一道教師解題能力展示試題的賞析

廣東佛山順德羅定邦中學(xué)(528300) 李定平

1 題目

2018 佛山青年教師解題能力展示試題第16 題:設(shè)函數(shù)f(x)=?x2+bx+|x ?a|?a ?1,(a,b ∈R),若對(duì)?a ∈R,函數(shù)f(x)至多有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則b的取值范圍是____.

姑且不論難易得分如何? 此題中既是分段函數(shù),又含有兩個(gè)參數(shù)a和b,而且還有對(duì)任意參數(shù)a命題成立求參數(shù)b范圍的恒成立問(wèn)題,是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題,引起筆者的探索.

2 解法呈現(xiàn)

思維視角1討論f(x)的單調(diào)區(qū)間,由零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定的區(qū)間端點(diǎn)的正負(fù)求b范圍.

解法1等價(jià)于對(duì)?a ∈R,f(x) =x2?bx ?|x ?a|+至多有兩個(gè)不同的零點(diǎn),而f(x)是兩個(gè)開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸分別為和的分段二次函數(shù).

圖1

圖2

圖3

思維視角2函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與分段函數(shù)的交點(diǎn),由分段交點(diǎn)個(gè)數(shù)求b范圍

解法2等價(jià)于對(duì)?a ∈R,關(guān)于x的方程

至多有兩個(gè)不同的解, 即h(x) =x2?bx g(x) =至多有兩個(gè)不同的的交點(diǎn),而g(x)的圖像是頂點(diǎn)為P(a,?a ?1),斜率分別為1 和?1 的折線,其中左側(cè)是l:y=?x ?1,右側(cè)是m:y=x ?2a ?1.

當(dāng)l與h(x)無(wú)交點(diǎn)時(shí), 即x2?(b ?1)x+1 = 0 無(wú)實(shí)數(shù)解,即?= (b ?1)2?4<0 得:?1< b <3 時(shí),右折線m:y=x ?2a ?1 與h(x)最多兩交點(diǎn),方程1○至多有兩個(gè)不同的解;

當(dāng)l與h(x) 有一個(gè)交點(diǎn), 即b= 3 或b= 1 時(shí), 右折線m與h(x)可能存在兩個(gè)交點(diǎn),如b= 3 時(shí),當(dāng)a= 0 時(shí),x2?3x=x ?2a ?1 存在兩個(gè)大于a的解,方程1○有三解,不滿足要求.

當(dāng)l與h(x)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)(如圖3),作h(x)的斜率為1 的切線n, 記切點(diǎn)為A, 若A在直線l的上方時(shí), 存在右折線m也與h(x)有兩個(gè)不同交點(diǎn),故g(x)與h(x)有4 交點(diǎn),方程1○有4 解,不滿足要求; 若A在直線l的下方或在直線l上時(shí),g(x)與h(x)至多有2 交點(diǎn),滿足要求,設(shè)切線n:y=x+c,代入y=x2?bx得:x2?(b+1)x ?c= 0,所以即b2?2b ?7 ≥0,解得或此時(shí)滿足要求.

綜上所述,略.

思維視角3函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)含參數(shù)a的函數(shù)與參數(shù)b表示常數(shù)函數(shù)的交點(diǎn),由交點(diǎn)個(gè)數(shù)求b范圍

解法3等價(jià)于對(duì)?a ∈R,關(guān)于x的方程

至多有兩個(gè)不同的解,即等價(jià)于h(x) =與y=b至多有兩個(gè)不同的的交點(diǎn), 而p(x) =x ?1 +, 當(dāng)2a+ 1>0 時(shí)與一樣是對(duì)鉤函數(shù), 當(dāng)2a+ 1<0 時(shí)是(?∞,0)與(0,+∞)都單增的兩段增函數(shù).

(1)當(dāng)a≤?1 時(shí),q(x)在(?∞,a]上單增,p(x)在(a,0)上單增,在(0,+∞)上單增,h(x)與y=b至多有兩個(gè)不同的的交點(diǎn),則b ∈R(如圖4);

圖4

圖5

圖6

因?yàn)閷?duì)?a ∈R,至多只有兩個(gè)交點(diǎn),所以上述所求b范圍取交集即為所求.

評(píng)析這種化歸觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)最為明顯.

思維視角4求補(bǔ)集:?a ∈R,f(x)至少有三個(gè)不同的零點(diǎn),求b的取值范圍.

解法4由h(x) =x2?(b ?1)x+1(x≤a)有兩零點(diǎn)x1

由g(x) =x2?(b+ 1)x+ 2a+ 1(x > a) 有兩零點(diǎn)a

?a ∈使式成立,即

?a ∈使式成立,即

評(píng)析注意“?a ∈使式成立”的運(yùn)算.

思維視角5求補(bǔ)集:化歸為?a ∈R,含參數(shù)b的拋物線與含參數(shù)a的折線至少有三個(gè)不同的交點(diǎn),求b的取值范圍.

圖7

解法5由f(x) = 0 變形為x2?bx=|x ?a|?a ?1,令h(x) =x2?bx,g(x) =|x ?a|?a ?1,h(x)與g(x)至少有三個(gè)交點(diǎn)(如圖7),則h(a)≥g(a),即

評(píng)析V 型折線與拋物線至少有三個(gè)交點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)V 型頂點(diǎn)在兩切點(diǎn)之間且在拋物線下方,兩切點(diǎn)在折線下方.

3 感想

函數(shù)的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn),對(duì)?a ∈R,則要想象參數(shù)a任意變化,相應(yīng)的函數(shù)圖象如何變化,對(duì)直觀想象能力要求較高,分界點(diǎn)x=a變化導(dǎo)致函數(shù)圖形變化主要靠想象,不僅優(yōu)秀學(xué)生需要這樣的訓(xùn)練,作為教師也需要. 函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題大部分是含一個(gè)參數(shù),象這樣含兩個(gè)參數(shù)的題較少,如2015 湖南卷理第15 題:已知f(x)=若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x) =f(x)?b有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是____.