分，后人稱之為勒貝格積分，簡稱積分，由于它在很大程度上擺脫了上述積分的困境，而且大大地擴(kuò)充了可積函數(shù)的范圍，所以今天已成為分析數(shù)學(xué)中不可缺少的工具。

實(shí)變函數(shù)理論就是圍繞積分的建立而展開的，它以集合論和實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)，將考察對象從經(jīng)典分析考察的定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)擴(kuò)大到定義在可測集上的可測函數(shù)類，在更寬松的條件下運(yùn)用微積分，使得微積分理論得到進(jìn)一步發(fā)展，其中心內(nèi)容為勒貝格測度論與勒貝格積分論。

但實(shí)變函數(shù)處理問題的思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)分析有了較大的飛躍，常使初學(xué)者感 到陌生、不適應(yīng)，面對習(xí)題束手無策往往加重了學(xué)生的思想負(fù)擔(dān)?！敖處熾y教，學(xué)生難學(xué) ”使課程建設(shè)的難度不言而喻。為此，在教學(xué)中一定要把這些新的概念與數(shù)學(xué)分析中已知的一些概念緊密結(jié)合起來，循環(huán)漸進(jìn)地進(jìn)行教學(xué)，這樣才能有可能把“承上”做好。

一、在實(shí)變函數(shù)理論中探討牛頓萊布尼茲公式成立的條件

利用絕對連續(xù)函數(shù)的概念，我們可以得到關(guān)于黎曼積分與牛頓—萊布尼茨公式：

黎曼積分

成立的充要條件是：（1）（2）是上的絕對連續(xù)函數(shù)；而在勒貝格積分的意義下，牛頓萊布尼茲公式：勒貝格積分

成立的充要條件是：是上絕對連續(xù)函數(shù)。

二、應(yīng)用勒貝格積分理論可以簡便解決數(shù)學(xué)分析中的某些問題

根據(jù)黎曼積分與勒貝格積分間的以下關(guān)系： 設(shè)是有限區(qū)間上的有界函數(shù)，若在上黎曼可積，則在上勒貝格可積，且積分值相同。由此為我們提供了一個用勒貝格積分理論來處理數(shù)學(xué)分析中某些問題的方法， 特別是原來比較難證明的或不易說明白的問題， 用此方法可較容易地給出滿意的解釋。 下面舉幾例子加以說明。

例1 若 是在 上處處取正值的常義黎曼可積函數(shù)，則

黎曼積分。

分析 此題若用數(shù)學(xué)分析的方法去證明，則相當(dāng)麻煩。但若利用實(shí)變函數(shù)的結(jié)論：若 則必有并且

再用反證法，即假設(shè)勒貝格積分，由積分的唯一性知（）。 這與已知矛盾，證畢。

例2 求證。

證明 因?yàn)楫?dāng)時，當(dāng)時

。所以，于是僅需證明即可。 但是用“”語言直接證明十分麻煩，從而，且=0，，這樣由勒貝格控制收斂定理有==0。

例3 求I=

解 首先展開被積函數(shù)===，因在內(nèi)非負(fù)連續(xù)，故由勒貝格逐項(xiàng)積分定理得I= 即

從表面可以看出示例3的演算似乎完全是在數(shù)學(xué)分析的框架內(nèi)進(jìn)行的，但是求和與積分互換的理由卻不易用數(shù)學(xué)分析中定理講清楚，用Levi定理的級數(shù)形式—勒貝格逐項(xiàng)積分定理則十分簡明。

三、數(shù)學(xué)分析對實(shí)變函數(shù)理論的作用

極限方法在研究實(shí)變函數(shù)理論中得到更充分的應(yīng)用。極限方法是研究數(shù)學(xué)分析的主要方法，與它相比，極限方法在研究實(shí)變函數(shù)理論中得到更加充分的應(yīng)用，事實(shí)上，一方面積分是在測度基礎(chǔ)上建立起來的，而測度與作為積分基礎(chǔ)的Jordan測度相比，不僅具有有限可加性，更具有可數(shù)可加性；另一方面，積分論的研究對象是定義在可測集上的可測函數(shù)，它與數(shù)學(xué)分析的主要研究對象——連續(xù)函數(shù)相比，有本質(zhì)區(qū)別，連續(xù)函數(shù)對極限運(yùn)算不封閉，而可測函數(shù)在極限運(yùn)算下是封閉的。這就是說，極限運(yùn)算對可測集、測函數(shù)可暢通無阻地進(jìn)行使用，也正是由于這個原因，使極限運(yùn)算在積分理論中得到充分的應(yīng)用，而且使積分能克服積分的局限性。例如勒貝格控制收斂定理，提供了比積分較弱的條件，使極限與積分次序可以交換，即它不要求驗(yàn)證極限函數(shù)的可積性，分析其原因正是基于“可測函數(shù)的極限函數(shù)仍是可測函數(shù)”這一特性，因此積分較之積分有著更為廣泛的應(yīng)用。以下我們舉一個實(shí)例來說明極限方法在實(shí)變函數(shù)理論中的應(yīng)用：

例如 若：連續(xù)且，： 勒貝格可測，則：為勒貝格可測。

證明 設(shè)為簡單函數(shù)列的極限，連續(xù)函數(shù)符號與極限符號（在逐點(diǎn)意義下）可以交換， 與簡單函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是簡單函數(shù)， 簡單函數(shù)列的極限函數(shù)可測。 這里的過程完全由極限方法主導(dǎo)著。

通過實(shí)變函數(shù)理論與數(shù)學(xué)分析的比較，我們可以認(rèn)清有關(guān)測度的定理來源于積分的定理，對數(shù)學(xué)以及其它的學(xué)科也產(chǎn)生了很大的影響。實(shí)變函數(shù)理論是微積分的延續(xù)學(xué)科，是比較高深的學(xué)科。因此，在學(xué)習(xí)中我們要學(xué)會運(yùn)用比較的方法，結(jié)合以前所學(xué)的知識由淺入深，這樣才能對新的理論不會感到高深莫測。□

（編輯/劉佳）