例談從邊入手構(gòu)造全等三角形的切入點(diǎn)*
——基于試卷講評(píng)課中暴露的學(xué)生解題困惑分析

甘肅省成縣城關(guān)中學(xué)(742500) 張曉東

構(gòu)造全等三角形是解決圖形問題的重要策略. 試卷講評(píng)課中暴露出:教師通過解題過程中輔助線添加規(guī)律的總結(jié),引導(dǎo)學(xué)生積累了構(gòu)造全等三角形的一般策略和常見模型等解題經(jīng)驗(yàn).但面對(duì)一個(gè)需要構(gòu)造全等三角形來解決的新問題,學(xué)生仍困難重重,找不線添輔助線的思維起點(diǎn). 根據(jù)兩個(gè)三角形全等至少有一組對(duì)邊相等的條件,從邊入手是構(gòu)造全等三角形的切入點(diǎn).下面以常見的典型問題為載體,多角度多策略展示了從邊入手構(gòu)造全等三角形較為有效的三個(gè)切入點(diǎn).即聯(lián)系已知和結(jié)論通過綜合分析,利用已知條件中的相等線段為對(duì)應(yīng)邊確定目標(biāo)三角形;利用結(jié)論提供的線段關(guān)系逆推而上選擇目標(biāo)三角形;利用解題條件中包含的線段特殊信息,基于解題經(jīng)驗(yàn)獲取目標(biāo)三角形.選擇這些切入點(diǎn)易于把握添加輔助線的策略,正確定位解題方向,從而突破構(gòu)造全等三角形的種種困惑.

1 利用已知條件中的相等線段為對(duì)應(yīng)邊構(gòu)造全等三角形

如果問題需要構(gòu)造全等三角形來解決, 從邊入手利用圖中的相等線段為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊. 這樣從已知得可知, 從結(jié)論推須知, 容易確認(rèn)目標(biāo)三角形,輔助線的作法便會(huì)自然生成.

圖1

問題1如圖1 中, 已知Rt?ABC中, ∠BAC= 90°,AB=AC,BD是AB邊上中線,AE ⊥BD交BC于E.求證:∠ADB=∠EDC.

1.1 分析從結(jié)論看是要證明兩角相等.證明兩角相等的一般策略是證明含這兩角的三角形全等、相似;或利用中間量,分別證明這兩角與中間角相等,通過等量代換來完成解題.

從已知看, 在Rt?ABC中, ∠BAC= 90°,AB=AC,則∠BAC= ∠ACB= 45°;BD是中線,AD=DC;AE ⊥BD, 則∠ABD= ∠EAC. 即由已知可得出許多相等的線段、相等的角, 可以考慮證含兩角的三角形全等.∠ADB在?ABD中,∠EDC在?DEC中,顯然這兩角的三角形不全等,只有添加輔助線構(gòu)造以∠EDC或∠ADB所在的某個(gè)三角形為目標(biāo)三角形的全等三角形.

1.2 解題策略及解法

以相等的線段為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊,選擇目標(biāo)三角形有如下解題思路:

思路1以AD=DC為對(duì)應(yīng)邊, 選擇?DEC為目標(biāo)三角形, 考慮到∠ACB= 45°, 則需要構(gòu)造以AD為邊, 點(diǎn)A為頂點(diǎn)的一個(gè)45°的角. 聯(lián)系在Rt?ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC, 根據(jù)“三線合一”則過點(diǎn)A做CF平分∠BAC交BD于F點(diǎn),從而構(gòu)造出?ADF(如圖2).這樣?DEC與?DAF全等轉(zhuǎn)化為證明AF=CE.由∠ABD= ∠EAC,AB=AC,∠FAB= ∠ACE= 45°,可得?ABF?CAE,所以AF=CE,問題得證.

圖2

圖3

思路2利用AB=AC為對(duì)應(yīng)邊, 選擇?ABD為目標(biāo)三角形,因?yàn)椤螦BD= ∠EAC,則要構(gòu)造以AC為邊,含有∠EAC的直角三角形與之全等, 且AC為直角邊. 所以輔助線為過點(diǎn)C作GC ⊥AC, 交AE延長(zhǎng)線于G點(diǎn), 構(gòu)造?ACG(如圖3).則?ABD?CAG,問題轉(zhuǎn)化為證明∠EDC=∠G,即以∠G為中間角,證明?EGC?EDC.由AD=CD=CG,∠DCE= ∠GCE= 45°,CE=CE,所以?EGC?EDC,∠EDC=∠G.

1.3 解題反思與回顧

問題1 是一道經(jīng)典圖形問題,圖2、圖3 是常見的兩種輔助線的作法.怎樣想到這樣添加輔助線呢?在解題教學(xué)中許多教師未必足夠關(guān)注,所以學(xué)生的困惑更大.

1.3.1 利用已知的相等線段為對(duì)應(yīng)邊,易于選擇目標(biāo)三角形

由解法1 和解法2 可知,利用已知條件中的相等線段為對(duì)應(yīng)邊易于選擇目標(biāo)三角形.有了目標(biāo)三角形,輔助線的作法由其邊角信息決定,即目標(biāo)三角形具有定向輔助線作法的功能.

以相等線段為切入點(diǎn)可以選擇不同的目標(biāo)三角形,其構(gòu)造全等三角形的輔助線作法便自然生成.問題1 要通過兩次三角形全等來完成證明,以AB=AC為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊,若選擇?ACE為目標(biāo)三角形,由∠ABD= ∠EAC,則要構(gòu)造以AB為邊含有∠ABD的三角形;由∠ACE=45°,所以輔助線的添加自然是作∠BAC的平分線或過點(diǎn)A作BC的垂線.這樣自然產(chǎn)生了?AFD(如圖2),問題轉(zhuǎn)化為證?CED與?AFD全等.這一思路其實(shí)與解法1 相同.

圖4

圖5

思路3以AD=DC為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊, 選擇?ABD為目標(biāo)三角形, 由∠BAD為直角, ∠ADB和∠EDC為全等三角形的對(duì)應(yīng)角, 所以輔助線自然要過點(diǎn)C作MC⊥AC,交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,構(gòu)造?MCD(如圖4), 問題轉(zhuǎn)化為證明AC=CM或∠M= ∠ABD.但這兩者都不易證明,可以把輔助線作適當(dāng)調(diào)整:作MC⊥AC,使CM=AB,則?MCD?BAD,即∠MDC= ∠BDA.連結(jié)ME,易證?MEC?AEC,則∠CME= ∠EAC,所以∠CME= ∠DBA= ∠MDC,則M、E、D三點(diǎn)共線,問題同樣可以解決.這一作法看似簡(jiǎn)單但其實(shí)要證明多次三角形全等,且對(duì)部分學(xué)生而言不夠自然.

1.3.2 通過多次全等利用中間量,是證明兩角相等的常見策略

以上三種解法是從已知的相等線段入手選擇目標(biāo)三角形,然后根據(jù)目標(biāo)三角形的邊、角特征構(gòu)造全等三角形,都是通過多次全等才最終完成證明的.其實(shí)質(zhì)是選擇某個(gè)角作為中間量來聯(lián)系已知和未知,這是證明兩個(gè)量相等的一般策略.對(duì)問題1,由于點(diǎn)D是AC中點(diǎn),許多學(xué)生想采取“倍長(zhǎng)中線法”,但發(fā)現(xiàn)不能解決問題.其實(shí)從相等的邊入手,倍長(zhǎng)中線同樣可以完成證明.

思路4以AD=DC為對(duì)應(yīng)邊, 延長(zhǎng)BD到F, 使BD=DF.則以∠FDC為中間角, 需要再構(gòu)造含∠FDC的三角形與?ECD全等.選擇?ECD為目標(biāo)三角形,過點(diǎn)C作MG⊥BC交DF于G, 構(gòu)造?GCD(如圖5), 可以證明?GCF?EAC,則CG=CE,根據(jù)“SAS”定理顯然?GCD?ECG,所以∠ADB=∠FDC=∠EDC.

思路5當(dāng)然從邊入手可也以通過構(gòu)造目標(biāo)三角形來完成證明. 如圖6 所示, 過點(diǎn)A作AF⊥BC于F,連結(jié)DF.可證?GBF?EAF,?GDF?EDF,∠FDG=∠FDE,即∠ADB=∠CDE.這一思路還是從圖中有特殊的等腰直角三角形,提供了許多相等的線段入手構(gòu)造全等三角形的. 當(dāng)然此題若從邊入手通過構(gòu)造相似三角形將會(huì)獲得更多解法,這個(gè)思路留給讀者自己探究.

圖6

圖7

2 利用結(jié)論提供的線段關(guān)系逆推而上構(gòu)造全等三角形

構(gòu)造全等三角形時(shí),若問題中已知條件提供的解題信息無法確定目標(biāo)三角形,可以從結(jié)論入手,利用其包含的線段關(guān)系逆推而上, 尋找結(jié)論成立所需要的目標(biāo)三角形.即以要證明的線段為邊選擇目標(biāo)三角形,輔助線添加便水到渠成.

圖7

問題2如圖7 中,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的任意一點(diǎn),∠AEF= 90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F,求證:AE=EF.

2.1 分析由已知條件中∠AEF= 90°,可知∠BAE=∠FEC;CF是正方形外角的平分線,則∠FCE= 135°;而正方形還可以提供相等的線段和相等的直角.結(jié)論是要證明AE和EF兩條線段相等,策略上自然是考慮證明兩三角形全等.證明AE=EF,一般而言要證明含AE或EF的兩三角形全等,即目標(biāo)三角形應(yīng)從結(jié)論入手選擇以AE或EF為邊的?ABE或?ECF.這樣將自然走出添加輔助線的困惑.

2.2 解題策略及解法

解題教學(xué)和測(cè)試表明, 大多數(shù)八年級(jí)學(xué)生基于其認(rèn)知經(jīng)驗(yàn), 首先考慮的輔助線作法是過點(diǎn)F作BC延長(zhǎng)線的垂線, 垂直為G, 構(gòu)造?FEG(如圖8), 然后去證明?ABE?EGF. 發(fā)現(xiàn)此路不通, 于是放棄證明.而選擇在AB上截取BG=BE連結(jié)EG,構(gòu)造?AGE(如圖9),證明?AGE?ECF的學(xué)生只是少數(shù), 更多的困惑是“為什么會(huì)想到這樣作輔助線?”.構(gòu)造全等三角形的前提是選擇目標(biāo)三角形,有了目標(biāo)三角形輔助線作法自然成.

解法1以?ABE為目標(biāo)三角形, 過點(diǎn)F作BC延長(zhǎng)線的垂線,垂直為G,構(gòu)造?FEG(如圖8),在?ABE和?FEG中∠BAE= ∠FEC, ∠ABE= ∠EGF= 90°;問題轉(zhuǎn)化為證明AB=EG或BE=FG.

顯然?ABE∽?FEG. 設(shè)AB=BC=a,BE=b,CG=GF=x.

根據(jù)“AAS”定理可知?ABE?FEG,所以AE=EF.

即八年級(jí)學(xué)生首先考慮的過點(diǎn)F作BC延長(zhǎng)線的垂線構(gòu)造?FEG,實(shí)質(zhì)是在解題策略上選擇了?ABE為目標(biāo)三角形,要證明AE=EF,構(gòu)造?FEG便成自然.只是先通過三角形相似證明BE=GF,再證明?ABE?FEG,對(duì)八年級(jí)學(xué)生來說力不從心,不夠自然.

圖8

圖9

解法2以?CEF為目標(biāo)三角形, 由∠BAE=∠FEC;∠FCE=135°,所以要構(gòu)造的三角形應(yīng)以AE為邊,且包含∠BAE另一邊等于CE.若在AB上截取AG=EC,則BG=BE, ∠AGE= ∠FCE= 135°(如圖9), 根據(jù)“AAS”定理可知?AGE?ECF,所以AE=EF.

圖10

解法3以?CEF為目標(biāo)三角形, 基于“共端點(diǎn)等線段”的旋轉(zhuǎn)特征,結(jié)合AE和EF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系, 具備旋轉(zhuǎn)重合的前提. 以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心, 構(gòu)造將?CEF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°, 使AE與EF重合所對(duì)應(yīng)的三角形. 如圖10 所示,若以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心把?CEF旋轉(zhuǎn)90°得?AGE,則∠GEC=90°,且EC=EG,∠AGE= 135°. 所以輔助線作法為:連結(jié)AC, 過點(diǎn)E作GE⊥BC交AC于G.

因?yàn)锳C是正方形的對(duì)角線,所以∠ACB= 45°,因?yàn)镚E⊥BC, 所以∠CGE= 45°, ∠FCE= ∠AGE= 135°,EG=EC. 由因?yàn)椤螦EF= 90°,所以∠AEG= ∠FEC,所以?AGE?FCE,即AE=EF.

2.3 解題反思與回顧

問題2 是以正方形為背景的典型問題,大量的教研表明,絕大多數(shù)教師和學(xué)生從直覺來說,都傾向于選擇?ABE為目標(biāo)三角形,過點(diǎn)F作BC延長(zhǎng)線的垂線是順理成章的事情.這一作法雖然保證了?ABE和?EGF中兩角對(duì)應(yīng)相等,但要找到且證明一邊相等就很難,最后都放棄這種解決問題的方法而使解題失敗.

2.3.1 解題思路源于利用結(jié)論提供的線段關(guān)系選擇目標(biāo)三角形

解法2、解法3 是選擇含有線段EF且包含了∠BAE=∠FEC;∠FCE= 135°等重要解題信息的?CEF為目標(biāo)三角形,所以構(gòu)造全等三角形解題的關(guān)鍵是選擇目標(biāo)三角形.不同的目標(biāo)三角形會(huì)指向不同的解題思路,也會(huì)產(chǎn)生偏離學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)的解題策略.選擇了目標(biāo)三角形,輔助線的添加要根據(jù)目標(biāo)三角形的邊、角特征,結(jié)合問題背景提供的已知條件采取逆推的方法來靈活確定.即先確認(rèn)與目標(biāo)三角形全等的“對(duì)象”三角形的大概位置,再按三角形全等的對(duì)應(yīng)邊和角,根據(jù)已知信息添加二者全等的所需條件.這些輔助線具有“溝通與顯現(xiàn)”的功能, 能使圖形之間隱含的關(guān)系顯現(xiàn)出來.所以輔助線的添加是邏輯推理的結(jié)果.

解法2 中選擇了?CEF為目標(biāo)三角形, 由∠BAE=∠FEC, 由AE與EF為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊, ∠BAE和∠FEC為對(duì)應(yīng)角,所以輔助線的添加直接指向:在AB上截取AG=CE或BG=BE;或以AE為邊作∠AGE=135°等,這三種輔助線作法可以顯現(xiàn)出圖中邊角之間互相關(guān)聯(lián)的等價(jià)關(guān)系,自然構(gòu)造出?AGE.解法3 中輔助線的添加采取的是同樣的策略.

2.3.2 從結(jié)論入手利用中間量, 拓展探究解題方法更多樣

前面的三種解法只是著眼于通過構(gòu)造以AB、EF為對(duì)應(yīng)邊的全等三角形來證明AE=EF.其實(shí),利用中間量原理才是證明兩線段相等的一般策略.由于問題背景是正方形,CF是其外角的平分線,具備圖形旋轉(zhuǎn)和翻折對(duì)稱的條件.從要證明的AE=EF入手,利用中間量會(huì)發(fā)現(xiàn)問題2 更多樣的解法.

解法4如圖11,在正方形ABCD中若存在線段與AE垂直且與AB、DC相交,則這條線段與AE相等.這是正方形問題的常見解題模型.以這樣的線段為中間線段只需過點(diǎn)B作BG//EF交CD于G(或作GB⊥AE)則BG=AE.以?FEC為目標(biāo)三角形, 在BC上截取BH=CE, 連結(jié)HG.可證?BGH?EFC,即EF=BG=AE.

圖11

圖12

解法5如圖12, 選擇?ABE為目標(biāo)三角形, 以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心, 把?ABE旋轉(zhuǎn)90°, 即延長(zhǎng)AB到G使BG=BE, 連結(jié)GE, 則?ABE?CBG. 所以AE=CG, ∠BCG= ∠BAE. 因?yàn)椤螧AE= ∠FEC,所以∠FEC= ∠BCG, 所以EF//GC. 又因?yàn)椤螱EC=135°=∠FCE=135°,所以CF//EG.即四邊形GEFC是平行四邊形,所以EF=CG=AE.

解法6如圖13, 選擇?FCE為目標(biāo)三角形, 把?FCE沿直線BC翻折得?GCE. 即連結(jié)AC并延長(zhǎng)到G, 使CG=CF. 連結(jié)EG, 易證?FEC?GEC.所以∠F= ∠G,EF=EG. 因?yàn)椤螧AE= ∠FEC,∠BAE+ ∠EAC= ∠FEC+ ∠F= 45°, 所以∠F=∠EAC=∠G,所以AE=EG,即AE=EF.

解法7如圖14, 把?ABE沿直線BC翻折得?BEG, 以GE為中間線段. 即并延長(zhǎng)AB交FC的延長(zhǎng)線于G, 連結(jié)GE, 易得?CBG是等腰直角三角形. 則?ABE?GBE,即AE=EG.同樣可證∠F=∠EGC,所以EG=EF=AE.

圖13

圖14

以上幾種解法是基于問題的背景是正方形,具備圖形旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱的條件,但產(chǎn)生多種解法的關(guān)鍵是利用中間量,間接達(dá)成線段相等的轉(zhuǎn)化策略.由此可見,通過平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等構(gòu)造全等三角形的實(shí)質(zhì),是在選定目標(biāo)三角形后由其邊角信息和已知條件作出的自然選擇.

3 利用解題條件包含的線段特殊信息構(gòu)造全等三角形

構(gòu)造全等三角形, 一般利用已知條件中提供的特殊信息, 根據(jù)全等三角形的基本模型來添加輔助線.如有中點(diǎn)、中線可以構(gòu)造中心對(duì)稱全等型; 有角平分線可以構(gòu)造關(guān)于直線對(duì)稱全等型等.所以挖掘解題條件中所含的特殊信息,基于積累的解題經(jīng)驗(yàn)通過聯(lián)想便會(huì)產(chǎn)生輔助線的作法.

圖15

問題3如圖15,在?ABC中,AB=AC,延長(zhǎng)AB到D, 延長(zhǎng)邊CA到E, 連接DE, 恰有AD=BC=CE=DE,求∠BAC的度數(shù).

3.1 分析從已知看,AB=AC,AD=DE則∠ABC= ∠ACB, ∠DEA= ∠DAE; 而BC=EC對(duì)產(chǎn)生角之間的關(guān)系沒有明顯的作用.由AB=AC,EC=AD則BD=EA,可知圖中包含大量的相等線段.從結(jié)論看,求∠BAC的度數(shù),卻沒有相關(guān)角的度數(shù)的任何信息.這些相等線段除構(gòu)成兩個(gè)等腰三角形?ABC和?EDA,其余線段不在同一三角形中.而求等腰三角形角度的策略:一般需要知道同三角形的底角和頂角的關(guān)系, 通過內(nèi)角和定理及內(nèi)外角關(guān)系列方程求解,所以此題要明確圖中∠ABC、∠DAE、∠ADE和∠BAC的深層關(guān)系,這是解題的出發(fā)點(diǎn).

已知條件是幾組相等的線段,這些特殊線段關(guān)系是構(gòu)造全等三角形的重要條件.可以通過全等三角形的橋梁作用使問題中隱含的關(guān)鍵解題信息清晰地展現(xiàn)出來. 這里只有把BC、CE這兩條看似與角無關(guān)的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移,并與其他線段合理組合,才能找到隱藏于相等線段之中的角之間的深層關(guān)系.

3.2 解題策略及解法

由于AD和DE是?DEA的兩腰,已知AD=DE=BC=CE, 且BD=EA. ?DEA含有已知條件中的主要解題信息, 應(yīng)當(dāng)選擇?DEA為目標(biāo)三角形. 然后根據(jù)?DEA的邊和角的特征,添加輔助線構(gòu)造與之全等的三角形. 從邊入手, 若以DE=CE為對(duì)應(yīng)邊, 則應(yīng)構(gòu)造以CE為腰的等腰三角形與之全等. 所構(gòu)造的三角形的角應(yīng)與∠DEA、∠DAE或∠EDA相等.這樣輔助線的作法已清晰明了.

解法1如圖16,從CE=DE入手作∠CEF=∠ADE并 使EF=EC, (或 過C作CF//AD, 則∠EAD=∠ECF;EA與CF應(yīng)是對(duì)應(yīng)邊.)則?CEF?EDA.這樣∠EAD= ∠ECF, ∠FEC= ∠EDA;CF=AE, 這些條件還不能溝通已知和結(jié)論.由AB=AC,AD=CE,知EA=DB=CF, 再由∠EAD= ∠ECF知,CF//BD,所以連結(jié)DF, 則四邊形BDFC是平行四邊形. 所以DF=BC=DE=EF, 即?DEF為等邊三角形. 這樣有了已知角度,也激活了所有條件與∠BAC的深層關(guān)系,問題解答如下:

解由上分析,設(shè)∠BAC=x°,則∠ADF= ∠ABC=因 為∠DAE= 180° ?x°, 所 以∠ADE=180° ?2∠DAE= 180° ?2(180° ?x°) = 2x° ?180°, 因?yàn)椤螦DF+∠ADE= ∠EDF= 60°, 所以(2x°?180°)=60°,所以x=100. 所以∠BAC=100°.

圖16

圖17

解法2由解法1 知,構(gòu)造?CEF?EDA,最終是要產(chǎn)生等邊三角形,這才是求∠BAC度數(shù)的關(guān)鍵. 以?DEA為目標(biāo)三角形, 從邊入手選擇BD=EA為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊.則所構(gòu)造的等腰三角形的腰應(yīng)與ED相等,底角與∠EAD或∠AED相等.

如圖17 所示,從AE=BD入手,過點(diǎn)D作DF//EC,(或作∠BDF= ∠AED), 使DF=EC連結(jié)、BF、CF.則?DEA?FBD(SAS), 所以EC=DF=BF, 因?yàn)锳D=DE=BC=CE, 所以四邊形EDFC是菱形. ?BCF為等邊三角形, 且∠BFD= ∠ADE. 設(shè)∠BFD=x°,則∠CFD=∠DAE=∠E=60°+x°,因?yàn)椤螮AD+∠E+∠ADE=180°,所以2(60°+x°)+x°=180°,解得x= 20, 即∠DAE= 20°, ∠AED= 80°, 所以∠BAC=100°.

3.3 解題回顧與反思

這是一個(gè)求角度的問題, 而已知條件中沒有任何角度信息; 已知信息主要是幾組相等線段, 多條相等線段又在不同三角形中. 基于解題經(jīng)驗(yàn)應(yīng)考慮通過構(gòu)造全等三角形實(shí)現(xiàn)線段的恰當(dāng)組合產(chǎn)生特殊角. 若已知條件無法確定解題方向, 可從結(jié)論出發(fā), 逆推而上, 探尋問題中深藏不露的信息. 如上題中, 若∠BAC= 100°則∠ACB= 40°,∠BAC ?∠ACB= 60°,這一信息與等邊三角形有關(guān).聯(lián)系A(chǔ)D=BC=CE=DE,從邊入手構(gòu)造全等三角形,將相等線段集中構(gòu)造等邊三角形產(chǎn)生60°角,為求角度提供明確的信息.

3.3.1 從線段特殊關(guān)系入手構(gòu)造等邊三角形,多種解法自生成

從以上解題過程看出:求∠BAC的關(guān)鍵是把相等線段轉(zhuǎn)移聚焦構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,產(chǎn)生60°的特殊角,而線段的轉(zhuǎn)移是通過構(gòu)造全等三角形來實(shí)現(xiàn)的.怎樣添線構(gòu)造全等三角形,要選擇?DEA為目標(biāo)三角形.它以四條相等線段中兩條為腰,且含有與EA=BD這些重要的解題信息.選擇?DEA根據(jù)其邊角的特點(diǎn),構(gòu)造與之全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的輔助線作法便自然生成.按這個(gè)策略思考還有如下輔助線作法:

解法3如圖18, 以?DEA為目標(biāo)三角形, 以DE=EC為三角形的對(duì)應(yīng)邊, 以點(diǎn)C為頂點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形, 過E作EF//AD, 使EF=AE, 連接BF、CF, 則?DEA?CEF,可證?FBC為等邊三角形.(過程略)

解法4如圖19,以?DAE為目標(biāo)三角形,以EA=DB為三角形的對(duì)應(yīng)邊,過B作BF//AC,使BF=DE,連接DF、EF, 則?DEA?FDB可證?DFE為等邊三角形,這樣通過列方程同樣可求出∠BAC=100°.(過程略)

解法5如圖20, 以?DAE為目標(biāo)三角形, 以ED為兩三角形的公共邊,作等腰?EDF等腰?EDA,連接CF,DC. 可證?EFC為等邊三角形, 列方程同樣可求出∠BAC=100°.(過程略)

圖18

圖19

圖20

圖21

3.3.2 綜合分析整合解題條件, 基于認(rèn)知選擇目標(biāo)三角形

構(gòu)造全等三角形的前提是:首先選擇目標(biāo)三角形.這個(gè)三角形必須含有所求角、線段或含有與所求角、線段有密切關(guān)聯(lián)的解題信息;即這個(gè)三角形必須包含重要的解題條件,它是構(gòu)造全等三角形的思維起點(diǎn). 然后根據(jù)目標(biāo)三角形的特征,確定輔助線的作法.如作角相等、過某點(diǎn)作某線段的平行線、垂線,作角的平分線等等.

在具體的解題中,若圖形中有幾個(gè)不同的三角形都可以作為“目標(biāo)三角形”,這樣輔助線的的作法也會(huì)多種多樣.但其中有的解法過程復(fù)雜甚至還會(huì)偏離學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí).若選擇“目標(biāo)三角形”不準(zhǔn)確, 所構(gòu)造的全等的三角形無法溝通解題信息,這將會(huì)導(dǎo)致解題受挫.前面的問題若選擇?ABC為目標(biāo)三角形, 則難以產(chǎn)生以AD=BC=CE=DE為條件的等邊三角形. 當(dāng)然目標(biāo)三角形也可以在原圖中通過添加輔助線來構(gòu)造.如圖21,連結(jié)DC,由BC=CE,選擇?BCD為目標(biāo)三角形,作則?BCD?EFC,連結(jié)DF,可證?FDC為等邊三角形,列方程同樣可求出∠BAC.但從學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)和解法自然的角度看,選擇原圖形中的目標(biāo)三角形更具有一般性.

總之,通過構(gòu)造的全等三角形,能將題目中的條件進(jìn)行聚焦整合,更容易找到隱藏于圖形中各要素之間的深層關(guān)系,激活解題信息．添加輔助線構(gòu)造全等三角形,首先要弄清問題,明確已知和結(jié)論,然后分析整合兩者之間的內(nèi)部聯(lián)系.從邊入手選擇適合的切入點(diǎn),快速確認(rèn)目標(biāo)三角形,根據(jù)目標(biāo)三角形的特征易于把握添加輔助線的策略,正確定位解題方向.從而突破構(gòu)造全等三角形的種種困惑,積累解題經(jīng)驗(yàn),提升推理能力.